角平分线模型的构造41692.doc

1、精品文档第二讲角平分线模型的构造3 月角平分线(l) 定义：如图 2-1 ，如果 AOB BOC，那么AOC=2AOB=2 BOC，像 OB这样，从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线， 叫作这个角的角平分线图 2-1(2) 角平分线的性质定理如果一条射线是一个角的平分线， 那么它把这个角分成两个相等的角，在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等(3) 角平分线的判定定理在角的内部，如果一条射线的端点与角的顶点重合，且把一个角分成两个等角， 那么这条射线是这个角的平分线，在角的内部，到一个角两边距离相等的点在这个角的平分线上，与角平分线有关的常用辅助线作法， 即角平分线的四大基本

2、模型，已知 P 是 MON平分线上一点，(l) 若 PAOM于点 A，如图 2-2(a) ，可以过 P 点作PBON于点 B，则 PB=PA.可记为“ 图中有角平分线，可向两边作垂线” MMAAPPOBNOB N(a)(b)(2) 若点 A 是射线 OM上任意一点，如图 2-2(b) ，可以在 ON上截取 OB=OA，连接 PB，构造 OPB OPA可.记为“ 图中有角平分线，可以将图对折看，对称以后关系现”(3) 若 APOP于点 P，如图 2-2(c) ，可以延长 AP交 ON于点 B，构造 AOB是等腰三角形， P 是底边AB 的中点，可记为“ 角平分线加垂线，三线合一试试看”MMAPQ

3、PO(c)BNO(d)N(4) 若过 P 点作 PQ ON交 OM于点 Q，如图 2-2(d) ，可以构造 POQ是等腰三角形，可记为“ 角平分线十平行线，等腰三角形必呈现” 例 1(1) 如图 2-3(a) ，在 ABC中， C=90。，AD平分CAB， BC=6cm，BD=4cm，那么点 D到直线 AB的距离是（）cm.ACDB图 2-3（a）(2) 如图 2-3(b) ，已知： 1=2， 3=4，求证： AP平分 BACABC2314P图2-3（b）。1 欢迎下载精品文档例 2如图 2-4(a) ， RtABC中， ACB=90， CD AB，垂足为 D. AF 平分 CAB，交 CD于

4、点 E，交 CB于点 F求证： CE= CF.CFEADB图 2-4（a）例 3阅读下列学习材料：如图 2-5(a) 所示， OP平分 MON，A 为 OM上一点， C 为 OP上一点，连接 AC，在射线 ON上截取 OB=OA，连接 BC(如图 2-5(b) ，易证 AOC BOC.MMAAPPCCOBNO（N图a）图 2-5 （ b）2-5请根据上面的学习材料，解答下列各题：(l) 如图 2-5(c) 所示，在 ABC中， AD是 BAC的外角平分线， P 是 AD上异于点 A 的任意一点，试比较 PB+PC与 AB+AC的大小，并说明理由A将图 2-4(a) 中的 ADE沿 AB向右平移

5、到 A，D，E， 的位置，使点 E，落在 BC边上，其它条件不变，如图 2-4(b) 所示试猜想： BE与 CF有怎样的数量关系？请证明你的结论CFEEADADB图 2-4（ b）BCD图2-5（c）(2) 如图 2-5(d) 所示， AD是 ABC的内角平分线，其它条件不变，试比较 PC PB 与 ACAB的大小，并说明理由APBDC图 2-5（ d）例 4。2 欢迎下载精品文档如图 2-6(a) ，已知等腰直角三角形ABC 中，线，其它条件不变；A=90， AB=AC，BD 平分 ABC， CEBD，垂足为A点 E，求证： BD=2CE.GEFDAEDBC图 2-6（a）(1) 如图 2-

6、7(a) ，BD、CE分别是 ABC的外角平分线，过点 A 作 AD上 BD、AE CE，垂足分别为 D、E，连接 DE.求证： DEBC， DE=1 (AB+BC+AC)；2ADEBC图 2-7（a）(2) 如图 2-7(b) ，BD、CE分别是 ABC的内角平分BC图 2-7（b）(3) 如图 2-7(c) ， BD 为 ABC 的内角平分线， CE为 ABC的外角平分线，其它条件不变，则在图 2-7(b) 、图 2-7(c) 两种情况下， DE 与 BC还平行吗？它与 ABC 三边又有怎样的数量关系？请写出你的猜测， 并对其中的一种情况进行证明。ADEFB 图 2-7（ c） C。3 欢

7、迎下载精品文档变式如图 2-8 ，在 ABC中， AB=3AC,BAC的平分线交 BC于点 D，过点 B 作 BEAD，垂足为 E，求证：AD=DEACDBE图2-8(4) 如图 2-9(d) ，BD平分 ABC，CD平分外角 ACG. DE BC交 AB于点 E，交 AC于点 F 线段 EF与 BE、CF有什么关系？并说明理由AEFDB图 2-9 （ d）CG例 6如图 2-9(a) ， AB=AC，BD，CD分别平分 ABC，ACB.问：(l) 图 2-9(a) 中有几个等腰三角形？AADEDFB图 2-9（ a）CB图 2-9（ b）C(2) 过 D 点作 EF BC，如图 2-9(b)

8、 ，交 AB于点 E，交 AC于点 F，图中又增加了几个等腰三角形？(3) 如图 2-9(c) ，若将题中的 ABC改为不等边三角形，其他条件不变， 图中有几个等腰三角形？直接写出线段 EF与 BE、CF有什么关系？AEDF(5) 如图 2-9(e) ，BD、CD为外角 CBM、 BCN的平分线，DE BC交 AB延长线于点 E，交 AC延长线于点 F，直接写出线段 EF 与 BE、CF有什么关系？ABCMDN图 2-9（ e）例 7 如图 2-10(a) 所示，已知 ABC中，AC=BC， C=90， AD平分 CAB，求证： AB=ACDCD12AB 图2-10（a）BC图2-9（c）变式

9、 1。4 欢迎下载精品文档如图 2-11 所示，已知 ABC中， AB=AC，A=108， BD平分 ABC.求证： BC=ABCD.ADB图2-11C变式 2如图 2-12 ，已知 ABC中，AB=AC，A=IOO，BD平分 ABC，求证： BC=BDAD.ADBC图 2-12如图 2-13(a) ，OP是 MON的平分线，请你利用该图形画一对以 OP 所在直线为对称轴的全等三角形，MPON图 2-13(a)请你参考上图构造全等三角形的方法， 解答下列问题：(1) 如图 2-13(b) ，在ABC中， ACB是直角，B=60， AD、CE分别是 BAC、 BCA的平分线，AD、 CE相交于点

10、 F. 请你判断写出 FE 与 FD之间的数量关系；BEFDA图2-13(b)C(2) 如图 2-13(c) ，在ABC中，如果 ACB不是直角，而 (l) 中的其他条件不变，请问，你在（ 1）中所得结论是否依然成立？若成立请证明；若不成立，请说明理由BEFDAC图 2-13（c）例 8牛刀小试。5 欢迎下载精品文档(l) 如图 2-14 (a) ，在 ABC 中， ABC与 ACBBC=CD.的角平分线相交于点 F，过点 F 作 DFBC，交 AB求证： AC平分 BAD.于点 D，交 AC于点 E，若 BD+CE=9，则线段 DE之B长为（）CADFEA图 2-16DB图 2-14(a)C

11、(2) 如图 2-14(b) ，在 ABC中， BD、CD分别平分ABC和 ACB，DEAB，FDAC.，BC=6，求 DEF的周长，ADBEFC图 2-14(b)4. 如图 2-17 ，ABC的外角 /ACD的平分线 CP与内角 ABC的平分线 BP 交于点 P，连接 AP、CP，若BPC=40。，求 CAP的度数2. 已知：如图 2-15 ， BAD=CAD， ABAC，CD AD于点 D.H 是 BC中点求证： DH 1 (AB AC).2APAB图 2-17CDBHC图2-153、已知如图 2-16 ，四边形 ABCD中，B+ D=180，5. 已知：如图 2-18 ，在四边形中， B

12、CAB，AD=CD，。6 欢迎下载精品文档BD平分 ABC.求证： A+C=180ADB图 2-18C6. 在平行四边形 ABCD中， BAD的平分线交直线BC于点 E，交直线 DC于点 F.(1) 在图 2-19(a) 中证明 CECF；ADECB图 2-19(a)F(2) 若 ABC=90， G是 EF 的中点 ( 如图 2-19(b ），直接写出 BDG的度数；ADCBE图2-19(b)GF(3) 若 ABC= 120， FG CE， FG=CE，分别连接DB、 DG(如图 2-19 （ c），求 BDG的度数ADECB图2-19(c) GF7. 已知：如图 2-20 ，在 ODC中， D 一 90，EC。7 欢迎下载精品文档是 DCO的角平分线，且 OE CE，过点 E 作 EFCD DA， AB