直线和椭圆位置关系(经典)教师版

1、直线与椭圆(教师版)知识与归纳:1.点与椭圆的位置关系2 xoa222+与0.次方程，此一元二次方程的判别式为a, 则l与c相离的w a0;3 .弦长计算计算椭圆被直线截得的弦长，往往是设而不求，即设弦两端坐标为p1(x1 , y1), p2(x2 ,y2)= |p1p2|= 7(x1 -x2)2 +(y1 y2)2 = v1 +k2|xi x2 =+ jy1 y2 (k 为直线斜率)形式(利用根与 系数关系(推导过程：若点 a(x1,y1)，b(x2,y2)在直线 y = kx+ b(k =0)上,则y =kx1十b, y =kx2+b ,这是同点纵横坐标变换，是两大坐标变换技巧之一,ab

2、= j(x1 一x2)2 十(y 一y?)2 = j(x1 一x2)2 +(k4 收)2 = (1 + k2)(x -x2)2=(1 k2)(x1 x2)2 -4x1x2或者ab;、2 . /11、2212c (灼=(kx1-kx2)(ye2) =(1 k2)(y1-y2)(1 +/)(1 +y2)2 492。),直线与椭圆的位置关系22x y例题1、判断直线kx-y+3=0与椭圆 一+l=1的位置关系 164可得(4k2 1)x2 24kx 20 =0_2：=16(16k -5)22x y+匚=1164(1)当 =16(16k2-5) . 0即k 及或k；时, 44直线kx - y + 3

3、= 0与椭圆22x- + = 1 相交164(2)当 =16(16k2-5) =0即卜=-或 k =-时44直线kx - y + 3 = 0与椭圆22x y一 +工=1相切164,2(3)当 =16(16k,.555) 0即 k 时，直线kx y + 3 = 0与椭圆442 x + 162y- = 1相离422例题2、若直线y = kx +1(k w r)与椭圆 + =1恒有公共点，求实数 m的取值范围 5 m解法一:y = kx +1x2 y2 可得(5k2 + m)x2 +10kx+55m = 0 ,= m 5k21 之 0 即 m 之 5k2+1 主 1+ - = 1,5 m解法二：直线

4、恒过一定点(0,1)当m 5时，椭圆焦点在x轴上，短半轴长b = vm,要使直线与椭圆恒有交点则 4m之1即1w m 5时，椭圆焦点在y轴上，长半轴长a = j5可保证直线与椭圆恒有交点即 m5综述：m _1且m=5解法三：直线恒过一定点(0,1)-2, 201要使直线与椭圆恒有交点,即要保证定点 (0,1)在椭圆内部 一+m1即m，5 my或x得到关于x或y的评述由直线方程与椭圆方程联立的方程组解的情况直接导致两曲线的交点状况，而方程解的情况由判别式来决 定，直线与椭圆有相交、相切、相离三种关系，直线方程与椭圆方程联立，消去 次方程，则(1)直线与椭圆相交 u 40 (2)直线与椭圆相切 u

5、 0 = 0 (3)直线与椭圆相离 u色0,所以判定直线与椭圆的位置关系，方程及其判别式是最基本的工具。或者可首先判断直线是否过定点，并且初定定点在椭圆内、外还是干脆就在椭圆上，然后借助曲线特征判断：如例 2中法二是根据两曲线的特征观察所至；法22x y 三则紧抓定点在椭圆内部这一特征：点m (xo, yo)在椭圆内部或在椭圆上则 t +20r 1a b、弦长问题22x y例3、已知椭圆 +匚=1的左右焦点分别为 fi,f2,若过点p (0, -2)及fi的直线交椭圆于 a,b两点，求力21abf 2的面积解法一：由题可知：直线 1ab方程为2x+y+2=0y = 2x 2由x2 y2 _ 可

6、得 9y2 +4y 4 = 0,2 1 一124. 10二(y1 y2) -4y1y2 =9-1 -s ： = 2 f1f2 y1 一 丫24.109“ ,4 5解法二：f2到直线ab的距离h =5| y - -2x - 2由x2 y2 可得 9x2 +16x+6 =0 ,又 ab =由+k2 x1i + - =1,2110v2_ xz =94 101 ai 4v10-ab h =评述在利用弦长公式ab|=j1+k2|x1 -x2i =、1+ jly1-yzl(k为直线斜率)或焦(左)半径公式ab = pf1 + pf2 =a +ex +a +ex2 = 2a +2e(x1 +x2)时，应结合

7、韦达定理解决问题。例题4、已知长轴为12,短轴长为6,焦点在x轴上的椭圆，过它对的左焦点f1作倾斜解为三的直线交椭圆于3a, b两点，求弦ab的长.分析：可以利用弦长公式ab =由十/反x2 =0, n0)简便.【规范解答】设椭圆方程为：mx2+ny2=1(m0 , n0),设p(xi , y1)，q(x2, y2),y = x 122 中消去 y 并依 x 聚项整理得：(m+n) x2+2nx+(n-1)=0 , a=4n2-4(m+n) (n-1)0 ,即 m+n-mn0 ,mx ny =1op1oq 等价于 x1x2+y1y2=0,将 y二x+1 , y2=x2+1 代入得：2xix2+

8、(xi+x2)+1=0 ,2(n -1) 2n- 1=0= m n = 2m n m n又1pq|= . (x1 -x2)2 (v -丫2)2 = 淞1-乂2)2 3 1)-(x2 1)2= 2(xi x2)2 = 2 .(xi x2)2 4x1x2fn -o 0,故所求椭圆方程为x2+3y2=2或3x2+y2=2.【解后归纳】中心在原点，焦点在坐标轴上的椭圆方程可用统一形式:mx2+ny2=1(m0, n0)m与n的大小关系，决定了焦点位置三，对称问题例题8、已知椭圆22c: j+匕=1 ,试确定m43的取值范围，使得对于直线l: y = 4x + m,椭圆c上有不同的两点关于该直线对称.分

9、析：若设椭圆上a, b两点关于直线l对称,则已知条件等价于：(1)直线ab_ll ; (2)弦ab的中点m在l上.利用上述条件建立 m的不等式即可求得m的取值范围.y = -1 x + n,4 消去y得22j1, l43解：(法1)设椭圆上a(xi,yi),b(x2,y2)两点关于直线l对称，直线 ab与l交于m(xo,yo)点.1.1的斜率kl =4 , .设直线ab的方程为y = x+n.由万程组 4c 228n 工曰xi x2 4n112n13x -8nx +16n -48 =0。，4 +x2 = .于是 x =,y0 = x0 + n =,132134134n12n 4n13即点m的坐

10、标为(,).丁点m在直线y=4x+m上，n=4x + m.解得n =m .13 13134将式代入式得13x2 +26mx+169m2 48 =0a,2一一 2 一、 一b 是椭圆上的两点，a=(26m) -4x13(169m 48)0 .解得2.1313:二 m :二2.1313 13413(法 2)同解法 1 得出 n = - - m, . x0 = 一(一 一 m) = m, 4134113113- r 一 ,一,y0 =-x0 -m = -x(-m) -m = -3m,即 m 点坐标为4444(-m , -3m). a, b为椭圆上的两点，m点在椭圆的内部,(-m)2(-3m)2430

11、,建立参数方程. 22(2)利用弦ab的中点m (x0 , y)在椭圆内部，满足 迎 十1 ,将x0, y0利用参数表示，建立参数不等式.a b四，最值问题例题9、设椭圆的中心是坐标原点，长轴在-3 一x轴上，离心率 e=,已知点p(0,2.32)到这个椭圆上的点的最远距离是 好,求这个椭圆的方程【解前点津】由条件，可将椭圆标准方程用含一个参数的形式表示，将“最远距离”转化为二次函数的最值22【规范解答】 由e= 可推出a=2b,于是可设椭圆方程为：心气十冬=1 ,即有x2=4b2-4y2.24bb1 .设m(x, y)是椭圆上任息一点， 且-b可.jpm|2=-3(y+-)2+4b2+3 ,

12、由于yc-b, b,于是转化为在闭区间-b,b,求二次函数的最值.,1 ,当b时,21x2o取y= -知|pm|2有最大值4b2+3,令4b2+3=( v7 )2解得：b=1, a=2,故所求方程为： 一 + y2 = 1.24【解后归纳】这是一道解析几何与函数的综合题，其知识的交汇点及“等价转化”的数学思想，是必须“关注”的22_例题10、设椭圆方程为、+匕=1,过原点且倾斜角为。和兀-0(0 0-)的两条直线分别交椭圆于a、c和b、482d两点.用。表示四边形abcd的面积；冗(2)当。0,：)时，求s的最大值.【解前点津】设直线方程为y=x tan 0 ,利用椭圆图形的“对称性”，易用。

13、表示s,然后运用函数的知识，求面积s的最大值.【规范解答】设经过原点且倾斜角为。的直线方程为：y=x tan 0,代入+ = 1 求得：48322 32tan2ix2=2-, y =2- ,8 4 tan8 4 tan由对称性知四边形abcd为矩形，又由于 0k彳，所以四边形 abcd的面积为:s=4|xy|=4 32tam _ 32tan8 4tan2 3 2 tan2 二32t32(2)当 0 0 w 时，0tan 0 4,设 t=tan 0 ,则 s=彳=(0t 1),42 t22tt2函数f(t尸t+ 在(0, *2 )上是单调减函数，t- f(t)min =f(1)=1+2=3，.二

14、当仁一时，smax=.43【解后归纳】从代数角度出发，利用椭圆的几何性质，确定四边形abcd为矩形，是解题的一个亮点，读者应认真体会.练习题:22y =1有两个不同的父点p和q.1、在平面直角坐标系 xoy中，经过点(0,j2)且斜率为k的直线l与椭圆 士 +2(i)求k的取值范围;(ii)设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为 a, b,是否存在常数k使得向量op-i t+ oq与ab共线?11k2 x2 2 2kx 1 = 02直线l与椭圆有两个不同的交点p和q等价于-： -8k2 - 41 - k22= 4k2 -2如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由.解：(i)由已知条件，直线

15、l的方程为y = kx + j2,2代入椭圆方程得 +(kx+v2)2 =1 ,整理得2解得k .即k的取值范围为(n)设 pm, y) q(x2, y),则 op+oq = (k+x2,小+小由方程，x1 +x2 = -4、. 2k21 2k2又 y1 + y2 = k(x + x?) + 2j2.而 a(e0) b(0,1),ab =(-应,1).所以op +oq与ab共线等价于x1 +x2 = -j2(y1 + y2),将代入上式，解得由(i )知k ,故没有符合题意的常数k .22222、椭圆二十与=1 (ab0均直线x + y=1交于p、q两点，且op _l oq ,其中。为坐标原点

16、 a2b2(1)求7十l的值；(2)若椭圆的离心率 e满足3途wi ,求椭圆长轴的取值范围.a2 b232解析：设 p(x1, y1)，p(x2, v2),由 op oq u x 1 x 2 + y 1 y 2 = 0 y1 口 -x1, y2 =1 -x2,代入上式得：2x1x2 -(x1 +xz)大=0 又将 y =1 x代入22土 .匕2, 2a b2a2a2 b2 ,22a2(1 -b2)x1x2 =2 tta b2, 2/(2) *4-1 一尸 31a b2 -2 a1 -2. b21 1 b222 a2w= w2三一，又由(1 )知 b =222 a2 32a2 -1222222一

17、=1 = (a+b)x-2ax +a(1 -b )=0, ”: a0,.x1+x211 - 22 2a2 _1刍ma2 w二走刍金匣，长轴2a c 6j6.2x 23、设f1、f2分别是椭圆 一+ y =1的左、右焦点.4(i)若p是该椭圆上的一个动点，求 pf1 ff2的最大值和最小值；(n)设过定点m (0,2)的直线l与椭圆交于不同的两点 a、b,且/aob为锐角(其中o为坐标原点)l的斜率k的取值范围.(i)易知a =2, b=1, c = 5/3fi(-6,0), f2(6,0) .设 p(x, y)(x0,y0).则pf1 pf2 =(-x3-x,-y)( .3 -x,-y) = x2 y2联立 2x-4y2 =1x2 = 1 jx = 123-y =4 y =pd,3).2(n)显然x = 0不满足题设条件.可设l的方程为y =收+2 ,设 a(xy1)，b(x2,y2). 2工v2 =122联立 4= x 4(kx 2) 二4二y = kx 2(1 4k2 )x2 16kx 12 = 0, x1x2停x1x2二一号由6k)2一4(14k2)1202222316k