三年高考文科数学真题分类专题11-解三角形

1、三年高考文科数学真题分类专题11-解三角形 作者: 日期：专题11解三角形考纲解读明方向考点内容解读要求高考不例常考题型预测热度1.正弦定理和余弦定理掌握正弦定理、余弦定理 ，并能解决一些简单的三角形度量问题掌握2017 山东，9;2017 浙江，14;2017 天津，15;2017 北京,15;2016课标全国h ,13;2016 天津，3;2015 天津,13选择题填空题2.正、余弦定理的应用能够运用正弦定理、余弦 定理等知识和方法解决一 些与测量和几何计算有关 的实际问题掌握2017课标全国n ,17;2017课标全国出,17;2017 江苏,18;2016课标全国出,8;2016 山东

2、，16; 2016 浙江,16;2015 湖北，13解答题分析解读1 .利用正弦定理、余弦定理解三角形或者求解平面几何图形中有关量的问题，需要综合应用两个定理及三角形有关知识.2 .正弦定理和余弦定理的应用比较广泛，也比较灵活，在高考中常与面积或取值范围结合进行考查3会利用数学建模思想，结合三角形的知识，解决生产实践中的相关问题.小曲w台洋加花，曲利导斐 掩霄却*如bl aiftlif何.加*的事，事典 网也的铀1阿t量股-：角忸修卜 mihk和tih装量工基乜；第团血，fh*t;.解 bfw立底.和w圮理九比唧地中时城rw. r *n .代“二式f 廨一附他1.；书做沁制艮会乩工止立定瞳立骏

3、m2则m桁的金批登宣1的长力-a. -nirjii.ftiit 独段*二次.一依凰录探之用 之用出席式等率咕木丽,h原北 徽少借.川就点的出4方肥的1 . t 3c&* *叫1+呵7口 小*昨t5广27 i u曲tujuta。,1ak-ua.4 - un h - i1i ca&ujl,为il .酣毒而光.耳条f|让儿勒c jft牛4幄用必血，感等tttt1哈免川ii/加的*用齿式用第 7rn：n且=:打* 羁睛利川正 赛定期叮，血布.i1看巾2仃卷塔自畤曲布的余陆科嘉博川 加之 讲m，;* n塔利iu全荣史如“1$inj#博艮itl也求期i上h,司逸昌水时的利甘乂, 0由牖曲畤d* g 足,*

4、上 /招fr jwn 4 上imifv 4_1l扳定却配-c.47求xt。口青洋值毕伍也也晌j/.hi1gli3:州am巾至修制m宵。了ulr42 .常枇电的英jb尊式！/=加f26t-latc + - c x 1x sin60ca = a + gt- + - = 122,化简得” ，因此4在 + t h （4a + 匕）（:+ 5 h 5 + e+乃至 5 + 2 ；e *3工 9,. 丹 一 当且仅当=2。=三时取等号，则”中的最小值为2点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意 拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中正”即条件要求中字母为正数）、巡”不等式的另一边必须为定值）、等”等号

5、 取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误.6 .【2018年新课标i卷文】用冏的内角儿色的对边分别为bf j已知t】c + e疝=mmhxtnc, b-*白z = 8,贝（j小m的面积为.【答案】,【解析】分析；首先利用正号淀理将题中的式子化为$1施而+对“加5 =4sw就nb痴化简求得一4必=*利用余弦定理，结合撷中的条件，可以得到阮m如=8,可以断定a为锐角从而求得=争 进一步求得尻=手，利用三角形面积公式求得结果.详解:根据题意,结合正弦定理可得剑的w：+向的eb = 4疝会山机皿公即4出=结合余?淀理可得%8=当所以a为锐角,且=三 从而求得我=en所以工46匚的面积为 工n5=乂

6、区四=:号二=号，故答案是与点睛：该题考查的是三角形面积的求解问题，在解题的过程中，注意对正余弦定理的熟be =练应用，以及通过隐含条件确定角为锐角，借助于余弦定理求得,利用面积公式求得结果.7 .【2018年天津卷文】在me。中，内角a, b, c所对的边分别为a, b, c.已知(i)求角b的大小；(ii)设 a=2, c=3,求 b和(24一0的值.7 sin(2j4 - b)=【答案 i (if； (r)br7,14【解析】分析：(i)由题意结合正弦定理边化角结合同角三角函数基本关系可得9m三书,则b=.(ii)在 abc中，由余弦定理可得b小了.结合二倍角公式和两角差的正弦公式可得详

7、解：(1 )在心上中j由正弦定理后=号.，可得匕5ml = asmb,又由加斑得ji l 11j4. l il-du矽拚3 = tie3即3加?=笺5(5%可得t砧3 =仃，又因为be (0，0 可得8千.(ii )在中,由余理及,孑爸有二口工十l 一 zaccosb = 7,故如7. j-因此由m2启=25huos / =由加em4 = acosfb - t)7可得家力/ = 因为*三，故2后=三6 = 2co2a - 1 = fiffcar $出(2工一引 工克升2j。州片 一 加b =”乂： 一 ： x ?二一. 2 721.4点睛：在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全

8、部化为边的关 系.题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理.应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用.解决三角形问题时，注意角的限制范围.2017年高考全景展示1.【2017课标1,文11】abc的内角a、b、c的对边分别为a、b、c.已知sin5 + smxsm c-=23c)-0 , a=2, c=尬，则 c=【解析】b,d.试题分析：由题意皿6 +仙务得sm cos c + cos j4 sm c + sin asm c- sm jicos (7 = 0sin=j5 sin c 皿, + 二)=0 a =即4,所以 4 .2 _品 c . 37r 51rl

9、c - rr 1/开= siue口 sin c = - c=由正弦定理由力上幻口c得 4 ，即 2 ,得 ,故选b.【考点】解三角形【名师点睛】在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个 定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息.一般地，如果式子中含有角的余弦或边 的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用 正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到.2.【2017课标ii ,文16】人4沈7的内角4区c的对边分别为斯瓦j若2bccoss = acos c+c 二3 乂，则 b =【答案】-【解析】由正弦定理可得2 sin

10、 b cos b = sin cos c 4-sin (7 c co-5=23【考点】正弦定理【名师点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合 已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方 向.第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.第三步：求结果.3.【2017浙江，13】已知bc, ab=ac=4, bc=2.点d为ab延长线上一点，bd=2,连结 cd,则 abdc 的面积是, cos/ bdc=.而m【答案】- .二【解析】

11、试题分析；取bc中点m戊?中点f,由题意；jf_cdj乙/为 卬 j cos aabc = ? cosc =. sin2ldbc = 11 = fab 44-v 1541-4rc 士.又二 coszdjc = 1-2 sin3 dbf = -. . . sin dbf =亚, 44.cds dbdc = sin ddbff蛛上可彳导 3cd面积为 f 8e 24【考点】解三角形【名师点睛】利用正、余弦定理解决实际问题的一般思路：（1）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可以利用正弦定理或余弦定理求解；（2）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个或两个以上三角形，这

12、时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，再逐步解其他三角形，有时需要设出未知量，从几个三角形中列出方程（组），解方程（组）得出所要的解.4.12017课标3,文15】aabc的内角a, b, c的对边分别为a, b, c.已知c=60。，b=何 c=3, wja=.【答案】750【解析】由题意:工=三，即.h bc xt g ,结合小v仁可得3 =45。,则 sin b smc sin s =二二一c 324 =180： f c =田【考点】正弦定理【名师点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是

13、：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化第三步：求结果.5.12017浙江，11】我国古代数学家刘徽创立的 割圆术”可以估算圆周率 冗，理论上能 把冗值值计算到任意精度.祖冲之继承并发展了 割圆术”，将冗的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年，割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积 芯，盘二.班【答案】 二【解析】 = 6x(2xlxlxsm 60a)=试题分析：将正六边形分割为6个等边三角形，则22【考点】数学文化【名师点睛】本题粗略看起来文字量大，其本质为将正六边

14、形分割为6个等边三角形，确定6个等边三角形的面积，其中对文字信息的读取及提取有用信息方面至关重要，考生面对这方面题目时应多加耐心，仔细分析题目中所描述问题的本质，结合所学进行有 目的的求解.6.【2017天津，文15】在八四c中,内角a艮c所对的边分别为瓦c.已知asm 14 = 4z? sin b 朋三事（，-n） ?.求8s工的值；（ii）求.-的值.v52事【答案】（i） 丁；（阴丁 .【解析】sin a a试题分析（i ）首先根据正弦定理.由3%代入得到百二及，再根据余弦定理求得c03/l; （h）根据（i）的结论和条件，根据 as月求川口总，和口二石，以及正弦定理求得,再求co-,以

15、及cm2用ce2,最后代入求仙田一的值.打 h试题解析：（i ）解：由q疝14 = 4bsine）及=营得以 = .5in a mnr_ 1 ，r* 4- j1 * ac由的=#(a，- -马,及余弓疑理j fl cos j = :（n）解：由（i r可得=代入白后油.4=4打也下,得疝。=巴士1 =立55由1） 知a为钝角,所以egh =j1-城口二s =三匚.于是4口工3 = 2疝口下836 =，c0&2b =1- 2 sin2 e =-& sin(25 - a) = sin 2 cos j - cos 2b sin j = x(- 5_4【考点】1.正余弦定理；2.三角恒等变换.【名师点

16、睛】高考中经常将三角变换与解三角形知识综合起来命题，如果式子中含有角 的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次 式时，则考虑用正弦定理实现边角互化；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有 可能用到.而三角变换中主要是“变角、变函数名和变运算形式”，其中的核心是“变 角”，即注意角之间的结构差异，弥补这种结构差异的依据就是三角公式7.12017山东，文17（本小题满分12分）在9bc中，角a,b,c的对边分别为a,b,c, 已知 b=3,y ,s*bc=3,求 a 和 a.3j4二耳,口=【答案】4【解析】3c ccs = -6 1 ,x sin j4 3试

17、题分析：先由数量积公式及三角形面积公式得j2，由此求a,再利用余弦 定理求a.试题解析i因为方就所以 &g cp5 h = -6)又工k 3，所以红口内=6 ,因此tan，= if 又口乂不，所以月=亨，又石=办所以。由余弦定理口二三七：十” -r?ue54 得二9十g-13-2姆(?)二二9 ,.所以回.【考点】解三角形【名师点睛】正、余弦定理是应用极为广泛的两个定理，它将三角形的边和角有机地联系起来，从而使三角与几何产生联系，为求与三角形有关的量(如面积、外接圆、内切圆半径和面积等 )提供了理论 依据也是判断三角形形状、证明三角形中有关等式的重要依据.其主要方法有：化角法，化边法，面积法，

18、运用初等几何法.注意体会其中蕴涵的函数与方程思想、等价转化思想及分类讨论思想.2016年高考全景展示1.12016高考新课标1文数】 abc的内角a、b、c的对边分别为a、b、c.已知ri 20054 =口 = 7l则 b=()(a)无(b)后(c) 2(d) 3【答案】d【解析】5=甘-f4-2xix2x-b=1试题分析：由余弦定理得w,解得上二号(舍去)，故选d.考点：余弦定理【名师点睛】本题属于基础题考查内容单一，根据余弦定理整理出关于b的一元二次方程，再通过解方程求b.运算失误是基础题失分的主要原因，请考生切记！2.12016高考山东文数】 丛而 中,角a, b, c的对边分别是a,

19、b, c,已知d2吐1-皿，则a=()3ir n x -jr(a) 4 (b) 3 (c)耳(d).【答案】c【解析】试题分析：因为b三二所以由余弦定理得上不二工 c - m cos a = 25* - 2b cos a = 2i (1-cos a)又因为日 二一】一 sin a) , 所以 = 因为 csa*。1所以 tana = l,因为a亡(0二贰)，所以a = j故选匚4考点：余弦定理【名师点睛】本题主要考查余弦定理的应用、三角函数的同角公式及诱导公式，是高考 常考知识内容.本题难度较小，解答此类问题，注重边角的相互转换是关键，本题能较 好的考查考生分析问题解决问题的能力、基本计算能力

20、等 .e =三bc3. 2016高考新课标出文数在少成7中， , 3边上的高等于3，则地月=3v10书3西(a)】口(b) 10(c) $(d) 10【答案】d【解析】试题分析：设用7边上的高线为 见 则百2二3乂口,且c二2月口，所以45ad_3ad ac_ _上c n j而+dc?二忌口 .由正弦定理，知就15一51月，即 方 ,解得sin a10 ,故选d.考点：正弦定理.【方法点拨】在平面几何图形中求相关的几何量时，需寻找各个三角形之间的联系，交 叉使用公共条件，常常将所涉及到已知几何量与所求几何集中到某一个三角形，然后选 用正弦定理与余弦定理求解.4.12016高考上海文科】已知的三

21、边长分别为3,5,7 ,则该三角形的外接圆半径【答案】4【解析】试题分析:由已知厘 3i=5,匕7 ,/十求一/2时sinc7 = tccsc =2sll1(73考点：1.正弦定理；2.余弦定理.【名师点睛】此类题目是解三角形问题中的典型题目.解答本题，往往要利用三角公式 化简三角包等式，利用正弦定理实现边角转化，达到解题目的；三角形中的求角问题, 往往要利用余弦定理用边表示角的函数.本题较易，主要考查考生的基本运算求解能力5.12016高考新课标2文数】 abc的内角a, b, c的对边分别为a, b, c,若21【答案】13【解析】试题分析：因为cos j = -:cosc4312=- 且

22、为三角形内角，所以乂=不如。= 1 j513.3an b = sin霭一（，十c） = en（0十 b） = sm a cost? + cos 4sin c =又因为 sm a事所以心登耳sin bsin a2113考点：正弦定理，三角函数和差公式.【名师点睛】在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个 定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息.一般地，如果式子中含有角的余弦或边 的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式，则考虑用正弦 定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到.乙4二纱厂 36.12016高考北京文数】在 bc中，3 ,

23、 口 =4无，则c【解析】27r*2口 -z 1s 二巴二4winc二一二-c7=-试题分析：由正弦定理知 弘nu二 ，所以2 ,则 自，所以_2?r jfb rp =-=1366,所以3=t,即已.考点：解三角形【名师点睛】根据所给等式的结构特点利用余弦定理将角化边进行变形是迅速解答本题的关键.熟练运用余弦定理及其推论，同时还要注意整体思想、方程思想在解题过 程中的运用.7.12016高考天津文数】（本小题满分13分）在&4fc中，内角4及c所对应的边分别为a,b已知以巾28=忑丛0 .（i）求 b；上1cq a=（h ）若* ,求sinc的值.刃=下2击+ 1【答案】（i）6 （n）6【解

24、析】试题分析：（i ）利用正弦定理，将边化为角：2masm3皿入石smbs出用，再根据三cos = b =角形内角范围化简得2 ,6（n）问题为“已知两角，求第三角”，先利用三角形内角和为手,将所求角化为两已知角的和加, =m1火-口 +均=3侬月+6，冉 根据两角和的正弦公式求解试题解析：c解：在azffc中，由二二一一,可得口而又由厘而2e二道5而，得 加 h 5 m b（2f2 口 sin 3 8写r =忑b 品14 二出口乐 b f fiffw cos5 = * 得 8 =二？ 26u）解：由 cos 4=得 da =- ?则而（？ = sin:一 _.4一历=sin（m+ 以）？所以 sin c =疝或 a +）=- du a + -cos j =考点：同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦公式、两角和的正弦公式以及正弦定理【名师点睛】三角函数是以角为自变量的函数，因此解三角函数题，首先从角进行分析，善于用已知角表示所求角，即注重角的变换.角的变换涉及诱导公式、同角三角函数关系、两角和与差公式、二倍角公