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文档简介

1、高一数学必修一学问点总结五篇共享 数学这个科目始终是同学们又爱又恨的科目,学的好的同学靠它来与其它同学拉开分数,学的差的同学则在化学上失分很多;在平常的学习和考试中同学们要擅长总结学问点,这样有助于关怀同学们学好数学。下面就是我给大家带来的高一数学必修一学问点总结,期望能关怀到大家! 高一数学必修一学问点总结1 一、集合 一、集合有关概念 1.集合的含义 2.集合的中元素的三个特性: (1)元素的确定性如:世界上的山 (2)元素的互异性如:由happy的字母组成的集合h,a,p,y (3)元素的无序性:如:a,b,c和a,c,b是表示同一个集合 3.集合的表示:如:我校的篮球队员,太平洋,大西

2、洋,印度洋,北冰洋 (1)用拉丁字母表示集合:a=我校的篮球队员,b=1,2,3,4,5 (2)集合的表示方法:列举法与描述法。 ?留意:常用数集及其记法: 非负整数集(即自然数集)记作:n 正整数集n_或n+整数集z有理数集q实数集r 1)列举法:a,b,c 2)描述法:将集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合的方法。x?r|x-32,x|x-32 3)语言描述法:例:不是直角三角形的三角形 4)venn图: 4、集合的分类: (1)有限集含有有限个元素的集合 (2)无限集含有无限个元素的集合 (3)空集不含任何元素的集合例:x|x2=-5 二、集合间的基本关系 1.“包含”关

3、系子集 留意:有两种可能(1)a是b的一部分,;(2)a与b是同一集合。 反之:集合a不包含于集合b,或集合b不包含集合a,记作ab或ba 2.“相等”关系:a=b(55,且55,则5=5) 实例:设a=x|x2-1=0b=-1,1“元素相同则两集合相等” 即:任何一个集合是它本身的子集。a?a 真子集:假如a?b,且a?b那就说集合a是集合b的真子集,记作ab(或ba) 假如a?b,b?c,那么a?c 假如a?b同时b?a那么a=b 3.不含任何元素的集合叫做空集,记为 规定:空集是任何集合的子集,空集是任何非空集合的真子集。 ?有n个元素的集合,含有2n个子集,2n-1个真子集 二、函数

4、1、函数定义域、值域求法综合 2.、函数奇偶性与单调性问题的解题策略 3、恒成立问题的求解策略 4、反函数的几种题型及方法 5、二次函数根的问题一题多解 指数函数y=ax aa_b=aa+b(a0,a、b属于q) (aa)b=aab(a0,a、b属于q) (ab)a=aa_a(a0,a、b属于q) 指数函数对称规律: 1、函数y=ax与y=a-x关于y轴对称 2、函数y=ax与y=-ax关于x轴对称 3、函数y=ax与y=-a-x关于坐标原点对称 对数函数y=logax 假如,且,那么: 1?+; 2-; 3. 留意:换底公式 (,且;,且;). 幂函数y=xa(a属于r) 1、幂函数定义:一

5、般地,形如的函数称为幂函数,其中为常数. 2、幂函数性质归纳. (1)全部的幂函数在(0,+)都有定义并且图象都过点(1,1); (2)时,幂函数的图象通过原点,并且在区间上是增函数.特殊地,当时,幂函数的图象下凸;当时,幂函数的图象上凸; (3)时,幂函数的图象在区间上是减函数.在第一象限内,当从右边趋向原点时,图象在轴右方无限地靠近轴正半轴,当趋于时,图象在轴上方无限地靠近轴正半轴. 方程的根与函数的零点 1、函数零点的概念:对于函数,把使成立的实数叫做函数的零点。 2、函数零点的意义:函数的零点就是方程实数根,亦即函数的图象与轴交点的横坐标。 即:方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零

6、点. 3、函数零点的求法: 1(代数法)求方程的实数根; 2(几何法)对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数的图象联系起来,并利用函数的性质找出零点. 4、二次函数的零点: 二次函数. (1)0,方程有两不等实根,二次函数的图象与轴有两个交点,二次函数有两个零点. (2)=0,方程有两相等实根,二次函数的图象与轴有一个交点,二次函数有一个二重零点或二阶零点. (3)0,方程无实根,二次函数的图象与轴无交点,二次函数无零点. 三、平面对量 向量:既有大小,又有方向的量. 数量:只有大小,没有方向的量. 有向线段的三要素:起点、方向、长度. 零向量:长度为的向量. 单位向量:长度等于个单位的向量

7、. 相等向量:长度相等且方向相同的向量 向量的运算 加法运算 ab+bc=ac,这种计算法则叫做向量加法的三角形法则。 已知两个从同一点o动身的两个向量oa、ob,以oa、ob为邻边作平行四边形oacb,则以o为起点的对角线oc就是向量oa、ob的和,这种计算法则叫做向量加法的平行四边形法则。 对于零向量和任意向量a,有:0+a=a+0=a。 |a+b|a|+|b|。 向量的加法满足全部的加法运算定律。 减法运算 与a长度相等,方向相反的向量,叫做a的相反向量,-(-a)=a,零向量的相反向量照旧是零向量。 (1)a+(-a)=(-a)+a=0(2)a-b=a+(-b)。 数乘运算 实数与向量

8、a的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作a,|a|=|a|,当0时,a的方向和a的方向相同,当0时,a的方向和a的方向相反,当=0时,a=0。 设、是实数,那么:(1)()a=(a)(2)()a=aa(3)(ab)=ab(4)(-)a=-(a)=(-a)。 向量的加法运算、减法运算、数乘运算统称线性运算。 向量的数量积 已知两个非零向量a、b,那么|a|b|cos叫做a与b的数量积或内积,记作a?b,是a与b的夹角,|a|cos(|b|cos)叫做向量a在b方向上(b在a方向上)的投影。零向量与任意向量的数量积为0。 a?b的几何意义:数量积a?b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影

9、|b|cos的乘积。 两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。 四、三角函数 1、擅长用“1“巧解题 2、三角问题的非三角化解题策略 3、三角函数有界性求最值解题方法 4、三角函数向量综合题例析 5、三角函数中的数学思想方法 高一数学必修一学问点总结2 一:集合的含义与表示 1、集合的含义:集合为一些确定的、不同的东西的全体,人们能意识到这些东西,并且能推断一个给定的东西是否属于这个整体。 把争辩对象统称为元素,把一些元素组成的总体叫集合,简称为集。 2、集合的中元素的三个特性: (1)元素的确定性:集合确定,则一元素是否属于这个集合是确定的:属于或不属于。 (2)元素的互异性:一个给定集

10、合中的元素是的,不行重复的。 (3)元素的无序性:集合中元素的位置是可以转变的,并且转变位置不影响集合 3、集合的表示: (1)用大写字母表示集合:a=我校的篮球队员,b=1,2,3,4,5 (2)集合的表示方法:列举法与描述法。 a、列举法:将集合中的元素一一列举出来a,b,c b、描述法: 区间法:将集合中元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合。 x?r|x-32,x|x-32 语言描述法:例:不是直角三角形的三角形 venn图:画出一条封闭的曲线,曲线里面表示集合。 4、集合的分类: (1)有限集:含有有限个元素的集合 (2)无限集:含有无限个元素的集合 (3)空集:不含任何元素的

11、集合 5、元素与集合的关系: (1)元素在集合里,则元素属于集合,即:a?a (2)元素不在集合里,则元素不属于集合,即:aa 留意:常用数集及其记法: 非负整数集(即自然数集)记作:n 正整数集n_n+ 整数集z 有理数集q 实数集r 高一数学必修一学问点总结3 函数模型及其应用 本节主要包括函数的模型、函数的应用等学问点。主要是理解函数解应用题的一般步骤灵敏利用函数解答实际应用题。 1、常见的函数模型有一次函数模型、二次函数模型、指数函数模型、对数函数模型、分段函数模型等。 2、用函数解应用题的基本步骤是:(1)阅读并且理解题意.(关键是数据、字母的实际意义);(2)设量建模;(3)求解函

12、数模型;(4)简要回答实际问题。 常见考法: 本节学问在段考和高考中考查的形式多样,频率较高,选择题、填空题和解答题都有。多考查分段函数和较简洁的函数的最值等问题,属于拔高题,难度较大。 误区提示: 1、求解应用性问题时,不仅要考虑函数本身的定义域,还要结合实际问题理解自变量的取值范围。 2、求解应用性问题时,首先要弄清题意,分清条件和结论,抓住关键词和量,理顺数量关系,然后将文字语言转化成数学语言,建立相应的数学模型。 【典型例题】 例1: (1)某种储蓄的月利率是0.36%,今存入本金100元,求本金与利息的和(即本息和)y(元)与所存月数x之间的函数关系式,并计算5个月后的本息和(不计复

13、利). (2)按复利计算利息的一种储蓄,本金为a元,每期利率为r,设本利和为y,存期为x,写出本利和y随存期x变化的函数式.假如存入本金1000元,每期利率2.25%,试计算5期后的本利和是多少?解:(1)利息=本金月利率月数.y=100+1000.36%x=100+0.36x,当x=5时,y=101.8,5个月后的本息和为101.8元. 例2: 某民营企业生产a,b两种产品,依据市场调查和猜想,a产品的利润与投资成正比,其关系如图1,b产品的利润与投资的算术平方根成正比,其关系如图2(注:利润与投资单位是万元) (1)分别将a,b两种产品的利润表示为投资的函数,并写出它们的函数关系式。 (2

14、)该企业已筹集到10万元资金,并全部投入a,b两种产品的生产,问:怎样支配这10万元投资,才能是企业获得利润,其利润约为多少万元。(精确到1万元)。 高一数学必修一学问点总结4 一、集合有关概念 1.集合的含义 2.集合的中元素的三个特性: (1)元素的确定性, (2)元素的互异性, (3)元素的无序性, 3.集合的表示:如:我校的篮球队员,太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋 (1)用拉丁字母表示集合:a=我校的篮球队员,b=1,2,3,4,5 (2)集合的表示方法:列举法与描述法。 ?留意:常用数集及其记法: 非负整数集(即自然数集)记作:n 正整数集n_n+整数集z有理数集q实数集r 1)列举

15、法:a,b,c 2)描述法:将集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合的方法。x?r|x-32,x|x-32 3)语言描述法:例:不是直角三角形的三角形 4)venn图: 4、集合的分类: (1)有限集含有有限个元素的集合 (2)无限集含有无限个元素的集合 (3)空集不含任何元素的集合例:x|x2=-5 二、集合间的基本关系 1.“包含”关系子集 留意:有两种可能(1)a是b的一部分,;(2)a与b是同一集合。 反之:集合a不包含于集合b,或集合b不包含集合a,记作ab或ba 2.“相等”关系:a=b(55,且55,则5=5) 实例:设a=x|x2-1=0b=-1,1“元素相同则两

16、集合相等” 即:任何一个集合是它本身的子集。a?a 真子集:假如a?b,且a?b那就说集合a是集合b的真子集,记作ab(或ba) 假如a?b,b?c,那么a?c 假如a?b同时b?a那么a=b 3.不含任何元素的集合叫做空集,记为 规定:空集是任何集合的子集,空集是任何非空集合的真子集。 ?有n个元素的集合,含有2n个子集,2n-1个真子集 三、集合的运算 运算类型交集并集补集 定义由全部属于a且属于b的元素所组成的集合,叫做a,b的交集.记作ab(读作a交b),即ab=x|xa,且xb. 由全部属于集合a或属于集合b的元素所组成的集合,叫做a,b的并集.记作:ab(读作a并b),即ab=x|

17、xa,或xb). 设s是一个集合,a是s的一个子集,由s中全部不属于a的元素组成的集合,叫做s中子集a的补集(或余集) 例题: 1.下列四组对象,能构成集合的是() a某班全部高个子的同学b的艺术家c一切很大的书d倒数等于它自身的实数 2.集合a,b,c的真子集共有个 3.若集合m=y|y=x2-2x+1,xr,n=x|x0,则m与n的关系是. 4.设集合a=,b=,若ab,则的取值范围是 5.50名同学做的物理、化学两种试验,已知物理试验做得正确得有40人,化学试验做得正确得有31人, 两种试验都做错得有4人,则这两种试验都做对的有人。 6.用描述法表示图中阴影部分的点(含边界上的点)组成的

18、集合m=. 7.已知集合a=x|x2+2x-8=0,b=x|x2-5x+6=0,c=x|x2-mx+m2-19=0,若bc,ac=,求m的值 二、函数的有关概念 1.函数的概念:设a、b是非空的数集,假如依据某个确定的对应关系f,使对于集合a中的任意一个数x,在集合b中都有确定的数f(x)和它对应,那么就称f:ab为从集合a到集合b的一个函数.记作:y=f(x),xa.其中,x叫做自变量,x的取值范围a叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合f(x)|xa叫做函数的值域. 留意: 1.定义域:能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。 求函数的定义域时列不等式组的主

19、要依据是: (1)分式的分母不等于零; (2)偶次方根的被开方数不小于零; (3)对数式的真数必需大于零; (4)指数、对数式的底必需大于零且不等于1. (5)假如函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么,它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合. (6)指数为零底不行以等于零, (7)实际问题中的函数的定义域还要保证明际问题有意义. 相同函数的推断方法:表达式相同(与表示自变量和函数值的字母无关);定义域全都(两点必需同时具备) (见课本21页相关例2) 2.值域:先考虑其定义域 (1)观看法 (2)配方法 (3)代换法 3.函数图象学问归纳 (1)定义:在平面直角坐标系中,以

20、函数y=f(x),(xa)中的x为横坐标,函数值y为纵坐标的点p(x,y)的集合c,叫做函数y=f(x),(xa)的图象.c上每一点的坐标(x,y)均满足函数关系y=f(x),反过来,以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x,y),均在c上. (2)画法 a、描点法: b、图象变换法 常用变换方法有三种 1)平移变换 2)伸缩变换 3)对称变换 4.区间的概念 (1)区间的分类:开区间、闭区间、半开半闭区间 (2)无穷区间 (3)区间的数轴表示. 5.映射 一般地,设a、b是两个非空的集合,假如按某一个确定的对应法则f,使对于集合a中的任意一个元素x,在集合b中都有确定的元素y

21、与之对应,那么就称对应f:ab为从集合a到集合b的一个映射。记作f:ab 6.分段函数 (1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。 (2)各部分的自变量的取值状况. (3)分段函数的定义域是各段定义域的交集,值域是各段值域的并集. 补充:复合函数 假如y=f(u)(um),u=g(x)(xa),则y=fg(x)=f(x)(xa)称为f、g的复合函数。 二.函数的性质 1.函数的单调性(局部性质) (1)增函数 设函数y=f(x)的定义域为i,假如对于定义域i内的某个区间d内的任意两个自变量x1,x2,当x1 假如对于区间d上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1f(x2),那么就说f

22、(x)在这个区间上是减函数.区间d称为y=f(x)的单调减区间. 留意:函数的单调性是函数的局部性质; (2)图象的特点 假如函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性,在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的,减函数的图象从左到右是下降的. (3).函数单调区间与单调性的判定方法 (a)定义法: 1任取x1,x2d,且x1 2作差f(x1)-f(x2); 3变形(通常是因式分解和配方); 4定号(即推断差f(x1)-f(x2)的正负); 5下结论(指出函数f(x)在给定的区间d上的单调性). (b)图象法(从图象上看升降) (c)复合函

23、数的单调性 复合函数fg(x)的单调性与构成它的函数u=g(x),y=f(u)的单调性亲热相关,其规律:“同增异减” 留意:函数的单调区间只能是其定义域的子区间,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集. 8.函数的奇偶性(整体性质) (1)偶函数 一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么f(x)就叫做偶函数. (2).奇函数 一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么f(x)就叫做奇函数. (3)具有奇偶性的函数的图象的特征 偶函数的图象关于y轴对称;奇函数的图象关于原点对称. 利用定义推断函数奇偶性的步骤: 1首先确

24、定函数的定义域,并推断其是否关于原点对称; 2确定f(-x)与f(x)的关系; 3作出相应结论:若f(-x)=f(x)或f(-x)-f(x)=0,则f(x)是偶函数;若f(-x)=-f(x)或f(-x)+f(x)=0,则f(x)是奇函数. (2)由f(-x)f(x)=0或f(x)/f(-x)=1来判定; (3)利用定理,或借助函数的图象判定. 9、函数的解析表达式 (1).函数的解析式是函数的一种表示方法,要求两个变量之间的函数关系时,一是要求出它们之间的对应法则,二是要求出函数的定义域. (2)求函数的解析式的主要方法有: 1)凑配法 2)待定系数法 3)换元法 4)消参法 10.函数(小)

25、值(定义见课本p36页) 1利用二次函数的性质(配方法)求函数的(小)值 2利用图象求函数的(小)值 3利用函数单调性的推断函数的(小)值: 假如函数y=f(x)在区间a,b上单调递增,在区间b,c上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有值f(b); 假如函数y=f(x)在区间a,b上单调递减,在区间b,c上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b); 例题: 1.求下列函数的定义域: 2.设函数的定义域为,则函数的定义域为_ 3.若函数的定义域为,则函数的定义域是 4.函数,若,则= 6.已知函数,求函数,的解析式 7.已知函数满足,则=。 8.设是r上的奇函数,且当时,则当时= 在r上的解析式为 9.求下列函数的单调区间: (2) 10.推断函数的单调性并证明你的结论. 11.设函数推断它的奇偶性并且求证 高一数学必修一学问点总结5 【集合与函数概念】 一、集合有关概念 1.集合的含义 2.集合的中元素的三个特性: (1)元素的确定性如:世界上的山 (2)元素的互异性如:由happy的字母组成的

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