2020高三数学立体几何专项训练(文科)

1、2020届高三数学立体几何专题(文科)吴丽康 2019-11abcd , e为pd的点.1 .如图，四棱锥 p-abcd中，底面abcd为矩形，pa，平面(i )证明：pb /平面aec; i-(n)设ap=1, ad=j3,三棱锥p-abd的体积 vd3 .求a点到平面pbd的距离.2 .如图，四棱锥 p-abcd中，ab/cd, ab = 2cd , e为pb的中点.(1)求证：ce/平面pad;(2)在线段 ab上是否存在一点 f ,使得平面 pad /平面cef ?d若存在，证明你的结论，若不存在，请说明理由.153如图，在四棱锥 pabcd中，平面 pac，平面 abcd,且pax

2、ac, pa=ad=2,四边形 abcd 满足 bc/ad, abxad, ab = bc = 1.点 e,口 pe pf -且 = x 0) pb pc(1)求证：ef/平面pad;1 ,(2)当 上2时，求点d到平面afb的距离.4.如图，四棱柱 abcd aibicidi的底面abcd是正方形.证明：平面 aibd/平面 cdibi;f分别为侧棱pb, pc上的点,(2)若平面 abcda平面82心=直线1,证明：bidi / l.5.如图，四边形 abcd是平行四边形，点 p是平面abcd外一点，m是pc的中点，在 dm上取一点 g ,过g和ap作平面交平面 bdm于gh .求证：ap

3、/gh.”6 .如图，在四棱锥 p-abcd 中，pa，底面 abcd, ab lad, ac lcd, /abc=60 , pa=ab= bc, e 是 pc 的中点.证明：(1)cd，ae; (2)pd,平面 abe.7 .(2018北京通州三模，18)如图，在四锥p-abcd中，平面pab，平面abcd,四边形abcd为正方形 qpab为等边三角形，e是pb中点，平面aed与棱pc交于点f.v2,直接写出的值.求证:ad / ef;(2)求证：pbl平面 aefd;记四棱锥p-aefd的体积为vi,四棱锥p-abcd的体积为8如图，在四棱锥 p-abcd中，底面abcd是/ dab =

4、60且边长为a的菱形,侧面pad为正三角形，其所在平面垂直于底面abcd,若g为ad的中点.(1)求证：bgl平面fad;(2)求证：adxpb;若e为bc边的中点，能否在棱 pc上找到一点f,使平面def，平面abcd?并证明你的结论.9.(2016高考北京卷)如图，在四棱锥 p-abcd中，pc，平面 abcd , ab/ dc, dcxac.(1)求证：dc,平面fac;(2)求证：平面 pabl平面pac;设点e为ab的中点.在棱 pb上是否存在点 f ,使得pa/平面cef?说明理由.10.如图，在四棱锥 pabcd中，底面abcd是矩形，点e在pc上(异于点p, c),平面abe与

5、棱pd交于点f.(1)求证：ab/ef;(2)若afef,求证：平面 pad，平面 abcd.11.如图，在四棱锥 p-abcd 中，fa，平面 abcd, pa= ab= bc = v3, ad = cd=1, /adc = 120,点m是ac与bd的交点，点 n在线段pb上，且pn=pb.(1)证明：mn /平面pdc;(2)求直线mn与平面pac所成角的正弦值.12.(2016高考四川卷)如图，在四棱锥 p abcd中，pax cd, ad/bc,z adc=z pab = 90 , bc=cd = -ad. 2在平面pad内找一点m,使得直线cm/平面pab,并说明理由； ,卜(2)证

6、明：平面pabl平面pbd.求证：(1)直线de/平面a1c1f；13. (2016高考江苏卷)如图，在直三棱柱 abc a1b1c1中，d, e分别为 ab, bc 的中点，点f在侧棱b1b上，且b1dxa1f, a1ca1b1.(2)平面 bidel平面 aicif.14.【2014,19如图，三棱柱 abc ab1g中,侧面bb.gc为菱形，bq的中点为。，且ao 平面bb,gc.(1)证明：b1c ab；(2)若 ac ab, cbb1 60 ,bc 1,求三棱柱 abc abg 的高.(3)求直线ab与平面pbc所成角的正弦值.15.(2017 天津，文 17)如图，在四棱锥 p-a

7、bcd 中,ad，平面 pdc,ad ii bc, pd pb, ad=1,bc=3,cd=4,pd=2.b(1)求异面直线ap与bc所成角的余弦值； (2)求证:pd，平面pbc;16.(2016高考浙江卷)如图，在三棱台 abc def中，平面 bcfe，平面 abc, /acb=90 , be=ef = fc = 1, bc = 2, ac=3.(1)求证：bf,平面 acfd;(2)求直线bd与平面acfd所成角的余弦值.17.(2018全国出)如图，矩形 abcd所在平面与半圆弧 cd所在平面垂直,m是cd上异于c, d的点.(1)证明：平面 amd，平面bmc.(2)在线段am上是

8、否存在点 p,使得mc/平面pbd?说明理由.立体几何中的翻折问题，一 ,兀一118如图，在直角梯形 abcd 中，ad/ bc, / bad = 2, ab = bc = ad = a,e是ad的中点，。是ac与be的交点.将 abe沿be折起到图(2)中 aibe的位置, 得到四棱锥ai-bcde.(1)证明：cd，平面 aioc;(2)当平面aibe，平面bcde时，四棱锥 ai - bcde的体积为36v2,求a的值.，一 ，一，119.如图 1,在直角梯形 abcd 中，/adc = 90 , ab/cd , ad = cd=ab=2,e为ac的中点，将 acd沿ac折起，使折起后的

9、平面 acd与平面abc垂直，如图2.在图2所示的几何体 d abc中：(1)求证：bc，平面acd;(2)点f在cd上，且满足 ad/平面bef,求几何体f-bce的体积.20.如图，长方体 abcd-aibicidi 中,ab=16, bc=10, aai = 8.点 e, f 分别在 ag d1c1 上，过点e、f的平面a与此长方体的面相交，交线围成一个正方形efgh.求证：aie=dif;（2）判断aid与平面a的关系.2020届高三数学立体几何专题（文科）中位线eo/pb,1解析：（i ）设ac的中点为o,连接eo.在三角形pbd中,且eo在平面 aec上，所以 pb平面aec.(n

10、) ap=1 , ad1 1333vp-abd二一-pa ab ad=ab=，. . ab , 3 2642由题意可知 bc,平面fab,bcxah,故ah,平面pbc.又ah pa ab网3,故a点到平面pbc的距离空. pb 13132 .(1)证明：如图所示，取pa的中点h,连接eh, dh,1因为e为pb的中点， 所以eh / ab, eh = 2ab, 1 一一 .又 ab/cd, cd = ,ab.所以 eh /cd, eh = cd,因此四边形dceh是平行四边形， 所以ce / dh ,又dh?平面pad, ce?平面pad,所以ce/平面pad. _，一，1(2)如图所不，取

11、ab的中点f,连接cf, ef, 所以af = ab,1 一一.一一 .一 . . . 一一 .又cd = 2ab,所以af = cd,又af/cd,所以四边形afcd为平行四边形，所以cf/ad,又cf?平面pad,所以cf /平面pad,由(1)可知ce/平面pad, 又ceacf = c,故平面cef/平面pad,故存在ab的中点f满足要求.八pe pf_ _， _3 .(1)证明.彘=pf=x 江。)，-ef / bc.-.bc/ ad, .ef /ad. pb pc又 ef?平面 pad, ad?平面 pad, . ef/平面 pad.1(2)解入=2,，f是pc的中点，在 rtfa

12、c 中，fa=2, ac=a/2, .1.pc = fa2+ ac2 =6,1j6. pf=yc=卞7.平面 fac,平面 abcd,且平面 faca 平面 abcd =ac,paxac, pa?平面 pac, . pal平面 abcd , paxbc.又 ab，ad, bc / ad,bcxab,又 paaab=a, pa, ab?平面 pab, .bc,平面 pab, bcxpb, 在 rtpbc 中，bf = -2pc = i26.连接bd, df,设点d到平面 afb的距离为d,在等腰三角形 baf中，bf=af =坐，ab=1, .4abf=乎，又saabd = 1,点f到平面abd

13、的距离为由丫得加小宗”享解得雪即点口到平面afb的距离为唔4 .证明（1）由题设知 bbi / ddi 且 bbi=ddi,所以四边形bbidid是平行四边形，所以 bd / bidi.又 bd?平面 cdibi, bidi?平面 cdi bi ,二1a3所以 bd / 平面 cdibi.因为 aidi / bici / bc 且 aidi=bici= bc,所以四边形 aibcdi是平行四边形，所以 aib/ dic.又 aib?平面 cdibi, dic?平面 cdibi, 所以 aib/平面 cdibi.又因为 bdaaib=b, bd, aib?平面 aibd, 所以平面 aibd/平

14、面cdibi.（2）由（i）知平面 aibd/平面cdibi,又平面 abcda平面bidic =直线l,平面abcda平面aibd=直线bd ,所以直线l/直线bd,在四柱abcd aibicidi中，四边形bdd ibi为平行四边形，所以 bidi / bd,所以 bidi / l.5 .连接ac交bd于点o,连接mo,因为pm= mc, ao=oc,所以pa/ mo, 因为pa?平面 mbd, mo?平面 mbd,所以pa/平面 mbd .p因为平面 pahgn平面 mbd = gh,所以ap/gh.6 .证明(1)在四棱锥 p-abcd中，因为pa，底面abcd, cd?平面abcd

15、,所以pax cd, 因为 accd,且 pan ac = a,所以cd,平面fac,而ae?平面fac,所以cdxae.(2)由 fa= ab= bc, zabc=60 ,可得 ac=pa.因为e是pc的中点，所以aexpc.由(1)知 aecd,且 pcacd=c,所以 ael平面 pcd .而pd?平面pcd ,所以aexpd.因为pal底面abcd,所以paxab.又因为 abad 且 paa ad = a,所以ab,平面pad,而pd?平面pad,所以abxpd.又因为 abaae=a,所以pd,平面abe.7 .(1)证明 因为abcd为正方形，所以ad / bc.因为ad?平面p

16、bc,bc?平面pbc,所以ad /平面pbc.因为ad?平面 aefd,平面 aefd n平面pbc=ef,所以ad / ef.(2)证明 因为四边形 abcd是正方形，所以ad ab.因为平面 pab，平面abcd,平面pab n平面abcd=ab,ad ?平面 abcd,所以adl平面pab.因为pb?平面pab,所以ad pb.因为4pab为等边三角形，e是pb中点，所以pbxae.因为 ae?平面 aefd,ad ?平面 aefd,ae n ad=a,所以 pb,平面 aefd.221(3)解 由(1)知,v 1 =v c-aefd ,v e-abc =v f-adc = vc-ae

17、fd = v 1,458：vbc-aefd =3v1,则 vp-abcd =v i+*vi=*vi8 .解(1)证明：在菱形 abcd中，/dab=60 , g为ad的中点，所以bgxad.又平面pad 平面abcd,平面pad n平面abcd = ad,所以bgl平面pad.(2)证明：如图，连接pg.因为 pad为正三角形，g为ad的中点所以pg xad.由(1)知，bglad ,又 pg n bg = g,所以 ad,平面 pgb .因为pb?平面pgb,所以adxpb .当f为pc的中点时，满足平面 def，平面abcd .证明如下：取 pc的中点f,连接de、ef、df.在4pbc

18、中，fe / pb,在菱形 abcd 中，gb / de .而 fe?平面 def , de?平面 def , efade = e, pb?平面 pgb, gb?平面 pgb ,pbagb=b,所以平面 def /平面pgb .因为bgl平面pad, pg?平面pad,所以bgxpg.又因为 pgxad, ad a bg = g ,所以 pgl平面 abcd.又pg?平面pgb,所以平面 pgbl平面abcd,所以平面 defl平面 abcd.9 .【解】(1)证明：因为pc,平面abcd,所以pcxdc.又因为dclac,且pcaac = c,所以dc,平面pac.(2)证明：因为 ab/

19、dc, dcxac,所以 abac.因为pc,平面abcd,所以pcxab.又因为pcaac=c,所以ab,平面pac.又ab?平面pab,所以平面 pabl平面pac.棱pb上存在点f ,使得pa /平面cef.理由如下：如图，取pb中点f,连接ef, ce, cf.又因为e为ab的中点，所以ef / pa.又因为pa?平面cef,且ef?平面cef,所以pa/平面cef.10 .证明 因为四边形 abcd是矩形，所以 ab/cd.又ab?平面pdc, cd?平面pdc ,所以ab/平面pdc ,又因为 ab?平面abe,平面 abe n平面pdc = ef,所以 ab / ef.(2)因为四边形 abcd是矩形，所以 abxad.因为 afxef, (1)中已证 ab / ef,所以 ab af.又ablad,由点e在pc上(异于点c),所以点f异于点d, 所以 af n ad = a, af, ad?平面 pad,所以ab,平面pad,又ab?平面abcd,所以平面 pad，平面abcd.11 .(1)证明 因为ab = bc, ad=cd, 所以bd垂直平分线段 ac.又/adc = 120。，所以 md