函数值域最值单调性奇偶性周期性知识总结

1、函数的单调性云南镇雄县母享中学 2013年10月20(1)确定函数的单调性或单调区间的常用方法：在解答题中常用：定义法(取值一一作差一一变形一一定号)、导数法(在区间(a,b)内，若总有f(x)0,则f(x)为增函数；反之，若 f(x)在区间(a,b)内为增函数，则 f(x) a 0,请注意两者的区别 所在。如已知函数f(x)=x3-ax在区间1,十整)上是增函数， 则a的取值范围是 (答：(0,3);b在选择填空题中还可用数形结合法、特殊值法等等，特别要注意y = ax+-(a0xb a0)型函数的图象和单调性在解题中的运用：增区间为(，一力，收)，减区间为一jb,0),(0, jb.如(1

2、)若函数 f (x) = x2+2(a-1)x + 2 在区间( 8, 4上是减函 数，那么实数a的取值范围是 (答：ae-3) )； (2)已知函数f(x)=ax1在区x 2间(-2, 代为增函数，则实数 a的取值范围 (答：(g,y) ; (3)若函数f (x )=loga +旦41(a a0,且a =1 )的值域为r则实数a的取值范围是 (答： x0 a e4 且 a #1);复合函数法：复合函数单调性的特点是同增异减，如函数y = log1 (-x2+2x )的单2 调递增区间是(答：(1,2)。(2)特别提醒：求单调区间时，一是勿忘定义域，如若函数f (x) = loga(x2 ax

3、+3)在区间(口，负上为减函数，求a的取值范围(答：(1,2圾)；二是在多个单调区间之间 不一定能添加符号“ u”和“或”；三是单调区间应该用区间表示，不能用集合或不等式表(3)你注意到函数单调性与奇偶性的逆用 了吗？(比较大小；解不等式；求参数 范围).如已知奇函数f(x)是定义在(2,2)上的减函数，若f(m1)+f(2m 1)a0,求1 2实数m的取值范围。(答：2的解集为.(答：38(0,0.5) u(2, m)若奇函数f(x)定义域中含有0,则必有f (0) =0.故f(0) =0是f(x)为奇函数的既不充分也不必要条件。如若f (x)=a2x a-22x 1为奇函数，则实数(答：1

4、)定义在关于原点对称区间上的任意一个函数,都可表示成“一个奇函数与一个偶函数的和(或差)。如设f(x)是定义域为r的任一函数，f(x)=幻+ f(一幻.2g(x) = f(x) 2x)。判断f(x)与g(x)的奇偶性;若将函数f(x) = lg(10x+1),表示成一个奇函数 g(x)和一个偶函数h(x)之和，则g(x) = (答：f(x)为偶函数, 1g(x)为奇函数；g(x) = 2x)复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”.一、复合函数奇偶性f(g)g(x)fg(x)f(x)+g(x)f(x)*g(x)奇奇奇奇偶奇偶偶非奇非 偶奇偶奇偶非奇非 偶奇偶偶偶偶偶既奇又偶函数有无穷多个

5、(f (x) = 0,定义域是关于原点对称的任意一个数集)函数奇偶性的常用结论：1、如果一个奇函数在 x = 0处有定义，则f (0) = 0 ,如果一个函数 y = f (x)既是奇函数又是偶函数，则 f(x)=0 (反之不成立)2、两个奇(偶)函数之和(差)为奇(偶)函数；之积(商)为偶函数。3、一个奇函数与一个偶函数的积(商)为奇函数。4、两个函数y = f (u)和u = g(x)复合而成的函数，只要其中有一个是偶函数，那 么该复合函数就是偶函数；当两个函数都是奇函数时，该复合函数是奇函数。5、若函数f(x)的定义域关于原点对称，则f(x)可以表示为11f (x)=f(x) + f(x

6、)+f (x) f (x),该式的特点是：右端为一个奇函数 22和一个偶函数的和。12.函数的对称性a，b满足条件f (x -a )= f (b - x)的函数的图象关于直线 x = 对称。如已知二次函 数 f (x) = ax2+bx(a #0)满足条件 f (5 x) = f (x 3)且方程乂)= 乂有等根，则 f(x) 1 2=(答：x +x)；2点(x, y)关于y轴的对称点为(-x, y)；函数y = f (x )关于y轴的对称曲线方程为y = f (-x 力点(x, y)关于x轴的对称点为(x, -y);函数y = f (x )关于x轴的对称曲线方程为y = -f(x)；点(x,

7、 y)关于原点的对称点为(-x, -y)；函数y = f (x庆于原点的对称曲线方程为y = -f (-x )；点(x, y)关于直线y=x+a的对称点为(土(ya),x +a)；曲线f(x, y)=0关于 直线y = x+a的对称曲线的方程为 f (士(y a),士x+a) =0。特别地，点(x,y)关于直线 y=x的对称点为(y,x)；曲线f(x,y)=0关于直线y=x的对称曲线的方程为 f(y,x) =0 ;点(x, 关于直线y = x的对称点为(y, x)；曲线f (x, y) =0关于直线y = x的 x-33对称曲线的方程为 f(y,x)=0。如己知函数f(x)=,(x=),若y

8、= f (x + 1)的2x-32图像是c1，它关于直线y = x对称图像是c2,c2关于原点对称的图像为 c3,则c3对应的函x 2数解析式是 (答：y = - j2);2x 1曲线f(x,y)=0关于点(a,b)的对称曲线的方程为 f (2ax,2b y) = 0。如若函数 y =x2 +x与 y = g(x)的图象关于点(-2,3)对称，则 g(x) =(答：-x2 -7x-6)形如y = ax_lb(c0,ad #b0的图像是双曲线，其两渐近线分别直线x =-dcx dc(由分母为零确定)和直线y=a(由分子、分母中x的系数确定)，对称中心是点(-d,)。cc c如已知函数图象 c与c

9、 : y(x+a+1) = ax+a2+1关于直线y = x对称，且图象 c关于点 (2, 3)对称，则a的值为 (答：2)| f(x)|的图象先保留f(x)原来在x轴上方的图象，作出x轴下方的图象关于 x轴的对称图形，然后擦去 x轴下方的图象得到；f(|x|)的图象先保留f(x)在y轴右方的图象，擦去y轴左方的图象，然后作出y轴右方的图象关于 y轴的对称图形得到。如(1)作出函数y斗log2(x+1)|及y = log2 |x+1|的图象；(2)若函数f(x)是定义在r上的奇函数，则 函数f(x) =|f (x)+f (x)的图象关于 对称(答：y轴)提醒：(1)从结论可看出，求对称曲线方程

10、的问题，实质上是利用代入法转化为求点的对称问题；(2)证明函数图像的对称性，即证明图像上任一点关于对称中心(对称轴)的对称点仍在图像上；(3)证明图像c1与c2的对称性，需证两方面：证明c1上 任意点关于对称中心(对称轴)的对称点仍在c2上；证明c2上任意点关于对称中心(对x 1 -a 一称轴)的对称点仍在 c1上。如(1)已知函数f(x) =(aw r)。求证：函数f(x)的a - x图像关于点m (a,1)成中心对称图形；(2)设曲线c的方程是y = x3x,将c沿x轴，y 轴正方向分别平行移动t,s单位长度后得曲线 c1。写出曲线c1的方程(答：3t sy =(x-t)3-(x-t) +

11、s);证明曲线c与c1关于点a -,s 对称。0),则仁)是周期为a 的周期函数”得：函数f (x)满足f(x )= f (a + x),则f (x)是周期为2 a的周期函数；1右 f (x +a) =(a 0)恒成立，则 t =2a ;f(x)1 ， 一若 f(x+a) =-(a#0)恒成立，则 t =2a.f(x)如(1)设 f(x)是(但,)上的奇函数，f(x + 2) = f(x),当 0mxw1 时，f (x) = x, 则f(47.5)等于(答：0.5); (2)定义在r上的偶函数f(x)满足f(x + 2)=f(x), 且在3,-2上是减函数，若“是锐角三角形的两个内角，则f(s

12、ina), f(cosp)的大小关系为(答：f (sin。)a f (cosp) )； (3)已知 f(x)是偶函数，且 f(1)=993,g(x)= f (x1)是奇函数，求f (2005)的值(答：993); (4)设f (x )是定义域为r的函数, 且 f (x+2 尸f (x)=1 十 f(x),又 2尸2十四，贝u f(2006)=(答： ?)18.你熟悉周期函数的定义吗？(若存在实数t (t=0),在定义域内总有f(x+t)=f(x),则f(x)为周期函数 ,t是一一个周期。)如：若f(x +a)= -f(x),则(答：f(x)是周期函数，t =2a为f(x)的一个周期)我们在做题

13、的时候，经常会遇到这样的情况：告诉你 f(x)+f(x+t)=0,我们要马上反应过来，这时说这个函数周期2t.推导：f (x) f (x t) =0f (x t) f (x 2t)=f (x)=0f (x 2t)。f(2a-x) = f (2b - x)同时可能也会遇到这种样子：f(x)=f(2a-x),或者说f(a-x)=f(a+x).其实这都是说同样一个意思：函数f(x)关于直线对称，对称轴可以由括号内的2个数字相加再除以2得到。比如，f(x)=f(2a-x),或者说f(a-x)=f(a+x)就都表示函数关于直线x=a对称。又如：若f(x)图象有两条对称轴x = a, x = b 即f (

14、a x) = f (a -x), f (b x) = f (b-x)f(x) = f(2a-x)f(x) = f(2b-x)如:令t = 2a-x,wj2b-x = t + 2b-2a, f(t) = f(t +2b-2a)即f(x) = f (x 2b - 2a)所以，函数f(x)以2|b-a|为周期(因不知道a,b的大小关境 为保守起见，我加了一个绝对值2例7.f(x)=a-f是r上奇函数，解关于 x的不等式f (x)0 时，f(x)m0, f (1) = -2。求 f(x)在 xw 3,3上的最值。解：；f(x)是奇函数,:对任意 xwr, f(x)= f(x)即22故 2a = -xx

15、21 212 a -2 12 2x 2 2 20 22(2x 2 1)_xx_xx(21)(21)(21)(21)f (x) = 122x 1设x1 a x2 ,则.222212x11f(x1)-f(x2)气1 一2 一1 一二二钎一钎=2f12x1 1 -2x2 -12x1 -2x2二 2 工1二 2 -(2x21)(2均 1)(2x11)(2x11)由于 x ax2,二 2x1 -2x2 0f (x1)f d)故f (x)在r上是单调增函数，其值域为(-1,1)一，241 x .又由 y=1k f (x)=iog2(-j x f211 -x1x 01.x1-：21 一 x1n3xwr|-1

16、x 3故f丸x)：二1的解集是】xwr|1x 31 x -由 f 1(x) ： 1 即 log2 ： log2 21 -x说明：本题在求a值也可由f(0) =0直接求出a =1 ,更加便捷。另外在解 f,(x) 1时，也可如下处理：；f(x)节r上单调增，由f,(x) 1则f (f,(x) x2 , x1 x2 a 0 二 f (x1 x2 ) 0 即 f (x1 ) + f ( x2) 0 即f(x1)：二 f(x2)二 f (x)是 r 上单调减函数二 fm axx) = f(-3) , fmin (x) = f (3)而 f (3) = f (2 1) = f (2) f (1) = f

17、 (1) f (1) f (1) = -6f (-3) = - f (3) = 6一 f max (x) 6, f min ( x) 6例8.动点p从边长为1的正方形abcd的顶点a出发顺次经过 b、c、d,再回到a设x表示点p的行程，y表示pa的长，求y关于x的函数式。解：如图，当点p在ab边上运动点，pa = x;当点p在bc边上运动时,pa =，1 +(x)2 ；当点p在cd边上运动时，pa =寸1 + (3 x)2 ；当点p在da边上运动时，pa = 4 x故所求函数式为dpcx (0 x 1)vx2 -2x + 2 (1 x 2)y = * .寸x2 6x + 10 (2 x 3)4

18、 -x (3 x 4)pb例9 .已知f (x)是定义在-2,2上偶函数，当x w 0,2时f (x)是减函数，如果不等式f (1 m)父f (m)恒成立，求实数 m的取值范围。解：: f(x)是偶函数二f(x)= f(x)，不等式f(1 m) f(m)等价于 f(1 -m) : f(m)1 -ml 2-2 1 -m2i 一一 一1，4|m w2 即一2wm42解之得：-1wm m m说明：本题充分利用偶函数的性质：f (x) = f (x),简化分解过程中繁琐的讨论。例 10.已知二次函数 f(x) =ax2 +bx +c(a 0)满足 f (x + 5)= f(x 3),f(2)=0,且方

19、程f (x) =乂有等根。求a、b、c;是否存在实数 m、n(mn),使得函数f (x)在定义域内m, n值域为3m,3n。如果存 在，求出m、n的值，如果不存在，请说明理由。解：；f(x+5) = f(x5),f(x)的图象关于直线 x=1对称，即b = 1一-2a2 一 一.一= f(2)=0, 4a+2b+c = 0 乂)= 乂即2* + (b - 1)x + c = 0有等根,二 = (b -1)2 4ac = 0,一人1由二个式得 a = -, b = 1, c = 0j“2送21 2由得f (x) = - x x211二m n - - 二f (x)在m, n上是单倜增函数f(m)=

20、3m 即f (n) =3nm2 +m=3m22.3-nn = 3n2，二m、n是方程1 2-x +x=3x的两个不等根。 2m = 0 或 m = -4 n =0或门=-4 m n 0且 aw 1) f (x y) =f (x) + f (y); f ( ) = f (x) f y(y)5. 三角函数型的抽象函数f (x) = tgxf (x+y)f (x) f (y)1- f(x)f(y)f (x) = cotxf (x+y)=f(x)f(y)-1f(x) f(y)例1已知函数f (x)对任意实数x、y均有f (x+y) = f (x) +f (y),且当x0 时，f(x)0, f(-1)=

21、 2求f(x)在区间 2,1上的值域.分析：先证明函数f (x)在r上是增函数(注意到 f (x2)=f (x2 x)+x1 =f (x2-x1) + f ( x1)；再根据区间求其值域.例2已知函数f (x)对任意实数x、y均有f (x+y) +2=f (x) + f (y),且当 x0 时，f(x)2, f(3)= 5,求不等式 f (a2 2a2) 0且f (a+1) & v9 ,求a的取值范围.分析：(1)令y= 1;利用 f (x1)= f ( x2)= f (2)f (x2)；乂2乂2(3) 0a0,xcn;f (a+b) = f (a) f (b), a、bc n;f (2) =

22、 4.同时成立？若存在，求出 f (x)的解析式，若不存在，说明理由 .分析：先猜出f (x) =2x;再用数学归纳法证明.例6设f (x)是定义在(0,十8)上的单调增函数，满足 f (x y) = f (x) + f (y), f (3) =1,求：( 2) f( 1 ) ；( 3) 若f (x) + f (x 8) w 2,求x的取值范围.分析：(1)利用3=1x3;( 2 )利用函数的单调性和已知关系式.例7设函数y= f (x)的反函数是y= g (x).如果f (ab) = f (a) + f (b),那 么g (a+b) = g (a) g (b)是否正确，试说明理由.分析：设

23、f (a) = m, f (b) = n,则 g (m) = a, g (n) = b,进而 m + n=f (a)+f (b)= f (ab) = f g (m) g (n).例8已知函数f (x)的定义域关于原点对称，且满足以下三个条件:xi、x2 是定义域中的数时，有 f (xi x2)= f (xl)f(x2)+1 , f(x2) f(xl) f(a) = -1 (a0, a是定义域中的一个数)； 当 0vxv2a 时，f (x) v 0.试问：(1)f (x)的奇偶性如何？说明理由；在(0, 4a)上，f (x)的单调性如何？说明理由分析：(1)利用 f (x1-x2) = f (x

24、i x2),判定 f (x)是奇函数；(3)先证明f (x)在(0, 2a)上是增函数，再证明其在(2a, 4a)上也是增函数.对于抽象函数的解答题，虽然不可用特殊模型代替求解，但可用特殊模型理解题意有些抽象函数问题，对应的特殊模型不是我们熟悉的基本初等函数.因此，针对不同的函数要进行适当变通，去寻求特殊模型，从而更好地解决抽象函数问题例 9 已知函数 f (x) (xw 0)满足 f (xy) = f (x) + f ( y),(1) 求证：f (1) = f (-1) =0;(2) 求证：f (x)为偶函数；(3) 若f (x)在(0, +8)上是增函数，解不等式f (x) +f (x-)2 0)(1) 先令 x=y=1,再令 x=y= 1；令y= 1;(3) 由f (x)为偶函数，则f (x) = f ( x|)x、y 满足 f(0) w0, f(x+ y) =f(x)f ( y),例10已知函数f(x)对一切实数且当xv 0时，f(x) 1,求证：(1)当 x0 时，0vf(x)v 1；(2) f