一元二次方程压轴题含答案解析

1、一元二次方程1 .(北京模拟)已知关于 x的一元二次方程X .设关于x的方程x2-5x-m2+ 1 = 0的两个实数根分别为 a 试确定实数m的取值范围, 使| a+13 6成立.+ px+ q +1 = 0有一个实数根为 2.( 1 )用含 p 的代数式表示 q；(2) 求证：抛物线 yi = x2+px+ q与x轴有两个交点；(3) 设抛物线yi = x2+px+ q的顶点为M，与y轴的交点为E,抛物线y2= x2+px+ q+1的 顶点为N,与y轴的交点为F,若四边形FEMN的面积等于2,求p的值.23. (湖南怀化)已知 X1, X2是一元二次方程(a - 6)x + 2ax+ a =

2、 0的两个实数根.(1) 是否存在实数 a，使-Xi + Xix2= 4+X2成立若存在，求出 a的值；若不存在，请你说明 理由；(2) 求使(xi + 1)(X2+1)为负整数的实数a的整数值.4. (江苏模拟)已知关于x的方程x - (a + b + 1)x+ a = 0(b有两个实数根Xi、X2,且xiX2.(1 )求证：X1 1）的两个实数根xi、X2满足xiV X2,求证：1 V xi v 0 V x2 V 1 .(答案)1 .(北京模拟)已知关于 x的一元二次方程X2+ px+ q +1 = 0有一个实数根为 2.(1) 用含p的代数式表示q；(2) 求证：抛物线 yi = x2+

3、px+ q与x轴有两个交点；(3) 设抛物线yi = x2+px+ q的顶点为M，与y轴的交点为E,抛物线y2= x2+px+ q+1的 顶点为N,与y轴的交点为F,若四边形FEMN的面积等于2,求p的值.解：(1) 关于x的一元二次方程 /+px+ q+1 = 0有一个实数根为2 22 + 2p +q+ 1 = 0,整理得：q = 2p 5(2) T = p2 4q = p2 4( 2p 5) = p2+ 8p+ 20= (p+ 4)2+ 4无论p取任何实数，都有(p+ 4)20无论p取任何实数，都有(p + 4)2 + 40, 0抛物线y1 = x+px+ q与x轴有两个交点(3) 抛物线

4、y1 = x2 + px+ q与抛物线y2= x2+px+ q+ 1的对称轴相同， 都为直线x= p，且开口大小相同，抛物线y2= x2+px+ q + 1可由抛物线 y1 = x2 + px+ q沿y轴方向向上平移一个单位得到 EF/ MN , EF= MN = 1四边形FEMN是平行四边形由题意得S四边形FEMN= EF- | 2| = 2,即| 号|= 2 p = 4(X、3,试2.(安徽某校自主招生)设关于 x的方程x2 5x m2+1 = 0的两个实数根分别为 确定实数m的取值范围，使I a +1 3 W 6成立.解：/ = 52 4( m2+ 1)= 4m2+ 21不论m取何值，方

5、程x2 5x- m2 +1 = 0都有两个不相等的实根2 2 2/x 5x m + 1 = 0, 3= 5, a = 1 m/ | %| + | 3 W 6 , + 2| a 3 W 36,即(a+3)2 2 a 炉 2| a 3W 3622 25 2(1 m ) + 2|1 m | W 36当 1 m2 0,即1W m W 1 时，25W 36 成立得 25 4(1 m2)w 36 1w mW 1当 1 m2 v 0, 即卩 mv 1 或 m 1 时, 解得于w m wf5152w mv 1 或 1 v mW3.(湖南怀化)已知(1)是否存在实数综合、得：fw mW二5X1, x2是一元二次

6、方程(a 6)x2 + 2ax+ a = 0的两个实数根.a，使-X1 + X1X2= 4+X2成立若存在，求出 a的值；若不存在，请你说明理由；(2)求使(xi + 1)(x2+1)为负整数的实数a的整数值.解：(1 )T xi, x2是一元二次方程(a-6)x2 + 2ax + a = 0的两个实数根a 6工 04a2 4a(a 6) 0a丰6即a 0假设存在实数 a 使-xi+ X1X2= 4 + X2 成立，则 4 + (xi + X2) X1X2= 0 4 += 0，得 a= 24a 6 a 6-a = 24满足a0且a丰6存在实数 a = 24,使X1 + X1X2= 4 + X2

7、成立2a a(2)T (X1 + 1)(X2 + 1)= (X1 + X2)+ X1X2 + 1 =+ 1 =a 6 a 6要使(X1 + 1)(X2 + 1)为负整数，则只需 a为7, 8, 9, 12 4.(江苏模拟)已知关于x的方程x (a + b + 1)x+ a = 0(b有两个实数根X1、X2,且X1 X2.(1 )求证：X1 Q - X1 + X2 X1X2 1 0-1 X1 X2 + X1X2W 0- (1 X1)(1 X2) 0又X10 1 X20即 X11-X1 1x2(2)9-X1+X2=45-X1 + X2 = a + b+ 1, a + b= 4, 当点P (X1 ,

8、 X2)在BC边上运动时小1则 2 X1 14 44 故在BC边上不存在满足条件的点 P 当点P (X1 , X2)在AC边上运动时 则 X1= 1 , 1 225 95取 X2 = 5,贝U X1 + X2= 9,即 a + b= 54445故在AC边上存在满足条件的点p(1 7 当点P (X1 , X2)在AB边上运动时则 1 $1W1,1 22 易知 X2= 2x19 Xl + X2 =433.Xl=,X2 = _42133又 2v 41, 1 0，即(4b4)2- 16b2 0,解得 b?b2又t X1X2M 0, . 4丰 0,. bz 01综上所述，b夕.b= - 2 + 2：2不

9、合题意，舍去6.(成都某校自主招生)已知 a, b, c为实数，且满足 a + b + c= 0, abc= 8，求c的取值范 围.8解：t a+ b + c= 0, abc = 8，二 a, b, c 者E不为零，且 a + b = -c, ab =一c2 8.a, b是方程x2 + cx+ = 0的两个实数根A 2/8. = c2-4xc28当c0恒成立c当 c0 时，得 c3 绍2 ,. c23 4故c的取值范围是CV 0或c23 4x + y= 3a 17. (四川某校自主招生)已知实数 X、y满足22.2，求xy的取值范围.x + y = 4a 2a + 2解：/ (x y)20, x2 + y22xy2 2 2 -2(x + y )(x+y) 2(4a2 2a + 2) (3a 1)2 即 a2 2a 30,解得1它31 2 ,22-xy = 2【(x+ y) - (x + y )122=2【(3a 1) (4a 2a+ 2)=2(5a?- 4a 1)52 29=2(a 5)命9.当a=匚时，xy有最小值;当a= 3时有最大值165109-石y 1)的两个实数根X1、X2满足X1V X2,求证：1 V X1V 0 V X2 V1 .证明：将原方程整理，得2a2x2 + 2ax+ 1 a2= 0令y=2a2x2 + 2ax+ 1 a2，由于a 1,所以这是一