折射和反射定律菲涅耳公式课件

1、折射和反射定律菲涅耳公式1 第七、八次课、折射和反射第七、八次课、折射和反射 定律、菲涅耳公式定律、菲涅耳公式 一、折射和反射定律一、折射和反射定律 二、菲涅耳公式二、菲涅耳公式 三、根据三、根据Fresnel公式讨论反射波和透射波的性质公式讨论反射波和透射波的性质 内容内容 折射和反射定律菲涅耳公式2 一、折射和反射定律一、折射和反射定律 1、折射和反射定律内容、折射和反射定律内容 2、分析、分析 内容内容 折射和反射定律菲涅耳公式3 1、折射和反射定律的内容是：折射和反射定律的内容是： 时间频率是不变的； 反射波和折射波均在入射面内； 反射角等于入射角。 折射定律折射定律：折射介质折射率与

2、折射角正弦之积等于入射介质折射率与 入射角正弦之积。 2、分析：分析： 图1 r t O x z O i 1 2 界面 n i E r E i k r k t E t k )(exp 0 trkiEE iiii )(exp 0 trkiEE rrrr )(exp 0 trkiEE tttt 折射和反射定律菲涅耳公式4 界面两侧的总电场为： 100 exp ()exp () iriiirrr EEEEi k rtEi krt 20 exp () tttt EEEi k rt 电场的边界条件 0)( 12 EEn )(exp)(exp)(exp 000 trkiEntrkiEntrkiEn ttt

3、rrriii 欲使上式对任意的时间t和界面上 均成立，则必然有： r rkrkrk tri (2) tri (1) 可见，时间频率是入射电磁波或光波的固有特性，它不 因媒质而异，也不会因折射或反射而变化； 折射和反射定律菲涅耳公式5 0)(rkk ir 0)(rkk it 由于 可以在界面内选取不同方向， 上式实际上意味着矢量 和 均与界面的法线 平行，由此可以推 知， 、 、 与 共面，该平面称为 入射面入射面。 r )( ir kk )( it kk n i k r k t k n cnki/ 1 cnkr/ 1 cnkt/ 2 r=i (3) n2sint=n1sini (4) rkrk

4、rk tri (2) 写成标量形式，并 约掉共同的位置量 ) 2 cos() 2 cos() 2 cos( ttrrii kkk 结论：反射波和折射波均在入射面内反射波和折射波均在入射面内。 反射角等于入射角 折射定律 折射和反射定律菲涅耳公式6 二、菲涅耳公式二、菲涅耳公式 1、公式的推导 2、公式的另外两种形式 内容内容 折射和反射定律菲涅耳公式7 1、 Fresnel公式的推导 折、反射定律给出了反射波、折射波和入射波传播方向传播方向之间的关系。 而反射波、折射波和入射波在振幅和位相之间的定量关系由Fresnel 公式来描述。 只推导反射波、折射波和入射波的电场 的Fresnel公式。

5、E 方法和步骤的内旨方法和步骤的内旨 电场 是矢量，可将其分解为一对正交的电场分量，一个振动方 向垂直于入射面，称为s分量，另外一个振动方向在或者说平 行于入射面，称为p分量。 E 首先首先研究入射波仅含s分量和仅含p分量这两种特殊情况。 当两种分量同时存在时，则只要分别先计算由单个分量成分的折射、 反射电场； 然后然后根据矢量叠加原理进行矢量相加即可得到结果。 折射和反射定律菲涅耳公式8 1)、单独存在、单独存在s分量的分量的情形情形 规定规定：电场和磁场 的s分量垂直于纸面， 向外为正，向内为负。 图2 t O ri 1 2 界面 n is E rs E i k r k ts E t k

6、ip H rp H tp H 在界面上电场切向分 量连续： 0)( 12 EEn 0)( 12 HHn stsrsi EEE 000 (5) tptrpripi HHHcoscoscos 000 (6) 在界面上磁场的切向分 量连续： 折射和反射定律菲涅耳公式9 非磁性各向同性介质中 、 的数值之间的关系： E H E c nB H 00 EH tstrsrisi EnEnEncoscoscos 020101 (7) tptrpripi HHHcoscoscos 000 (6) stsrsi EEE 000 (5) s分量的透射系数 ti ti si sr s nn nn E E r cosc

7、os coscos 21 21 0 0 (8) 01 012 2cos coscos t si s i sit En t Enn (9) s分量的反射系数 折射和反射定律菲涅耳公式10 2)、单独存在、单独存在p分量的分量的情形情形 规定规定：p分量按照其在界面上的投影方向，向右为正，向左为负。 图3 t O ri 1 2 界面 n ip E rp E i k r k tp E t k is H rs H ts H stsrsi HHH 000 (10) tptrpripi EEEcoscoscos 000 (11) E 即： 的p分量的切向分量一致向右 E k H 组成右手坐标系 H 的正方

8、向如图所示 E H 根据 的边界条件得： 折射和反射定律菲涅耳公式11 再利用 、 的数值关系以及 、 之间的正交性，得到： E H E H it it pi pr p nn nn E E r coscos coscos 21 21 0 0 (12) 0 1 012 2cos coscos tp i p i pti E n t Enn (13) 公式(8)、(9)、(12)、(13)称为Fresnel公式公式： ti ti si sr s nn nn E E r coscos coscos 21 21 0 0 (8) ti i si sr s nn n E E t coscos cos2 21

9、 1 0 0 (9) it it pi pr p nn nn E E r coscos coscos 21 21 0 0 (12) it i pi pr p nn n E E t coscos cos2 21 1 0 0 (13) p分量的透射系数 p分量的反射系数 折射和反射定律菲涅耳公式12 2、公式的另外两种形式 ti ti pi pr p nn nn E E r coscos coscos 21 21 0 0 1 0 12 0 2 coscos cos coscos tp ii p i pt it n E t nn E (14) (15) 令： is ncos 11 (16) ts n

10、cos 22 (17) ti ti si sr s nn nn E E r coscos coscos 21 21 0 0 (8) ti i si sr s nn n E E t coscos cos2 21 1 0 0 (9) it it pi pr p nn nn E E r coscos coscos 21 21 0 0 (12) 0 1 012 2cos coscos tp i p i pti E n t Enn (13) 将它们变形 i p n cos 1 1 (18) t p n cos 2 2 (19) 折射和反射定律菲涅耳公式13 于是得Fresnel公式的公式的另外一种形式：

11、 ss ss si sr s E E r 21 21 0 0 ss s si sr s E E t 21 1 0 0 2 pp pp pi pr p E E r 21 21 0 0 01 012 2 cos cos tpp i p i pppt E t E (20) (21) (22) (23) 折射和反射定律菲涅耳公式14 利用折射定律，Fresnel公式还可以写成如下的形式： )sin( )sin( ti ti s r )tan( )tan( ti ti p r )sin( sincos2 ti ti s t )sin()sin( sincos2 itit ii p t (24) (25)

12、 (26) (27) 折射和反射定律菲涅耳公式15 三、根据三、根据Fresnel公式讨论反射波和公式讨论反射波和 透射波的性质透射波的性质 1. n1n2的情况的情况 内容内容 折射和反射定律菲涅耳公式16 1. n1t 。 (1)、反射和透射系数的变化： 图4 tp ts rp rs n2/n1=2.0 1)、两个透射系 数ts和tp都随着入 射角i增大而单调单调 降低降低，即入射波 越倾斜，透射波 越弱，并且在正 向规定下，ts和tp 都大于零。 折射和反射定律菲涅耳公式17 2)、rs始终小于零，其绝对值 随着入射角单调增大。根据正 方向规定可知，在界面上反射 波电场的s分量振动方向始

13、终 与入射波s分量相反。 位相跃变位相跃变( (半波损失半波损失) ) )sin( )sin( ti ti s r 负号写成 在界面上任何一点， 反射波s分量与入射 波s分量间都有一个 的位相差别。 图4 n2/n1=2.0 exp()i |exp() ss rri 00 exp () isi si EEi k rt 00 00 exp () |exp () rsi ssr i ssr EEri krt Eri krt 位相跃变位相跃变 s r p r s t p t 这样，位相差相当于电 磁波(光)传播半个波长的 距离，所以该现象又可称 为半波损失半波损失。 0 exp () r i krt

14、 2 | r krr | 2 r 折射和反射定律菲涅耳公式18 图4 n2/n1=2.0 s r p r s t p t 3)、对于rp，它的代数值随着 入射角i单调增大，但是经历 了一个由负到正的变化。 )tan( )tan( ti ti p r i=特定值B ，rp=0 布儒斯特布儒斯特定律定律 利用折射定律 1 2 1 n n tg B 90 iB 布儒斯特角布儒斯特角 (28) 如果平面波以布儒斯特角入射，则 不论入射波的电场振动如何，反射波不 再含有p分量，只有s分量； 如果平面波以布儒斯特角入射，反 射角与折射角互为余角，所以 rt kk 折射和反射定律菲涅耳公式19 、当i较小时

15、， rp0，但因它们 的正向规定基本相反，所以实际上仍有Eip和Erp的主要成分相反向； 因此说，n1n2时，反射波电场方向总与入射波电场方向相反或接近 相反。 图3 t O ri 1 2 界面 n i k r k tp E t k is H rs H ts H ip E rp E rp E 折射和反射定律菲涅耳公式20 i =0的情形是一个特殊的情况， 称为正入射正入射。 这时，折射角t=0，由Fresnel公 式容易算出在正入射时s和p分量的 差别消失，用r0和t0分别表示正入射 时的反射和透射系数，则有： 21 21 0 nn nn r (29) 21 1 0 2 nn n t (30)

16、 (29)、 (30)两式可以看出，两媒质折射率的差别越大，r0的绝对值 越大，而t0值越小。 从图4可以看出，四条曲线在i =0处的斜率都是零，所以公式 (29)、(30)还可以用来估计小i(15)处的系数。 例如，对于n2/n1=1.5，r0=-0.2，t0=0.8，在i =10时，直接由 Fresnel公式计算可得到：rs=-0.2041，rp=-0.1959，ts=0.7969， tp=0.7973，可见它们分别与r0和t0接近。 4)、i =0和和90的情况的情况 图4 n2/n1=2.0 s r p r s t p t 对于n2/n1=2.0，r0=-0.33，t0=0.67 i

17、=90的情形也是一个特殊的情况，此时，rs=-1，rp=1。 ts=tp=0，这表示电磁波仅仅在界面上掠过，并未真正进入第 二媒质里因此称这种入射为掠入射掠入射。 这些数值画出了图4各曲线的终点。 折射和反射定律菲涅耳公式21 (2)、反射率和透射率的变化 波的横截面面积与投射在界面上的面积存在着关系 1 2 As 2 0 0 1 | 2 siis E c n I (31) Wis=IisA0cosi (32) 2 0 0 1 | 2 stts E c n I Wts=ItsA0cost At Ai t i A0 2 0 0 1 | 2 srrs E c n I Wrs=IrsA0cosr=I

18、rsA0cosi 定义：定义： s分量的分量的反射率反射率Rs为为Wrs与与Wis之比；之比； s分量的分量的透射率透射率Ts为为Wts与与Wis之比之比。 折射和反射定律菲涅耳公式22 于是有： 2 | s is rs is rs s r I I W W R 2 1 2 | cos cos cos cos s i t is ts i t is ts s t n n I I W W T (33) (34) 类似地，当入射波只含有p分量的时，可以求出p分量的反 射率Rp和透射率Tp： 2 | p ip rp ip rp p r I I W W R(35) 2 1 2 | cos cos cos

19、cos p i t ip tp i t ip tp p t n n I I W W T (36) 将Fresnel公式代入上面四式，即可分别得到Rs、Rp、Ts、 Tp与入射角i的函数关系。 折射和反射定律菲涅耳公式23 图6 Tp Ts Rp Rs Rs与Ts之间、Rp 与Tp之间均存在互补关系，即： Rs+Ts=1 (37) Rp+Tp=1 (38) 这表明，在界面处，入射波的能量全部转换为反射波和折射波的能量。 条件：界面处没有散射、吸收等能量损失界面处没有散射、吸收等能量损失。 折射和反射定律菲涅耳公式24 当入射波同时含有s分量和p分量时，由于两个分量的方向互相垂直， 所以在任何地点

20、、任何时刻都有： 222 | ipisi EEE 从而有： Ii=Iis+Iip Wi =Wis+ Wip 类似地，有： Wr =Wrs+ Wrp Wt =Wts+ Wtp 可以定义反射率R和透射率T为： i r W W R i t W W T 注意：入射光波的入射光波的s分量分量(p分量分量)只对折射率、反射率的只对折射率、反射率的s分量分量(p分分 量量)有贡献有贡献 如果入射波中s和p分量的强度比为，Wis= Wip，则有： 1 1 ps RRR 1 1 ps TTT 即R和T分别是Rs、Rp和Ts、Tp的加权平均。 但是仍然有： R+T=1 折射和反射定律菲涅耳公式25 正入射时，s分

21、量和p分量的差异消失。 若用R0和T0表示此时的反射率和透射率，则有： 2 21 21 2 00 )( nn nn rR 2 21 2 2 2 1 2 0 1 2 0 )( 4 nn nn t n n T 利用这两个等式可以估算非正入射但是入射角很小(in2的情形的情形 这种情形即由光密媒质光密媒质入射到光疏媒质光疏媒质的情形。 由折射定律可知，ic两种情况来讨论。 1)、当ic时 此时t90，可以直接用Fresnel公式来讨论反射波和折射波 的性质，分析方法和n1n2的情形完全相同。 折射和反射定律菲涅耳公式27 图7 rp rs tp ts |tp| |ts| -|rp| |rs| n1/

22、n2 =1.5 结论结论 a)、反射系数rs、rp和n1n2的 情形相反，说明s分量不再存 在位相跃变； b)、sinc=tanB=n2/n1，所以必 然是Bn2还是n1c时 11 222 1 22 2 cos(1 sin)() sin1 tti n i n (40) (41) 复数形式的反射系数 12 12 cos cos i i nin nin 21 21 cos cos i i nin nin (42) (43) 因为i始终是实参量，形式上有： sint1，t在实数范围内不存在，可以将有关参量扩展到复数领域。 1 2 sinsin ti n n i 2 1 22 2 1 1sin)( i

23、 n n 12 12 coscos coscos it s it nn r nn 12 12 coscos coscos ti p ti nn r nn |exp() srs ri |exp() prp ri 折射和反射定律菲涅耳公式29 )exp(| cos cos 21 21 rss i i s ir inn inn r )exp(| cos cos 12 12 rpp i i p ir inn inn r (42) (43) 首先讨论|rs|、|rp| 反射系数的模值|rs|、|rp|仍 然可以理解为反射波和入射 波对应分量的振幅比； 此时， |rs|=|rp|=1，因而 Rs=Rp=R

24、=1； 所以当ic时，入射波的能 量全部返回到n1媒质里，这 种现象称为全反射全反射或者全内全内 反射反射。 图7 rs tp |tp| -|rp| |rs| n1/n2 =1.5 | s t s t p r 折射和反射定律菲涅耳公式30 即当入射波发生全反射时，反射波中的s分量的位相跃变为： ) cos arctan(2 1 2 i rs n n ) cos arctan( 2 1 i rp n n (44) (45) 它们可以理解为反射波和入射波对应分量在界面处的位相跃变。 |exp() ssrs rri|exp() pprp rri(42) (43) 接下来讨论 和 rs rp p分量的

25、位相跃变为： s分量和p分量的位相跃变之差为： 2 2 1 cos 2cot() sin i rsrp i n arc n (46) 反切函数取主值反切函数取主值 Fresnel最早设计了消色差波片的Fresnel棱镜，用来改变入射波的偏振态。 这项试验的成功，说明s分量和p分量的位相跃变之差确实存在。 折射和反射定律菲涅耳公式31 |rs|=|rp|=1，发生全反射。 似乎光疏媒质中不存在任何折 射电磁波； 但是当把ts、tp的Fresnel公式推 广到复数域进行计算，将会发 现ts、tp都不等于零，亦即光疏 媒质内有折射光波； 从右图7也可直观看出， ts、tp 都不等于零，说明光疏媒质内

26、 有折射光波。 这个折射光波有其自身的特殊 性质，这种性质使折射波不能 深入地进入光疏媒质内。 接下来我们进行分析。 图7 rs tp |tp| -|rp| |rs| n1/n2 =1.5 | s t s t p r 折射和反射定律菲涅耳公式32 1、光疏媒质内的电磁波倏逝波(瞬逝波) )(exptrkiEE ttot x z O t k sincos ttttt krkxkz 2 1 ()cos it n k n )sin(exp)/(sinexp )sin(expexp )exp()sin(exp 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 txkiznnkE txkik n n zE t

27、ik n n izxkiEE iiiito iiito iiitot (47) 倏逝波或瞬逝波 2 1 sin tiii n krxkizk n 2 1 22 2 1 1sin)( i n n 1 22 1 2 2 cos() sin1 ti n ii n 22 11 ()() ii nn kiik nn 折射和反射定律菲涅耳公式33 2、倏逝波的性质 12 2 2 2 2 1 exp(sin)exp (sin) ttoiiii n EEkzi xkt n 仍然是，没有 改变； 说明光波的时间 频率不随环境改 变。 振幅 2 1 exp toi n Ezk n 特点：折射波的振幅随着z(即随着

28、波 深入光疏媒质内部)的增大而作指数 衰减，等振幅面与界面平行。 位相 位相的空间分布上只与x有关，所以等相面与x轴垂直，并且沿 着x方向传播，与一维波的位相表达式类似，这个波的波长是： i i ii k sinsin 2 * (48) 倏逝波的位相速度是： * 0 | sinsin i d iii dx dtk (49) 是光密媒质中入射波的速度。 因为存在x方向上的分量，所以这个倏逝光波已经不是横波。 折射和反射定律菲涅耳公式34 下面，定量估计一下倏逝波的衰减情况 2 2 22 2 11 (sin) iii nn Akk nn 在n2/n1=1/1.5的情况下，衰减系数值如右表： 12 2 22 2 2 11 expexp(sin) toitoii nn EzkEkz nn 定义为振幅的衰减系数 振幅 第二媒质中深度z处的波振幅与界面处振幅之比 折射和反射定律菲涅耳公式35 可见，全反射时的折射波随着向光疏媒质深入而很快减弱，这也是 倏逝波倏逝波或瞬逝波瞬逝波命名的原因，因而这种波有的参考书上称为衰逝波衰逝波。