线性代数第四章习题课

1、本文格式为word版，下载可任意编辑线性代数第四章习题课 第四章 习题课 基本内容 典型例题 第四章 向量组的线性相关性 2021, henan polytechnic 第四章习题课 university 2 2 第四章 向量组的线性相关性 考研大纲 考试内容 向量的概念 向量的线性组合和线性表示(不考 虑系数是否为零) 向量组的线性相关与线性无关 (考虑是否存在一组系数不为零) 向量组的极大线 性无关组 等价向量组 向量组的秩 向量组的秩与 矩阵的秩之间的关系 向量空间以及相关概念 n维 向量空间的基变换和坐标变换 过渡矩阵 2021, henan polytechnic 第四章习题课 un

2、iversity 3 3 第四章 向量组的线性相关性 考研大纲 考试要求 1.理解n维向量的概念、向量的线性组合与线性表示的概 念. 2.理解向量组线性相关、线性无关的概念，把握向量组线 性相关、线性无关的有关性质及判别法. 3.了解向量组的极大线性无关组和向量组的秩的概念，会 求向量组的极大线性无关组及秩. 4.了解向量组等价的概念，了解向量组的秩与与其行(列) 向量组的关系. 理解向量组等价的概念，理解矩阵的秩与其行(列)向量组的秩之 间的关系(矩阵的秩等于行向量组的秩也等于其列向量组的秩) 5.了解n维向星空间、子空间(数乘封闭 加法封闭)、基底(极 大无关组中的向量)、维数(秩)、坐标

3、(系数)等概念. 6.了解基变换和坐标变换公式，会求过渡矩阵. 2021, henan polytechnic 第四章习题课 university 4 4 第四章 向量组的线性相关性 1 向量的定义 定 义 n个有次序的数 a 1 , a 2 , , a n 所组成的 数组称为n维向量.这n个数称为该向量的重量 ,第i个数 a i 称为第i个重量. 重量全为实数的向量称为实向量. 重量全为复数的向量称为复向量. 2021, henan polytechnic 第四章习题课 university 5 5 第四章 向量组的线性相关性 n维向量写成列的形式, 称为列向量, 即 a1 a2 a an

4、n维向量写成行的形式, 称为行向量, 即 a a 1 , a 2 , , a n t 2021, henan polytechnic 第四章习题课 university 6 6 第四章 向量组的线性相关性 向量的相等 设 a t (a 1 , a 2 , , a n ), bt (b1 , b 2 , , b n ) 那么 a t bt a i b i ( i 1,2, , n)零向量 重量全为0的向量称为零向量. t a o a i 0( i 1,2, , n) t 0 a o a i 中至少有一个不为 , ( i 1,2, , n) 负向量向量 a t (a 1 , a 2 , , a n

5、 )的负向量记作 a t , 且 a t ( a 1 , a 2 , , a n ). 2021, henan polytechnic 第四章习题课 university 7 7 第四章 向量组的线性相关性 2 向量的线性运算 向量加法设 a t (a 1 , a 2 , , a n ), bt (b1 , b 2 , , b n ), 定义 向量 a t 与 bt 的加法为: bt ( a 1 b1 , a 2 b 2 , , a n b n ) at 向量减法定义为t t a b ( a 1 b1 , a 2 b 2 , , a n b n ) 2021, henan polytechni

6、c 第四章习题课 university 8 8 第四章 向量组的线性相关性 数乘向量数k与向量 a t 的乘积, 称为向量的数量乘法 简称数乘向量, 定义为 k a t ( k a 1 , k a 2 , , k a n ) 向量加法和数乘向量运算称为向量的线性运 算，满足以下八条运算规那么： (1)加法交换律 ;( 2)加法结合律 ( ) ( ); ( 3)对任一个向量 , 有 o ; 2021, henan polytechnic 第四章习题课 university 9 9 第四章 向量组的线性相关性 (4)对任一个向量 , 存在负向量 , 有 ( ) o; (5) 1 ;(6)数乘结合律

7、 (7 )数乘安排律 (8)数乘安排律 k ( l ) ( kl ) ; k ( ) k k ; ( k l ) k l . 其中 , , 为n维向量,1, k , l为数, o为零向量. 2021, henan polytechnic 第四章习题课 university 1010 第四章 向量组的线性相关性 除了上述八条运算规那么，明显还有以下性质：(1 ) 0 o , ko o(其中0为数零, k为任意数); ( 2 )若k o , 那么或者k 0, 或者 o; ( 3 )向量方程 x 有唯一解x . 2021, henan polytechnic 第四章习题课 university 11

8、11 第四章 向量组的线性相关性 3 线性组合 若干个同维数的列(行)向量所组成的集合 叫做向量组. 定义 给定向量组a : a 1 , a 2 , , a m , 对于任何一组实数 k 1 , k 2 , , k m ,向量 k 1 a1 k 2 a 2 k m a m 称为向量组a的一个线性组合, k 1 , k 2 , , k m 称为 这个线性组合的系数. 2021, henan polytechnic 第四章习题课 university 1212 第四章 向量组的线性相关性 4 线性表示 定义 给定向量组a : a 1 , a 2 , , a m 和向量b, 假如存在一组实数k 1

9、, k 2 , , k m , 使 b k 1 a1 k 2 a 2 k m a m , 那么向量b是向量组a的线性组合, 这时称向量b能 由向量组a线性表示. 2021, henan polytechnic 第四章习题课 university 1313 第四章 向量组的线性相关性 定理 向量b能由向量组a线性表示的充分必要条件是矩阵a (a 1 , a 2 , , a m )的秩等于矩阵b (a 1 , a 2 , , a m , b )的秩. 定义 设有两个向量组a : a 1 , a 2 , , a m 及b : b1 ,b 2 , , b s , 若b组中的每个向量都能由向量组a 线性

10、表示, 那么称向量组b能由向量组a线性表示. 若向量组a与向量组b能互相线性表示, 那么称这 两个向量组等价. 2021, henan polytechnic 第四章习题课 university 1414 第四章 向量组的线性相关性 5 线性相关 定义 给定向量组a : a 1 , a 2 , , a m , 假如存在 不全为零的数 k 1 , k 2 , , k m , 使 k 1 a 1 k 2 a 2 k m a m 0, 那么称向量组a是线性相关的, 否那么称它线性无关. 定 理 向量组 a 1 , a 2 , , a m 线性相关的充分必要条件是它所构成的矩阵a ( a 1 , a

11、2 , , a m )的秩小 于向量个数m;向量组线性无关的充分必要条件 是 r( a) m . 2021, henan polytechnic 第四章习题课 university 1515 第四章 向量组的线性相关性 定理(1)若向量组a : a 1 , a 2 , , a m 线性相关, 那么向 量组b : a 1 , a 2 , , a m , a m 1 也线性相关.反言之, 若 向量组b线性无关, 那么向量组a也线性无关. a1 j a1 j ( 2)设 a j , b j , ( j 1,2, , m ) a rj a rj a r 1, j 即向量 a j 添上一个重量后得到向量

12、 b j .若向量 2021, henan polytechnic 第四章习题课 university 1616 第四章 向量组的线性相关性 组a : a 1 , a 2 , , a m 线性无关, 那么向量组b : b1 , b 2 , , b m 也线性无关.反言之, 若向量组b线性相关, 那么向量组a也线性相关. ( 3)m个n维向量组成的向量组,当维数n小于 向量个数m时肯定线性相关. (4)设向量组a : a 1 , a 2 , , a m 线性无关, 而 向量组b : a 1 , a 2 , , a m , b线性相关, 那么向量b必 能由向量组a线性表示, 且表示式是唯一的. 2

13、021, henan polytechnic 第四章习题课 university 1717 第四章 向量组的线性相关性 6 向量组的秩 定义 设有向量组a, 假如在a中能选出r个向量 a 1 ,a 2 , , a r , 满足(1)向量组 a0 : a 1 , a 2 , , a r 线性无关; ( 2)向量组a中任意r 1个向量(假如a中有r 1 个向量的话)都线性相关, 那么称向量组 a0 是向量组a的一个最大线性无关向量组(简称最大无关组); 最大无关组所含向 量个数r称为向量组a的秩. 2021, henan polytechnic 第四章习题课 university 1818 第四章

14、 向量组的线性相关性 定理 矩阵的秩等于它的列向量组的秩，也等于 它的行向量组的秩. 定理 设向量组b能由向量组a线性表示，那么向量 组b的秩不大于向量组a的秩. 推论1 等价的向量组的秩相等. 2021, henan polytechnic 第四章习题课 university 1919 第四章 向量组的线性相关性 推论2 设 c m n am s b s n , 那么 r(c ) r( a), r(c ) r( b ). 推论3(最大无关组的等价定义) 设向量组 b 是向量组 a 的部分组，若向量组 b 线性无关，且向量组 a 能由向量组 b 线性表示， 那么向量组 b 是向量组 a 的一个

15、最大无关组. 2021, henan polytechnic 第四章习题课 university 2021 第四章 向量组的线性相关性 7 向量空间 定义 设v为 n维向量的集合，假如集合 v非空，且 集合v对于加法及数乘两种运算封闭，那么就称集 合v为向量 空间.所谓封闭, 是指在集合v中可以进行加法及 数乘两种运算 : 若a v , b v , 那么a b v ; 若a v , r , 那么 a v . 2021, henan polytechnic 第四章习题课 university 2121 第四章 向量组的线性相关性 一般地,由向量组 a 1 , a 2 , , a m 所生成的向量

16、 空间为m x v r, i 1,2, , m . i ai i i 1 2021, henan polytechnic 第四章习题课 university 2222 第四章 向量组的线性相关性 8 子空间 定义 设有向量空间v 1 及v 2 , 若v 1 v 2 , 就称v 1是v 2 的子空间. 任何由n维向量所组成的向量空间v都是 r n 的 子空间. 2021, henan polytechnic 第四章习题课 university 2323 第四章 向量组的线性相关性 9 基与维数 定义 设v为向量空间, 假如r个向量 a 1 , a 2 , ,a r v , 且满足 (1) a 1

17、 , a 2 , , a r 线性无关; ( 2)v中任一向量都可由a 1 , a 2 , , a r 线性表示, 那么,向量组 a 1 , , a r 就称为向量空间v的一个基, r称为向量空间v的维数, 并称v为r维向量空间. 2021, henan polytechnic 第四章习题课 university 2424 第四章 向量组的线性相关性 若向量空间没有基, 那么v的维数为0.0维向 量空间只含一个零向量o . 若把向量空间v看作向量组, 那么v的基就是 向量组的最大线性无关组,v的维数就是向量组 的秩. 向量空间的构造若向量组 a 1 , a 2 , , a r 是向量空间v的一

18、个基, 那么v可表示为r x v r, i 1,2, , r . i ai i i 1 2021, henan polytechnic 第四章习题课 university 2525 第四章 向量组的线性相关性 10 齐次线性方程组 向量方程记齐次线性方程组 a 11 x 1 a 12 x 2 a 1n x n 0, a 21 x 1 a 22 x 2 a 2 n x n 0, a m 1 x 1 a m 2 x 2 a mn x n 0, 的系数矩阵和未知量为 (1) 2021, henan polytechnic 第四章习题课 university 2626 第四章 向量组的线性相关性 a

19、11 a 12 a 1n x1 a 21 a 22 a 2 n x2 a , x , a mn a m1 a m 2 xn 那么(1)式可写成向量方程 ax o . ( 2) 2021, henan polytechnic 第四章习题课 university 2727 第四章 向量组的线性相关性 解向量若 x 1 11 , x 2 21 , , x n n1 为(1)的解, 那么 11 21 x 1 n1 称为方程组(1)的解向量, 它也就是向量方程( 2) 的解. 2021, henan polytechnic 第四章习题课 university 2828 第四章 向量组的线性相关性 解向量

20、的性质 性质1 若x 1 , x 2 为( 2)的解, 那么x 1 2 也是( 2)的解. 性质2 若x 1 为( 2)的解, k为实数, 那么x k 1 也是 ( 2)的解. 定义 设s为方程组(1)的全体解向量所组成的集合, 那么集合s对向量的线性运算封闭 所以集合s , 是一个向量空间, 称为齐次线性方程组(1)的解空 间. 2021, henan polytechnic 第四章习题课 university 2929 第四章 向量组的线性相关性 定理 n元齐次线性方程组 am n x o的全体解所构成的集合s是一个向量空间,当系数矩阵的秩 r( am n ) r时, 解空间s的维数为n

21、r . 定义 解空间s的基称为方程组 (1)的基础解系 . 2021, henan polytechnic 第四章习题课 university 3030 第四章 向量组的线性相关性 11 非齐次线性方程组 向量方程非齐次线性方程组 a 11 x 1 a 12 x 2 a 1n x n b1 , a 21 x 1 a 22 x 2 a 2 n x n b 2 , a m 1 x 1 a m 2 x 2 a mn x n b m , 可写为向量方程 ax b 2021, henan polytechnic 第四章习题课 university ( 3) ( 4)3131 第四章 向量组的线性相关性

22、解向量 向量方程 (4) 的解就是方程组 ( 3)的解向量.解向量的性质 性质1 若x 1 , x 2 为(4)的解, 那么x 1 2 ( 5) 为对应的齐次线性方程组 ax o 的解. 性质2 若x 是方程(4)的解, x 是方程(5)的 解, 那么x 也是方程(4)的解. 2021, henan polytechnic 第四章习题课 university 3232 第四章 向量组的线性相关性 12 线性方程组的解法 (1)求齐次线性方程组的基础解系若齐次线性方程组ax o的秩r( a) r , 而方 程组中未知数的个数为n, 那么方程组的一个基础 解系含线性无关的n r个解向量, 不妨设为

23、 1 , 2 , , n r , 可按下面步骤进行: 2021, henan polytechnic 第四章习题课 university 3333 第四章 向量组的线性相关性 第一步：对系数矩阵 a 进行初等行变换，使其 变成行最简形矩阵 1 0 0 c 1, r 1 0 1 0 c 2, r 1 0 0 1 c r ,r 1 0 0 0 0 0 0 0 0 2021, henan polytechnic 第四章习题课 university c 1, n c 2, n c r , n ; 0 0 3434 第四章 向量组的线性相关性 第二步 : 将第r 1, r 2, n列前r个重量反 号,

24、于是得 1 , 2 , , n r 的第1,2, , r个重量, 即 c 1, r 1 c 1, r 2 c 1, n c 2, r 1 c 2, r 2 c 2, n 1 c r , r 1 , 2 c r , r 1 , , n r c r , n ; 2021, henan polytechnic 第四章习题课 university 3535 第四章 向量组的线性相关性 第三步：将其余 n r个重量依次组成 n r阶 单位矩阵，于是得齐次线性方程组的一个基础解系 c 1, r 1 c 1, r 2 c 1, n c 2, r 1 c 2, r 2 c 2, n c r ,r 1 c r

25、,r 2 c r ,n 1 , 2 0 , , n r 0 . 1 0 1 0 0 0 1 2021, henan polytechnic 第四章习题课 university 3636 第四章 向量组的线性相关性 (2)求非齐次线性方程组的特解若非齐次线性方程组ax b的秩r( a) r( b ) r , 而方程组中未知数的个数为n, 那么对 增广矩阵b进行初等行变换, 使其成为行最简形 矩阵. 2021, henan polytechnic 第四章习题课 university 3737 第四章 向量组的线性相关性 1 0 0 c 1, r 1 c 1, n d 1 0 1 0 c 2, r

26、1 c 2, n d 2 0 0 1 c r , r 1 c r , n d r , 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 将上述矩阵中最终一列的前 r个重量依次作为 特解的第 1,2, , r 个重量，其余 n r个重量全部取 零，于是得 2021, henan polytechnic 第四章习题课 university 3838 第四章 向量组的线性相关性 d1 d 2 d r , 0 0 即为所求非齐次线性方程组的一个特解. 2021, henan polytechnic 第四章习题课 university 3939 第四章 向量组的线性相关性 典 型 例 题 一、向量组线性关

27、系的判定 二、求向量组的秩 三、向量空间的判定四、基础解系的证法 五、解向量的证法 2021, henan polytechnic 第四章习题课 university 4040 第四章 向量组的线性相关性 一、向量组线性关系的判定线性相关与线性无关的概念都是针对一个特 定的向量组 1 , 2 , , m 而言的,当我们考虑到向 量空间中两种基本运算的结合物 线性组合 k 1 1 k 2 2 k m m 时, 其结果为向量空间中的 一个特别向量 零向量, 那么, 一个自然的问题是: 是否存在一组不全为零的数 k 1 , k 2 , , k m , 也使得 其线性组和为零向量? 2021, hen

28、an polytechnic 第四章习题课 univ ersity 4141 第四章 向量组的线性相关性 答案只有两种 : 存在或不存在.这样, 也就自 然而然地提出了线性相关与线性无关的概念 ; 若存在, 那么称该向量组线性相关 若不存在, 那么称 ; 该向量组线性无关, 所谓不存在, 指的是当且仅 当 k1 k 2 k m 0 时, 才有 k 1 1 k 2 2 k m m 0. 2021, henan polytechnic 第四章习题课 university 4242 第四章 向量组的线性相关性 线性相关与线性无关还可以通过线性表出 的概念来表达, 即看其中有无某个向量(不是任 意一个

29、向量), 可由其余向量线性表出? 此外, 还 应留意到 : 线性相关与线性无关是一对排中对 立的概念, 据此, 在论证某些相关性问题时, 我 们往往采纳反证法. 2021, henan polytechnic 第四章习题课 university 4343 第四章 向量组的线性相关性 讨论这类问题一般有两个方法方法1 从定义出发 令 k 1 1 k 2 2 k m m 0, a11 a 21 am1 0 a12 a 22 am 2 0 k1 k 2 k m 0 a1 n a2n a mn 整理得线性方程组 2021, henan polytechnic 第四章习题课 university 444

30、4 第四章 向量组的线性相关性 a11 k 1 a 21 k 2 a m 1 k m 0, a12 k 1 a 22 k 2 a m 2 k m 0, a1n k 1 a 2 n k 2 a mn k m 0, , m 线性无关. ( ) 若线性方程组( )只有唯一零解, 那么 1 , 2 , 若线性方程组( )有非零解, 那么 1 , 2 , , m 线性相关. 2021, henan polytechnic 第四章习题课 university 4545 第四章 向量组的线性相关性 方法2 利用矩阵的秩与向量组的秩之间关 系判定 给出一组n维向量 1 , 2 , , m , 就得到一个 相应

31、的矩阵a ( 1 , 2 , , m ), 首先求出r( a). 若r( a) m , 那么 1 , 2 , , m 线性无关, 若r( a) m , 那么 1 , 2 , , m 线性相关. 2021, henan polytechnic 第四章习题课 university 4646 第四章 向量组的线性相关性 例1 讨论以下向量组的线性相关性 1 0 1 1 2 , 2 2 , 3 0 . 3 5 2 令 k 1 1 k 2 2 k 3 3 0, 即 1 0 1 0 k1 2 k 2 2 k 3 0 0 3 5 2 0 解一 2021, henan polytechnic 第四章习题课 u

32、niversity 4747 第四章 向量组的线性相关性 整理得到 k 3 0, k1 0, 2 k1 2 k 2 3 5 2 0. k1 k2 k3 1 2 3 0 2 5 1 0 0, 2 ( ) 线性方程组( )的系数行列式 线性方程组( )必有非零解, 从而 1 , 2 , 3 线性相关. 2021, henan polytechnic 第四章习题课 university 4848 第四章 向量组的线性相关性 解二 1 0 1 1 2 , 2 2 , 3 0 , 3 5 2 0 1 1 矩阵a ( 1 , 2 , 3 ) 2 2 0 , 3 5 2 2021, henan polyte

33、chnic 第四章习题课 university 4949 第四章 向量组的线性相关性 0 1 初等行变换 1 0 1 1 a 2 2 0 0 2 2 3 5 2 0 0 0 r ( a ) 2 3, 故向量组 1 , 2 , 3 线性相关. 2021, henan polytechnic 第四章习题课 university 5050 第四章 向量组的线性相关性 例2 设 1 , 2 , , r 线性相关, 证明 : 存在不全为零的数t 1 , t 2 , , t r , 使对任何向量 都有 1 t 1 , 2 t 2 , , r t r ( r 2 ) 线性相关. 分析 我们从定义出发, 考察

34、向量方程k 1 ( 1 t 1 ) k 2 ( 2 t 2 ) k r ( r t r ) 0即向量方程 k 1 1 k 2 2 k r r (k 1 t 1 k 2 t 2 k r t r ) 0 2021, henan polytechnic 第四章习题课 university 5151 第四章 向量组的线性相关性 是否有某组不全为零的数 k 1 , k 2 , , k r , 而使得对 每个 恒有非零解,因此可得如下证明 . 证明 因为 1 , 2 , , r 线性相关, 所以存在不全为零的数 k 1 , k 2 , , k r , 使 k 1 1 k 2 2 k r r 0 考虑线性方

35、程k 1 x1 k 2 x 2 k r x r 0 因为r 2, 它必有非零解, 设( t 1 , t 2 , , t r )为任一非 零解, 那么对任意向量 , 都有 2021, henan polytechnic 第四章习题课 university 5252 第四章 向量组的线性相关性 k 1 1 k 2 2 k r r (k1 t1 k 2 t 2 k r t r ) 0 即 k 1 ( 1 t 1 ) k 2 ( 2 t 2 ) k r ( r t r ) 0由 k 1 , k 2 , , k r 不全为零得知: 1 t 1 , 2 t 2 , , r t r 线性相关. 2021,

36、henan polytechnic 第四章习题课 university 5353 第四章 向量组的线性相关性 例3 已知向量组 1 , 2 , , s 的秩是r , 证明 : 1 ,成它的 2 , , s 中任意r个线性无关的向量均构 一个最大线性无关组 . 分析 证明向量组的一个部分组构成最大线性无 关组的基本方法就是 : 依据最大线性无关组的定义来证，它往往还 与向量组的秩相联系. 2021, henan polytechnic 第四章习题课 university 5454 第四章 向量组的线性相关性 证明 不失一般性, 设 i1 , i 2 , , i r 是 1 , 2 , , s 中

37、的任意r个线性无关的向量, 于是对于任意 的 k ( k 1,2, , s ),向量组 i1 , i 2 , , i r , k 线性相关, 否那么这向量组的秩大于r . 又向量组 i1 , i 2 , , i r 线性无关, 所以 k 可 以由 i1 , i 2 , , i r 线性表出. 由定义, 这就证明了 i1 , i 2 , i r 是 1 , 2 , , s 的一个最大线性无关组. 2021, henan polytechnic 第四章习题课 university 5555 第四章 向量组的线性相关性 二、求向量组的秩 求一个向量组的秩，可以把它转化为矩阵的 秩来求，这个矩阵是由这

38、组向量为行(列)向量 所排成的. 若矩阵 a 经过初等行(列)变换化为矩阵b , 那么 a和 b 中任何对应的列(行)向量组都有相同的 线性相关性. 假如向量组的向量以列(行)向量的形式给 出，把向量作为矩阵的列(行),对矩阵作初等 行(列)变换，这样，不仅可以求出向量组的秩， 而且可以求出最大线性无关组. 2021, henan polytechnic 第四章习题课 university 5656 第四章 向量组的线性相关性 例4 求向量组 1 (1, 1, 0, 0), t 3 (0, 1, 1, 1), t 5 ( 2, 6, 4, 1)t t 2 ( 1, 2, 1, 1), t 4

39、( 1, 3, 2, 1), 的秩. 解 作矩阵a 1 2 3 4 5 , 对a作初等 行变换, 化a为阶梯形 2021, henan polytechnic 第四章习题课 university 5757 第四章 向量组的线性相关性 a 1 2 3 4 5 1 1 0 1 2 1 3 6 1 2 0 1 1 2 4 0 1 1 1 1 1 1 0 1 2 r1 r2 0 1 1 2 4 0 1 1 2 4 0 1 1 1 1 2021, henan polytechnic 第四章习题课 university 5858 第四章 向量组的线性相关性 r 3 ( 1 ) r 2 1 1 r2 r4

40、0 1 0 0 0 0 1 1 r 3 r4 0 1 0 0 0 0 记作 0 1 2 1 2 4 0 0 0 0 3 5 0 1 2 1 2 4 0 3 5 0 0 0 1 2 3 4 5 u .5959 2021, henan polytechnic 第四章习题课 university 第四章 向量组的线性相关性 1 1 u ( 1 2 3 4 5) 0 1 0 0 0 0 a的列秩 r( a) 3, 0 1 2 1 2 4 0 3 5 0 0 0 故向量组 1 , 2 , 3 , 4 , 5的秩为3. 又 1 , 2 , 4 是u的列向量组的一个最大线性 无关组, 所以 1 , 2 ,

41、4 也是a 的列向量组的一个最大 线性无关组. 2021, henan polytechnic 第四章习题课 university 6060 第四章 向量组的线性相关性 三、向量空间的判定 推断向量的集合是否构成向量空间，需看集合 是否对于加法和数乘两种运算封闭.若封闭，那么构 成向量空间；否那么，不构成向量空间.例5 推断 r 3中与向量(0,0,1)不平行的全体向量 所组成的集合是否构成向量空间. 解 r 中与向量(0,0,1)不平行的全体向量所组3 成的集合不构成向量空间. 2021, henan polytechnic 第四章习题课 university 6161 第四章 向量组的线性

42、相关性 对向量 1 (0, k ,0), 2 (0, k ,1)( k 0), 1 , 2 均不平行于(0,0,1), 但 1 2 (0,0,1).因此 r 3中与向量(0,0,1)不平行的全体向量 所组成的集合对加法不封闭.故所给向量集合不构成 向量空间. 2021, henan polytechnic 第四章习题课 university 6262 第四章 向量组的线性相关性 四、基础解系的证法 例6 证明与基础解系等价的线性无关的向量组 也是基础解系. 分析 要证明某一向量组是方程组ax 0的基础解 系，需要证明三个结论: (1)该组向量都是方程组的解； (2)该组向量线性无关；(3)方程组的任一解均可由该向量组线性表示. 2021, henan polytechnic 第四章习题课 university 6363 第四章 向量组的线性相关性 证明 设 1 , 2 , , t 是方程组ax 0的一个基础解系, a 1 , a 2 , , a n 是与 1 , 2 , , t 等价的线性无关的 向量组,因为等价的线性无关的向量组所含向量个 数是相同的, 所以这两个向量组所含向量个数相等, 即 t n