中考数学一轮复习【几何篇】21.切线的判定与性质

1、精品资源欢下载以o为圆心的圆与ab相切于21.切线的判定与性质知识考点：1、掌握切线的判定及其性质的综合运用，在涉及切线问题时，常连结过切点的半径, 切线的判定常用以下两种方法：一是连半径证垂直，二是作垂线证半径。2、掌握切线长定理的灵活运用，掌握三角形和多边形的内切圆，三角形的内心。精典例题：【例1】如图，ac为。的直径，b是。外一点，ab交。于e点，过e点作。o 的切线，交 bc于d点，de = dc,作eflac于f点，交ad于m点。（1）求证：bc是。的切线；(2) em = fm。分析：（1）由于ac为直径，可考虑连结 ec,构造直角三角形来解题，要证 bc是。o 的切线，证到/ 1

2、 + / 3= 900即可；（2）可证到ef/ bc,考虑用比例线段证线段相等。证明：（1）连结 ec, de = cd, ./ 1 = z 2 de 切。于 e, . / 2= / bac. ac 为直径，/ bac+/3= 9001 + z 3= 90,故 bc 是o o 的切线。(2) 1. / 1 + z 3=90,bcxac又 efxac,ef / bcemammf= =bdadcd bd = cd , .1. em = fm【例2】如图， abc中，ab =ac，。是bc的中点， 点d。求证：ac是o o的切线。分析：由于。与ac有无公共点未知，因此我们从圆心 向ac作垂线段oe,

3、证oe就是o o的半径即可。证明：连结od、oa ,作oexac于eab =ac, ob = oc, . ao 是/ bac 的平分线.ab 是。的切线，odxab又 oexac,oe=odac是。的切线。b , oc平行于弦【例3】如图，已知 ab是。o的直径，bc为。o的切线，切点为ad , oa = r。（1）求证：cd是。的切线；（2）求ad oc的值；9（3）若ad + oc=2r ,求cd的长。2分析：（1）要证cd是。的切线，由于 d在。上，所以只须连结 od,证odldc 即可；（2）求ad -oc的值，一般是利用相似把 ad oc转化为其它线段长的乘积，若其它两条线段长的乘积

4、能求出来，则可完成；（3）由一一一9ad oc , ad+oc=-r可求出ad、oc,根据勾股 2定理即可求出cd。证明：(1)连结od,证/ odc = 900即可；(2)连结bd ab 为。o 的直径，/ adb =900 / obc = 900,/ adb = / obc又/a = /3, .adbsobcad _ abob -oc2ad oc =ob ab =2r9(3)由(2)知 ad oc =2r ,又知 ad + oc= r2292, .ad、oc是关于x的方程x rx +2r = 0的两根2 r .解此万程得xi = - , x2 = 4r2 . oc r, oc= 4r.-.

5、cd= voc2 -od2 =d16r2 -r2 =v15r探索与创新：【问题一】如图，以正方形 abcd的边ab为直径，在正方形内部作半圆，圆心为 o,cg切半圆于 e,交ad于f,交ba的延长线于 g, ga= 8。(1)求/ g的余弦值；(2)求ae的长。略解：(1 )设正方形 abcd 的边长为a , fa = fe = 6 ,在 rt fcd 中，4b 4a b 5b 5(定值)，oo的圆心o在fc2 =fd2 +cd2, (a+b)2 =(ab)2 +a2,解得 a = 4b。cdcos dfcd = fc. ab /cd,g=z fcd, cos/g.一/ g 为公共角， aeg

6、a ebg(2)连结 be, cg 切半圆于 e, aeg =z gbe,ae ge16 1二二二一be gb32 224在rtaaeb中，可求得ae = 455【问题二】如图，已知 abc 中，ac = bc, /cab = aab上，并分别与 ac、bc相切于点p、q。(1)求/ poq;(2)设d是ca延长线上的一个动点，de与。o相切于点 m ,点e在cb的延长线上，试判断/ doe的大小是否保持不变，并说明理由。分析：(1)连结oc,利用直角三角形的性质易求/poq; (2)试将/ doe用含a的式子表示出来，由于 支为定值，则/ doe为定值。解：(1)连结oc. bc 切。于 p

7、、q, .1 = / 2, opxca , oqxcb-. ca = cb, coxab/ cop= / cab , / coq = / cba/ cab = a , ,/ poq = / cop+z coq = 2a(2)由cd、de、ce都与。相切得：/ ode = 1 / cde, / oed = 1 / ced 22(/ ode +/ oed), _ _0 ./ doe = 180 = 1800-(/ cde + z ced)= 1800-( 1800-z acb )= 1800-21180 ( 180 - 20t )20= 180 -： / doe为定值。跟踪训练：一、选择题：1、“

8、圆的切线垂直于经过切点的半径”的逆命题是(a、经过半径外端点的直线是圆的切线；b、垂直于经过切点的半径的直线是圆的切线；c、垂直于半径的直线是圆的切线；d、经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。2、在 rtaabc 中，/ a = 900,e、f,若 ab = a ,a、abb、点o在bc上，以 则。o的半径为( a bo为圆心的。o分别与ab、ac相切于3、正方形abcd中,a、1 ： 2ae切以b、abbc为直径的半圆于1 : 3c、e,c、)aba b交cd于1 : 4a bd、f,2则 cf ： fd=()d、2 ： 54、如图，过。o外一点pb、pa上分别取一点 =( )

9、p作。的两条切线pa、pb,切点分别为d、e、f,使 ad = be, bd=af,连结a、b,连结 ab ,在 ab、de、df、ef,贝u/ edfa、900/ pb、c、180/ pd、450- - z p2二、填空题:5、已知pa、pb是。的切线，a、b是切点，/ apb = 780,点c是o o上异于a、b的 任一点，则/ acb =。6、如图，ab bc , dc bc , bc与以ad为直径的。相切于点 e, ab = 9, cd = 4, 则四边形abcd的面积为。7、如图，o。为rabc的内切圆，点 d、e、f为切点，若 ad =6, bd = 4,则 abc 的面积为。8、

10、如图，已知 ab是。o的直径，bc是和。o相切于点 b的切线，过。上a点的直线 ad / oc,若 oa = 2 且 ad + oc = 6,贝u cd =。b第8题图9、如图，已知。的直径为ab , bd = ob, z cab = 300,请根据已知条件和所给图形写出4个正确的结论(除oa = ob=bd外)：; 。10、若圆外切等腰梯形 abcd的面积为20, ad与bc之和为10,则圆的半径为 。 三、计算或证明题：11、如图，ab是半。o的直径，点m是半径oa的中点，点p在线段am上运动(不 与点m重合)，点q在半o。上运动，且总保持pq=po,过点q作。o的切线交ba的延 长线于点

11、co(1)当/ qpa=60时，请你对 qcp的形状做出猜想，并给予证明；(2)当qpxab时， qcp的形状是 三角形；(3)则(1) (2)得出的结论，请进一步猜想，当点p在线段am上运动到任何位置时， qcp-一定是 三角形。c12、如图，割线 abc与。相交于b、c两点，d为。上一点，e为bc的中点，oe 交 bc 于 f, de 交 ac 于 g, / adg = / agd。(1)求证：ad是。的切线；(2)如果 ab =2, ad = 4, eg = 2,求。o 的半径。13、如图，在 abc中，/ abc =900,。是ab上一点，以 o为圆心，ob为半径的 圆与ab交于点e,

12、与ac切于点d, ad =2, ae = 1,求scd。14、如图，ab是半圆(圆心为 o)的直径，od是半径，bm 切半圆于 b, oc与弦 ad平行且交bm于c。(1)求证：cd是半圆的切线；(2)若ab长为4,点d在半圆上运动，设ad长为x ,点a到直线cd的距离为y , 试求出y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围。第14题图15、如图，ab是。o的直径，点 c在oo的半径ao上运动，pcxab交。于e, pt 切。于 t, pc=2.5。(1)当ce正好是。的半径时，pt = 2,求。的半径；(2)设pt2=y, ac =x，求出y与x之间的函数关系式；(3) aptc能不

13、能变为以pc为斜边的等腰直角三角形？若能，请求出 ptc的面积;若不能，请说明理由。跟踪训练参考答案一、选择题：dcbb 二、填空题：5、51 或 129; 6、78; 7、24; 8、2j3;9、/acb = 90, ab = 2bc, dc 是。的切线，bd=bc 等；10、2 三、计算或证明题：11、(1) 4qcp是等边三角形；(2)等腰直角三角形；(3)等腰三角形12、( 1)证 odlad ; (2) 2v3 ;1813、过 d 作 dfbc 于 f, s为cd =；514、(1)证/ odc = 90； (2)连结 bd,过 a 作 ae cd 于 e,证 adb aed ,adab口 yx12 _、则有=，即二=一，y=-x (0x4)aead x4422215