安徽省皖江名校高三开学考数学(文科)试题(精品解析)

1、安徽省皖江名校联盟 2019届高三开年摸底大联考数学（文）试卷本试卷分第i卷（选择题）和第ii卷（非选择题）两部分.第 i卷第1至第2页，第ii卷第2至第4页.全卷满分150分，考试时间120分钟.、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合 a=f x|7-2x5j, b = x|3x-x%。,则 rub=（）a.b.c. . d. ；【答案】c【解析】先解不等式7-2x1,即a = （l十旬;解不等式次三。得0工*3,即b = 3,所以.故选c【点睛】本题主要考查集合的并集运算，熟记概念即可求解，属于基础题型2 .设，是复

2、数工的共轲复数，且（l-2方 = 5i,则阿=（）a. 3 b. 5 c.: d.【答案】d【解析】故.51(1 1-21)-10 5iz -2 (1-2i)(l +2i)53 .已知两个非零单位向量 ，回的夹角为3 则下列结论不正确的是（）a.由在叼方向上的投影为sinb-* 2b.二一二 丫c. 白 er, & + & uw）d.不存在？，使力1% = 在【答案】【解析】【分析】根据向量投影的定义可判断 a;根据向量的数量积可判断b, c, d.【详解】因为两个非零单位向量向的夹角为心 所以在方向上的投影为 宿|85。= 8如；故a错;又同=i勾=1,所以t=f = 1 ；故b正确;因为&

3、十-&-) =w。,所以宿卜& 1居-&，故c正确；因为1g=同阈8明=cos0 g 1 ,因此不存在6,使3g =油,故d正确.故选a【点睛】本题主要考查向量数量积的应用，熟记向量数量积的概念和计算公式即可，属于基础题型4.安徽黄山景区，每半小时会有一趟缆车从山上发车到山下，某人下午在山上，准备乘坐缆车下山，则他等待时间不多于5分钟的概率为() 一12d.1 - 9ci - 61 = 3a【答案】b【解析】【分析】由题意分析在何区间内等待时间可以控制在5分钟之内，再由概率计算公式即可求出结果.【详解】此人在 25分到30分或55分到60分之间的5分钟内到达，等待时间不多于5分钟，所以他等、1

4、0 1待时间不多于5分钟的概率为p=-.故选b 60 6【点睛】本题主要考查几何概型，熟记公式即可求解，属于基础题型 5 .若十兀之e-b十兀-,则有()a. . i b. ： - .1 c. . i、. , d. .人【答案】d【解析】【分析】构造函数a)=e*. k ,得出函数的单调性，根据/ +晨工江一:即可得出结果.【详解】令=则f(x)在r上单调递增，又1 +小兰/卜-兀-*,所以解所以让-b,即ab.故选d【点睛】本题主要考查不等式，可借助函数的单调性比较大小，属于基础题型6 .过抛物线c;x3 = 4y的焦点f的直线:交c于a. b，点口处的切线与x.y ,轴分别交于点m , n

5、 ,若 mon的1面积为亍则四|=()a. 1 b. 2 c. 3 d. 4【答案】b【解析】【分析】 先设再求出点a处的切线方程，进而求出 m, :n坐标，得到的面积，即可求出包点坐标,求出|af|的长.【详解】因为过抛物线 c:x = 4的焦点f的直线：交c于e ,所以设令x = 0可得即n（0,-=。可得工=5，即1夕因为m0n的面积为-, 2所以故选b【点睛】本题主要考查抛物线的性质，只需先求出点 a坐标，即可根据抛物线上的点到焦点的距离等于 到准线的距离求解，属于常考题型.7 .孙子算经是中国古代重要的数学著作，书中有一问题：“今有方物一束，外周一匝有十二枚，问 积几何？”该著作中提

6、出了一种解决此问题的方法：“重置二位，左位减八，余加右位，至尽虚减一， 即得.”通过对该题的研究发现， 若一束方物外周一匝的枚数 n是x的整数倍时，均可采用此方法求解. 如 图是解决这类问题的程序框图，若输入口 =加，则输出的结果为（）s=s+ncw）a. 47 b. 48 c. 39 d. 40【答案】a【解析】【分析】按照程序框图逐步执彳t,即可求出结果.【详解】执行程序框图如下：初始值n = 24, s = 24,执行循环体；n=l60、s = 40,执行循环体；n = 3。，3=48,执行循环体；n = 0, s = 4后,结束循环， s = s - 1 = 47.输出 故选a【点睛】

7、本题主要考查程序框图，按程序逐步执行即可，属于基础题型32冗8 .某几何体的三视图如图所示，图中每一个小方格均为正方形，且边长为1,则该几何体的体积为（）t- -f ,t *1t -4睢28%a. b. c.d.33【答案】b【解析】ii胃2几何体为半个圆锥与半个圆柱的组合体，如图，体积为 -x 4 乂冗* 2* + - x菸 展乂 4 =,选b.3239.已知双曲线ci -1, 0为坐标原点，f为c的右焦点，过f的直线与c的两条渐近线的交点分别为12 4p, q.若apoq为直角三角形，则|pq|=（）a. 2 b. 4 c. 6 d. 8【答案】c【解析】【分析】由题意不妨假设p点在第一象

8、限、q点在第四象限，qpq = 901解三角形即可.【详解】不妨假设p点在第一象限、q点在第四象限，8pq = 90二.则易知of = 30o,|of| = 4, z. qp= 2忑, 在.ipoq 中，zpoq = 60c, zopq = 90二，|0p| = 2 布：-.故选c【点睛】本题主要考查双曲线的性质，根据双曲线的特征设出p, q位置，以及&poq的直角，即可结合条件求解，属于常考题型.10 .若关于x的方程=0在区间上有且只有一解，则正数 m的最大值是（）a. 8 b. 7 c. 6 d. 5【答案】b【解析】【分析】先将方程有且只有一解问题转化为函数y = sinsx与y =

9、- i在区间（0?|上有且只有一个交点的问题，数形结合的思想即可求出m的范围.（04上有且只有一个交【详解】因为smsx-=。可变为sincox = - 1 ,所以方程sinoix - 1 =0在区间（0,习上有且只有一解可化为 y =3imox与丁 = - i在区间点，如图，由已知可得：设函数 y = shirk的最小正周期为t,则兀3兀32兀- -t x 2 4|24m兀工：72兀一 t1 x2-42一43,.故选bax + b11 .已知奇函数f（x） = j的图象经过点（.i）,若矩形abcd的顶点儿b在x轴上，顶点c, d在函数f（x）的图象上，则矩形abcd绕x轴旋转而成的几何体的

10、体积的最大值为（）其3兀a. b. c. d.【答案】b【解析】【分析】 ax + b由奇函数f（x）=;的图象经过点（1, h先求出a, b的值，得到函数表达式；接下来分析该几何体为矩形绕x轴旋转而得，进而判断出它是一个圆柱，设其半径为r,结合题意即可表示出圆柱的体积，由基本不等式即可求出其最值.【详解】由f=。，及f=1得，3 = 2, b =。，2=1 i父如图，不妨设点cd在x轴的上方，不难知该旋转体为圆柱，半径 r=|bc|,2注 n,、一、令 = r,整理得rx _ i r =。，则乂口 乂口为这4一兀次方程的两不等实根,1 +xi 2x当且仅当r、；，即:j-=” x = 2七小

11、等号成立.故选b-/， c.；.一一 .，.【点睛】本题主要考查旋转体的体积，结合基本不等式与体积公式即可求 1 fl解，属于常考题型.12 .正三棱锥p-abc中，已知点e在pa上，pa, pb, pc两两垂直，pa = 4, pe = ?ea,正三棱锥p-abc的外接球为球0,过e点作球0的截面也，则工截球。所得截面面积的最小值为（）a. b. c. 、 d. .【答案】c【解析】【分析】由三棱锥外接球的直径为所在正方体的体对角线可知外接球半径，过0作oh_lpa, h为垂足，当oe垂直截面0时，截面圆半径最小，进而得出面积【详解】由pa, ph, pc两两垂直，可知该三棱锥由棱长为4的正

12、方体四个顶点组成，三棱锥外接球的直径为所在正方体的体对角线，三三.严，过。作ohpa, h为垂足，011 = 2在，在ria0he中，oh = 2e he = i ,.e = 3,当oe垂直截面时，截面圆半径最小.j = roe2 =入用3之=3, =何3 =3兀.故选c【点睛】本题主要考查几何体外接球的问题，只需确定oe垂直截面立时，截面圆半径最小，即可求解，属于常考题型.第r卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填在横线上.13 .若 tana - 014 .若实数x.y满足条件 x- 1三0 ,则2 = wx-y的最大值为 .（x - sy + 3 0【答案】

13、【解析】【分析】作出约束条件表示的可行域，再由工= 3x-j的几何意义是直线 y =3x-的纵截距的相反数，平移直线y = 3x-z,根据图形可得结论.r x+y- 10【详解】作出约束条件x-y- 1 0-3-4-5工=故-丫的几何意义是直线y = 3x-的纵截距的相反数，由,可得交点坐标为13,平移直线下=3x t根据图形可知，当直线y =3x t在经过（3,2）时，y=取得最大值，最大值为 7.故答案为7【点睛】本题主要考查线性规划，解题关键是作出出可行域，对目标函数进行平移，找出最优解，属于基础题型.15 .已知边长为三的正丛abc的三个顶点都在球。的表面上，且。a与平面abc所成的角

14、为30,，则球。的表 面积为.【答案】【解析】【分析】先计算出正三角形外接圆半径，再由口a与平面abc所成的角为30%求出球的半径，进而可求出结果.l0日【详解】设正aabc的外接圆圆心为。易知40=小，在rtaooa中，10a =一=2,故球。的表面 cos30p积为.【点睛】本题主要考查球的表面积，熟记公式即可求解，属于基础题型16 .在 abc 中，内角 a, e, c所对的边分别为 a, b, u .若 a = 45 , 2b3mb - csmc = 2asina ,且 abc 的面 积等于3,则c =.【答案】【解析】【分析】由内= 45、2bsmb - csinc = 2asina

15、 ,且aaec的面积等于3,分别利用正弦定理、余弦定理、三角形面积 公式列方程，解方程即可得出结果.【详解】因为a = 45、abc的面积等于3,2bsmb - csinc = sasina,根据正弦定理可得，2ble* = 2/由余弦定理可得，a2 = b2 + ?- 8c由三角形面积公式得 42 = 322由得，丹=病，b = 3 , c = 2&故答案为【点睛】本题主要考查解三角形的问题，熟记正弦定理和余弦定理以及三角形面积公式，即可求解，属 于常考题型.三.解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解 答应写在答题卡上的指定区域内.17 .已知数列归/满

16、足力-1，(i )证明%+是等比数列,并求 出j的通项公式;力十i a力+i1十(ii ) 证明： 十h十 1 .为叼a2 a3 4 %+【答案】(i )详见解析；(ii )详见解析.【解析】【分析】(i )由%4=珏+1得/+ j 1 =2(%卜1),即可证明数列 网廿1是等比数列；进而可求出4的通项公 式；为十i a1 + i4+1(ii )先由裂项相消法求十二一十十，进而可证明结论成立.力 力 a2 aj 4 %-1【详解】(i )由+i=a+ 1得4 1 =2(%卜1)。又力+ 1 = 2,所以%十1是首项为2,公比为2的等比数列/+i = 2，因此同的通项公式为4 = ?-.% +

17、12“i i(n)由(i)知=-(?-)(? li) 2n- 1 2n 1 - 1于是al 11a2+ 1%+ 1/ 11 / 11 / 11+ += + + + a a2 叼 a 1 %l1 121 - 1 22-u 匕2-1 23- if 2n-l 2,1+1 - 1/1% + 1 a2 + 1% + 1+ .4+.，.al a2 a2 a3 an+ 1【点睛】本题主要考查等比数列，以及数列的求和，证明数列是等比数列，常用等比数列的概念来证明；裂项相消法求数列的和是考试中经常会遇到的一个类型，属于基础题型18 .销售某种活海鲜，根据以往的销售情况，按日需量x (公斤)属于0 ,100) ,

18、 100 , 200) , 200 , 300),300 , 400), 400, 500进行分组，得到如图所示的频率分布直方图.这种海鲜经销商进价成本为每公斤20元，当天进货当天以每公斤30元进行销售，当天未售出的须全部以每公斤10元卖给冷冻库.某海鲜产品经销商某天购进了300公斤这种海鲜，设当天利润为 元.(i )求丫关于x的函数关系式；(ii )结合直方图估计利润 y不小于800元的概率.;(ii ) 0.072.rox 3000,0 x 300i 3000;300x500(i )利润=(售价-成本)乂数量，分段表示即可.(ii )由(i)知丫3800时，x的范围，之后结合直方图可求概率

19、.【详解】(i )当日需求量不低于300公斤时，利润y = (3。- 20a 300 = 3000元；当日需求量不足3m公斤时，利润 = (30 - 20加-(300-x)x i0=20x-3000 (元)； (20x-3000,0x 300改 i 3000,300500 (n)由 丫兰 goo 得，190x500,l，；二 二一 .；、一f1=(0.0020 + 0.0030 -i 0,0025 + 0.0015! 100 = 0.72.【点睛】本题主要考查分段函数、概率，解题关键是看懂频率分布直方图，掌握概率求解的方法，属于基础题型.19 .在四棱锥 p-abcd中，abcd为梯形，ab

20、i cd , bc _l ab , ab = 2币，bc =#，cd = pc =由.(i )点e在线段pb,满足ce”平面pad ,求一的值；be(ii )已知ac与hd的交点为m,若piu=i,且平面pac 1平面abcd ,求四棱锥p-abcd的体积.3e【答案】(i ) 2; (ii ).【解析】【分析】(i )延长bc, ad交于点f,根据线面平行得出线线平行，进而根据中位线定理得出结论(ii )由四棱锥的体积公式，即可求解 .【详解】(i )延长bcad交于点f,则pf是平面bcp与平面pad的交线,由 ce iii 平面 pad,贝(j ce ii pfbp.e 为ph 中点，=

21、2.be(n)在梯形 abcd中，bc.l.ab, bc.lcd, 且ab = 2亚bc =#,cd =布,. ab ii cd,cd cm dmab ma xecm2-i dm2 = 3 =dc2, ac1bd且,km - 2mme - 0).(i )求函数rx)的单调区间；(ii )记函数f(x)的最小值为g(a),证明：g(a) 1 .【答案】(i) f(x)在。上单调递减，在(日，+81上单调递增；(ii )详见解析.【解析】 【分析】(i )对函数f(x)求导，解导函数所对应的不等式即可求出结果；1 , 1 1(ii )由(i )先得到g(a),要证g(a) 1 ,即证明a - alna - - 1 ,即证明-na -