与两个圆有关的辅助线

1、与两个圆有关的辅助线 两个圆的位置关系比较多，但主要的是相切和相交解这类题时，大多需要添加辅助线本文就常见的辅助线分类例析如下 一、连心线 例1如图1，圆o1与圆o2外切于点 p，由圆o1上一点a作圆o1的切线，交圆o2于c、d两点，直线ap交圆o2于b，求证： cap=bdp 证明：连结 又由ac是圆o1的切线，知 圆o2中，bdp 点评：本例中的连心线至关重要，再加上两条半径，构造了等腰三角形，对顶角，内错角，平行线，以及圆心角、圆周角、弦切角，将两个要证的看起来不相关的角联系了起来 tp tif，bp#ts（ht5”ssjz图1图2 ts） 例2如图2，半径分别为3、2的 圆o1与圆o2

2、外切于点p，内公切线与两条外公切线ab、cd分别交于m、n，求线段 mn的长 解：连结o1o2， o1m， o2m 由切线条件知amo1=o1mp， 而这四个角的和是 180，故 o1mp+pmo2=90，即 o1mo2=90 在rto1o2m中， mpo1o2，则mp2=o1po2p=32=6， 所以 mp=6 ，从而 mn=26 点评：本例的辅助线构成了一个直角三角形，为应用射影定理创造了条件另外， apb也是直角三角形这两个直角三角形在两圆外切的问题中经常用到 二、公切线 例3如图3，圆o1与圆o2内切于点p，过p的直线ab、cd分别交圆o1于a、c，交圆 o2于b、d 求证：acbd

3、证明：过点 p作两圆的外公切线pq，则由弦切角关系有 acp=bpq=bdp， ，所以acbd 点评：公切线是沟通两个相切圆相关角的生命线，千万不要忘记它 例4如图4，半径分别为 r、r的两个圆圆o1与圆o2外切于t，ab为外公切线 求证： 分析：利用内公切线可得 rtabt，at、bt是直角边要证式中的 at2bt2，自然联想到射影定理，于是由t向ab作垂线 证明：连结 rtabt，再作 tdab，构造射影定理的模型，最后用切线的性质，得出比例式，进而推出结论本例的图形和方法都十分典型，值得回味 三、公共弦 例5如图5，圆 o1与圆o2相交于a、b两点， p是圆o1上的一点，pb的延长线交圆

4、o2于点d，cd的延长线交圆 o1于点n，过点a作aecn，交圆o1于点e （1）求证：pa=pe； （2）设pb=4，bc=2，求pn的长 分析：（1）可证pae的两个底角相等，连结ab，用圆的内接四边形性质，平行线，同弧上的圆周角来证明（2）由割线定理可求pd、pa，再用pdnpna 解：（1）连结ab 由圆o1的内接四边形 pbae，得e=abc 而abc=adc=pdn=pae（因aecn）， 所以 e=pae，得pa=pe （2）连结ab、an 由圆o1的内接四边形abpn，得 pna=abc=adc=pdn 又npa=dpn，所以pdnpna 所以pnpd =papn，即pn2=p

5、apd 又由割线定理得 papd= pbpc=4（4+2）=24，所以 pn=26 点评：连公共弦，这是两圆相交时必连的一条线，常构成圆周角，圆内接四边形等典型图形 下面提供一组相应练习题 1 半径为1和4的两个圆外切，求（1）外公切线的长；（2）两条外公切线相交后所夹角的正弦值 2 如图6，圆o1与圆o2外切于点a，两圆的外公切线bc切圆o1于b，切圆 o2于c，连结ab、ca，ca的延长线交圆o1于点d 求证：（1） 3 如图7，圆 o1与圆o2内切于点p，c是圆o1上任意一点（与点p不重合） 实验操作：将直角三角形的直角顶点放在点c上，一条直角边经过点o1，另一直角边所在直线交圆 o2于点a、b，直线pa、pb分别交圆o1于点e、f，连结 ce 探究： （1）你发现弧ce与弧cf有什么关系？用你学过的知识证明你的发现； （2）你发现线段ce、pe、bf有怎样的比例关系？证明你的发现； tp tif，bp#ts（ht5”ssjz图7图8 ts） （3）如图8，若将上述问题的圆o1和圆o2，由内切变为外切，其他条件不变，请你探究线 段 ce、pe、bf有怎样的比例关系，并加以说明 答案： 1 （1）4（2） 242