指数指数函数经典练习题

1、指数指数函数【重点难点解析】1.本单元的知识结构指数概念指数函数指数运菖性质应用2 .指数概念由特殊乘法运算定义，是乘法运算的发展，是人类探索化简运算的过程中，创造并发展的数学知识；它由正整数指数开始， 到负整数指数、零指数，再到分式指数（根式），最后到实数指数.3 .指数运算的特点是强概念性及性质使用而弱计算性，所以指数的运算性质及方根表示既是重点 也是难点.4 指数函数的概念及性质是重点，指数函数的值域易被忽视而成为难点.【考点】1 .指数运算一般结合其他知识在应用中进行考查.2 .根式及方根运算与指数函数的图象和性质，几乎每年高考都要涉及.【典型热点考题】例1完成下列计算:v（7；（曲-

2、2广；3（美）3；8(2)(4)(6)47-2)4 ；vp5 ；3 二产 900思路分析运算时，一般将根式化为分指数，运用指数运算性质进行化简计算，但要注意的是分指数的运算实（分指数的分母）的奇偶性来决定结果,质是方根的化简，必须依照方根运算的要求进行，即注意根指数 一般偶次方根化简时尤须注意.解：i 3 ( -3)3 =(-3)331十 33133 !=-3 3=3.i(2) 4 ( -2)4 =(-2)441 =2个 =2.(.5 -2)1,5-25 2(.5 -2)(. 5 2)=v5 +2 .1(4),p5=(p5)2=(p41 p1)2 1p2= p2 41p .2(飞=(-27=k

3、88272)-3=(-畀2 )于3231=【-(3)3322=匚)_4933(6)忌)2 =(900)29003= 90023=(302)2二303= 27000.例2化简下列各式：11+ 沁2 -b)3 ;11 1(a b -2a2b2)222a b，-2112a3 -a3b 3 - b 3a3 - b 3(2) a-11a3 b 3思路分析多项式的乘法公式，本质上给出的是多项式的次数与它的因式的次数间的关系(当然也有多项式中的运算及形式的关系)，引入分指数的概念后，这种公式的本质并未改变，只不过由于指数形式的复杂， 使它们指数间的倍比关系较难判断清楚，因此就给如何应用公式分解因式并化简带来

4、了困难，只要抓住 多项式及根式化简的通法、通性，这些难题不会造成困难.解：11111(1) (a +b 2al2)2 +v(a2 -b)31111111133 33 3 二一11-1111a3 b 飞(a3)2 a3b 飞 (b-3)21111二a3 -b 3 -a3 -b 3 一.一22m n m - mn n=m- n (m+ n)=2n1 = (a2)2 (b2)2 2a2b22 (a2 -b2) 3111114(a -b2)22 a2 -b11114a_b | a2 ,b2当 ab0 时，j a bb1111原式=a5 -b +a2 -b 11= 2(a2 -b2)=2(.a - .b

5、)当 ba0 时，jb 之7a1111原式=b2 -a +a2 -b=0.(2)解法一：22a3 -b 3 a b11 2112a3 b 3 a3 -a3b 3b 31111(a3)2 -(b)2(a3)3 (b/j3_111111a3 b 1 (a3)2 a3b飞(b 飞)21111111111(a3 b5)(a3 b/) (a3b)(a3)2 -ab-3 (b)2-2b 3-2b解法二： 11设 a3 =m , b 3 =n.331 m = a, n 二 b323232a2 =m , b 3 =n22a3 -b 3 a b 411a3 b 32112a3 -a3b 3 b 32= -2b-

6、n13b2=-2.点评“层次性”b不要认为设辅助未知数只是一种可有可无的运算技巧，其实设辅助未知数是对数学问题的 的深刻认识的表现，是把复杂问题转化为两个或多个基本问题的重要的分析思维的具体表达化简下列各式：29(8) 3(2)53x 5 x 3x3x2 4x . x34ix3 1x 飞-思路分析用根式计算时，必须将根式化为同次根式才能进行乘、除、塞的计算，若式子中有重根式 根号）的形式，化同次根式更难更容易出错；如果逐层将根号处理为分指数，再用指数的运算性质运算 既简捷又方便.解：（根号套2(1) ( .8)为129(3102 )2105=(23)2广(102)3912 -(105)2121

7、 953： ：(二)2 =2 2 310 3 2 -1025二21103 -1021=-1022,10(2)5x3x13 1 二 (xr)5 x2j x15 =x110x=1.12 1 zx2 xo ()3x5_1 x6115x1 5 1,x5、(-t)2x3j101x6vx2 ax x3-4x33x0且aw 1)的定义域是一切实数，值域是(0 , 十m)，所以复杂的与指数函数有关的定义域、值域问题，主要考虑与自变量有关的代数式的运算限制和取值范围，就可以解出定义域；但值域问题一方面考虑指数函数的单调性，同时必须兼顾“指数函数”的值域是(0, +8).解：(1) x -2 _0= x _2.

8、函数y =3收三的定义域是2 , +oo) . x 2 , +8 )时，x 20. x -2 _0 313为底数的指数函数是增函数，y =3 x _30 =1 函数y =3=x2的值域是1 , +oo ),(2) 1 中 xw0x1函数y =q)x的定义域是x|x w0且xcr一， 1 一. xw0 时，0=0x111c1 1 (-)x。仁)=1,而(二)x 02221一3 1.函数广歹的值域是y|y0且尸1.例5求下列关于x的不等式的解集 6x2g 0 且 aw 1 时，ax2x (!)a2 .a思路分析因为不等式中的变量 x在指数部分，所以这类不等式(称指数不等式)的解法是：利用指数函数的

9、单调性，将各不等式先转化为一般的一元一次不等式，一元二次不等式及不等式组求解，由此看来，函数 的单调性是用来处理与函数有关的量大小比较的有力工具.解： 61,则以6为底的指数函数是增函数 - 6x2 x 2 ；1 =602 x x - 2 ： 02vx1，不等式的解集为x| -2x(-) =aa当a1时，以a为底的指数函数是增函数.22x - 2x 飞-a22x -2x a 04 _4a2 =4(1 - a2) 0，不等式的解集为 r.当0a1时不等式的解集是 r,0a1 时，不等式的解集是x |1 - v1 - a2 x1+v1a2.例6设f(x) =2x +： 1(a为实数)(1)x cr

10、,试讨论f(x)的单调性，并且用单调性定义给出证明；(2)当a=0时，若函数y=g(x)的图象与y = f(x)的图象关于直线 x= 1对称.求函数y = g(x)的解 析式.解：(1)(i)a =0 时，f(x)=2x1任取 x1，x2 w r , x1 0 ,.21 .2 =1 . f(x1)二 f(x2)函数f(x)是增函数.(ii)a0 时，f(x)是增函数，下面给出证明：任取 x1, x2 w r , x1 x2f(x1) -f%)= 2x1 -2x2 a - a2x12x2=(2x1 _ 2x2)2xi x2-a2*1 *2- x1 x2, 2x1 ：:2x2又 丁 a0, 2x1

11、 x2 _a 0 f(x1):二许)从而得：函数f(x)是增函数.(iii) 令 u =2x , g(u) =u +- -1 u0a1 时f(x) =1 时，可得：u a -1 =1 二 u又. u =2x是增函数 ，存在x1 #x2,有： 也就是：存在两个实数u2 -2u a = 0 u =1 士 11 一 a2x1 =1 -ma , 2x2 =1 +/匚ax1，x2 , x1 #x2,但有 f (x1)=f (x2) =1，0a1时，f(x)也不是单调函数.(请读者自己给出证明)(2)在函数y=g(x)的图象上取一点 p(x, y)，点p关于直线x= 1的对称点q(x1，y1)从而，得:x

12、 =2 -x1y =y1,函数y = g(x)的图象与函数 y=f(x)的图象关于直线 x= 1对称q(x1, y1)在 y=f(x)的图象上也就是：y 1 =2x1 -1从而，可得：y=22*-1也就是：g(x) =22/ -1 .点评 函数f(x)不是单调函数 之 存在x1, x2 , x1#x2,但有 f(xi) =f(x2) .【同步达纲练习】-、选择题1.a.c.若 a=3；(-8),182b=y(t0)2，则 a+b 的值是(b.d.1822.a.c.2 - x函数y =的定义域是(3x1(t, 2(8, 1) u(-1, 2b.d.( 一,(00,3.代数式yanm0m0. 7n

13、,则m n的关系是(1mn0b.mnd.34代数式包am “a2黑/的值是(5 a4)3(3a2 a)21b.5c.a3d.以上答案均不正确6.a.c.函数 f （x） =a”（其中 a1）（）在（8, 0）上是增函数 增函数b.在0 , +8 ）上是增函数d.减函数7.若2a =3b,则实数a、b间应该有的关系是()a. abb. a= bc. abd.以上答案都可能成立8 .三个数 a=(-0. 3), b=(0. 3)2, c=2.3,则 a、b、c 的关系是(a.abcb.acbc.bacd.bca9 .若指数函数y=(a+1)x在(8, +oo )上是减函数，那么()a.0a1b,-

14、 1a0c.a = 1d.an1,a. (1 , +8 )c. (0 ,兀一1)5.已知3x =10 ,则这样的x值(a.存在且有且只有一个c.存在且x0且aw 1),若对a. (0 , 1)b.c. ( -1, 0) u(0 , 1)d.7.若(0.25)5，=4 ,则 x 的值是()a. 1b.c. 4d.8 .已知 a=30.2, b=(0.2), c=(3)0.2, a. abc c. cab9 .函数f (x) =23/在区间(一ooa.增函数c.常数mnf(n) 成立，则a的取值范围是(1 , + )(00, 1) u (1 ,)一 16则a、b、c的大小关系是()bacbcab.

15、d.0)上的单调性是()b.减函数d.有时是增函数有时是减函数五、填空题1 .已知f(x) =2x ,使f (x) v2 a ” 2.求使不等式()x ax成立的x值的集合.(其中a0且aw1) f (x)的x的值的集合是 .2 .函数f(x) =t3x -2x的定义域是集合 .3 .满足3x2,=1的x的值的集合是 .94 .函数f(2x)的定义域是1, 2,则函数f(x)的定义域是 .15 .指数函数f (x)=ax的图象经过点(2,),则底数 a的值是16六、解答题22工 . f. 41 .当 a = j3+j2, b = 27时，求代数式 a1 b 1ay-b1的值.8二 二 二，/a

16、ab 3 a3 -a3b 3 b 3参考答案【同步达纲练习】1. d2. c1_，提不：一1一要求xw1即可.3x16. d提示:7. d提示:8. c11一(a)ab0时，2a =3b可能成立,ab0 时，2a =3b可能成立，当 a=b=0 时，2a=3b=19. b提示：底数满足0a+11.1. (一巴 52. 2 11131提示：(x2 x) x4 =x4 x2m m3. x x4. 13提示：272x =(33)2x =36x5. 9证明：设x1、x2是区间（一8, 0上的任意两个值,-二：x 1 : x 2 . 0xi ：x2f(x2)-f(x1)= 2x2- 2%-(2x1 2

17、*)二2x2-2x1一（一2x1= 2x22x22x2_ 2x12x 12x2= (2x2 -2x1) 2-12x1 x2-二：x1 ： x2 - 0函数y =2x是增函数2 x2 2 x12 x1 x2x1 +x2 m0 , 2x14x22x1 x2 -1 00：二2 二1.仙)-f(x1)1= an1 .5. a提示：作函数y=3x图象，看y= 10时的图象上的点的 x值.6. b提示：f(x)是偶函数作出图象观察.7. d5 -x , 1、5-xx -5提不：(0. 25)=( )=448. b3提小：c0, b=5 , 0a02. x|x 0提示:x xx x 3 x3、03 -2 20=3 2 = (-)斗=(3)=x0.3.提示:1=3 二，x2 _1=_2 无角军.914.11,4】2提示：一1 wxw 2,贝u 2, 2x =t 0六、1.解:1622a3 -b 3 a b 1- 21_2a3 b 3 a3 -a3b 3 b 31111112112_ (a