浅谈构造法在初中数学解题中的应用

1、浅谈构造法在初中数学解题中的应用 摘要构造法是数学解题中常用的方法之一，适用于一些难以运用定向思维方法求解的数学问题，其本质就是利用已知数学关系式和数学理论，构造出满足条件的数学对象.数学构造法是一种极具创新性和技巧性的数学方法，往往会给学生解题带来眼前一亮的效果. 关键词初中数学构造法实践应用 中图分类号g633.6文献标识码a文章编号16746058（2015）140043 解题思路是解决数学问题的核心，只有学生具有清晰明了的解题思路，才会取得显著的解题效果.数学构造法利用题设与结论之间的内在联系，将数学问题与学生熟知的数学概念、定理、公式等知识联系起来，实现未知向已知转化，复杂向简便转化

2、.数学构造法的关键在于构造.那么，什么样的题型需要构造？怎样构造才更加有效呢？本文将从初中数学知识出发，探讨构造法在数学解题中的应用. 一、方程构造法 【例1】已知实数a、b满足4a4-2a2-3=0 和b4+b2-3=0，试根据已知条件求解代数式a4b4+4a4的值. 分析：对于本题，学生首选的思路就是整体替换，利用已知条件中的a4、b2替换欲求解代数式中的a4b4.可是，在尝试过后不难发现，这样的做法不仅复杂，而且行不通.对此，教师不妨引导学生使用方程构造法，实现已知与未知的形式统一.由题中已知条件实数a、b满足代数式4a4-2a2-3=0 和b4+b2-3=0，所以我们可以得到（-2a2

3、）2+（-2a2）-3=0 和（b2）2+b2-3=0.从以上两式的形式我们不难发现它们在形式上的类似性，故将-2a2与b2视为方程t2+t-3=0的两个根.为了得到欲求的代数式的形式，我们不妨构造方程的根，利用韦达定理求解.首先，设t1=b2，t2=-2a2，由韦达定理可知t1+t2=-1，t1t2=-3，此时再将未知形式向已知形式转化，可以得到a4b4+4a4=b4+4a4=（b2）2+（-2a2）2=t21+t22=（t1+t2）2-2t1t2=7 . 二、 图形构造法 【例2】已知：0 a2+b2+（1-a）2+b2+a2+（1-b）2+（1-a）2+（1-b）222 . 分析：对于此

4、题，很多学生拿到手的第一件事就是想办法去除根号，再进行不等式的化简和证明.但是，这样的思路却被不等式复杂的形式所限制，难以解决.此时，我们不妨构造几何图形，将代数向图形进行转化，利用边长关系来进行证明.首先，由已知条件0 图1 （如图1），在边ab上任意取一点e，令ae=a;在边ad上任意取一点g，令ag=b.再作efad、ghab，其中ef、gh交于点o.结合图1，学生不难发现aog、boe、cof、dog都是直角三角形.根据以上这些构造出的三角形，我们可以利用最基础的勾股定理进行辅助证明.oa=a2+b2，ob=（1-a）2+b2，oc=（1-a）2+（1-b）2，od=a2+（1-b）2

5、，且有oa+ocac，ob+odbd，ac=bd=2. oa+oc+ob+odac+bd=22，即结论得证. 这样就实现了构造几何图形辅助代数的证明. 三、 函数构造法 图2 【例3】如图2，一位篮球运动员跳起投篮，球沿抛物线y=-15x2+3.5 运行，然后精准地落入篮筐.已知篮筐高度距地面距离为3.05米.试求：（1）球在空中运行的最大高度;（2）如果该运动员跳投时，球出手离地面的高度为2.25米，请问他距篮筐中心的水平距离是多少？ 分析：对于第一问，我们首先需要构建出完整的函数图形，由已知条件：球沿抛物线y=-15x2+3.5运行，我们可知该抛物线的定点为（0，3.5），验证可知最高点在定义域内，于是可知球运行的最大高度为3.5米.对于第二问，我们首先需要构建如图2所示的坐标系，审题后不难发现，求出运动员位置的横坐标即可求出答案.首先由篮筐处的高度为y=3.05米可知，x=1.5（x0）;再由运动员的出手高度y=2.25米，求得x=-2.5（x0），于是可知运动员距篮筐处的距