构造斜率求恒成立问题中参数的取值范围

1、构造斜率求恒成立问题中参数的取值范围 在各省市的高考题中，常将导数作为压轴题的考查对象，而导数中多涉及不等式的恒成立的证明或求解问题，本文以解决不等式恒成立问题的两种方法比较为突破点，发现一类恒成立问题，采用构造动函数分类讨论往往很困难，但若巧妙地构造斜率可以有效地降低题目的思维量和运算量，达到事半功倍的效果。 一、一道高考题的两种解法 【2012全国大纲卷理科第20题】设函数f（x）=ax+cosx， x0， （1）讨论f（x）的单调性；（2）设f（x）1+sinx，求a的取值范围。 解：（1）略 解法1：ax+cosx1+sinx，x0，等价转换为ax+cosx-1-sinx0， 令g（x

2、）=ax+cosx-1-sinx，要使g（x）0成立，只需使gmax（x）0 g （x）=a-cosx-sinx=a- sin（x+ ）， x0， sin（x+ ）-1， 当a 时，g （x）0，g（x）在x0，上单调递增， gmax（x）=g（）=a-20 即a ，所以a？准 当a-1时，g （x）0，g（x）在x0，上单调递减，gmax（x）=g（0）=00 即ar，所以a-1 当-1 g（x）单调递减，x（x0，g （x）0，g（x）单调递增。所以gmax（x）为g（0）和g（）的最大值。 g（0）0g（）0得a ，所以-1 当-1a0，g（x）单调递增，因为g（0）=0，？埚x30，x

3、1）使g（x3）g（0）=0 所以1a0时，令g（x）= ，问题等价变换为a =k， 其中k为函数图象上点（x，g（x）与点（0，g（0）连线的斜率。 下面考查g（x）= 的函数性质。 g（x）= ，g （x）= 0 在（0， 上g（x）为上凸的单调递增函数，在 ，上g（x）为上凸的单调递减函数。 故k为单调递减的函数。 所以k（x）h （1）=20 所以h（x）在（0，1）上是上凸的单调递增函数，故k为单调递减的函数。 所以k（x） k（x），其中 k（x）为函数在点（1，h（1）处切线的斜率。 k（x）=h （0）=2 k（x）2，- k 综上所述a的取值范围是a-1，0）。 3.代换转化

4、型： 例3.【2011年高考全国新课标卷理科21】 已知函数f（x）= + ，曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线方程为x+2y-3=0。 （1）求a、b的值； （2）如果当x0，且x1时，f（x） + ，求k的取值范围。 解：（1）a=b=1 （2）当x0，且x1时，f（x） + 等价变换为k ，设p（t）= lnt，则1-k = =m 其中m为函数图象上点（t，p（t）与点（1，p（1）连线的斜率。 以下考查p（t）= lnt的函数性质。 p（t）= （lnt+2），p （t）=- lnt p（t），p （t），p （t）在区间（0，+）上的情况如下： 所以p（t）在（0， ）上为下凸的递减函数，在（ ，1）上为下凸的递增函数，在（0，+）上为上凸的递增函数，即m值先增大再减小，在t=1时取最大值。 所以m（t） m（t），其中 m（t）为函数在点（1，p（1）处切线的斜率。 m（t）=p（1）=1m1，1-k1所以k的取值范围为k0。 综上所述a的取值范围是k0。 三、教学反思 在高中数学中，有关函数和不等式的问题，学生大多数想到就是构造函数，通过求导证明单调性来研究问题。经过多年的训练，学生已经形成了思维定势，很难有新的突破。其实跳出固有思维，利用函数图象直观地理解问题，抓住问题的本质，往往可达到柳暗花明的效果。导数的本质是斜率