高三数学第二轮专题复习：立体几何(学生版)

1、专题五 立体几何考情分析年份题号分数涉及知识点201010141822三棱柱外接球的面积三视图四棱锥（1）证明线线垂直；（2）求线面角的正弦值.20116151822几何体的三视图四棱锥的体积四棱锥（1）证明线线垂直；（2）求二面角的余弦值.20127111922三视图，几何体的体积内接于球的三棱锥体积直三棱柱（1）证明线线垂直；（2）求二面角的大小.2013681822正方体与球，球的体积三视图，几何体的体积三棱柱（1）证明线线垂直；（2）求线面角的正弦值.2014121917三视图，最长的棱长三棱柱（1）证明线线相等；（2）求二面角的余弦值.20156111822锥体的体积估算（九章算术）

2、三视图，表面积凸多面体（1）证明面面垂直；（2）求线线角的余弦值.第1节 空间几何体考纲要求（1）认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.（2）能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图，能识别上述的三视图所表示的立体模型，会用斜二侧法画出它们的直观图.（3）会用平行投影方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式.（4）了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式）.知识网络易混、易错、易忘问题大盘点1弄错几何体的形状、数量特征与三视图的关系，尤其是分不清侧视图中的数据与几何体

3、中的数据之间的对应2混淆“点a在直线a上”与“直线a在平面内”的数学符号关系，应表示为aa，a.3考生易混淆球的简单组合体中几何体度量之间的关系，如棱长为a的正方体的外接球，内切球，棱切球的半径应分别为a，a.4考生易混淆几何体的表面积与侧面积的区别，几何体的表面积是几何体的侧面积与所有底面面积之和，不能漏掉几何体的底面积；求锥体体积时，易漏掉体积公式中的系数.5考生易把平面几何中的相关结论误当做空间中的结论直接利用，如平面内垂直于同一条直线的两条直线相互平行，这个结论在空间中是不成立的6考生不清楚空间线面平行与垂直关系中的判断和性质定理，忽视判定定理和性质定理中的条件，导致判断出错如由，l，

4、ml，易误得出m的结论，就是因为忽视面面垂直的性质定理中m的限制条件7求两条异面直线所成的角、直线与平面所成的角和二面角时，若所求的角为90时，不要忘了可证明垂直求空间角.典型例题考向一：直观图与三视图例1.1 如图所示，直观图四边形abcd是一个底角为45，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是 .例1.2 （1）（2012年新课标理7）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为a. 6 b. 9 c. 12 d. 18 （2）(2014课标全国理12)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最

5、长的棱的长度为()a b6 c d4 （3）(2013课标全国理7)一个四面体的顶点在空间直角坐标系oxyz中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zox平面为投影面，则得到的正视图可以为()考向二：多面体与球例2.1 (2013课标全国理6)如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为()acm3 bcm3ccm3 dcm3例2.2 （2010年新课标理10）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为，顶

6、点都在一个球面上，则该球的表面积为(a) (b) (c) (d) 例2.3 （2012年新课标理11）已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，是边长为1的正三角形，为球的直径，且，则此棱锥的体积为a. b. c. d. 思维升华多面体与球接、切问题求解策略(1)涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解(2)若球面上四点p，a，b，c构成的三条线段pa，pb，pc两两互相

7、垂直，且paa，pbb，pcc，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，则4r2a2b2c2求解考向三：几何体中的最值问题例3 (1)如图，已知正三棱柱abca1b1c1的底面边长为2 cm，高为5 cm，一质点自a点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达a1点的最短路线的长为_cm.(2)已知一个四面体有五条棱长都等于2，则该四面体的体积最大值为_思维升华(1)几何体表面的展开图是解决问题的有效方法，对柱体来说运用起来更方便(2)函数方法是解决立体几何最值的基本方法，关键是选择影响目标的一个变量反馈练习1某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是()a32 b1616 c48 d16322

8、将一个正方体截去四个角后得到一个正四面体bda1c1，这个正四面体的体积与正方体体积的比是()a. b. c. d.3.如图，在正方体abcd-a1b1c1d1中，e、f、g、h、k、l分别为ab、bb1、b1c1、c1d1、d1d、da的中点，则六边形efghkl在正方体面上的射影可能是 ()4如右图所示，已知acb为直角三角形，其中acb90，m为ab的中点，pm垂直于abc所在平面，那么()apapbpc bpapbpccpapbpc dpapbpc5(2011北京)某四面体的三视图如图所示，该 四面体四个面的面积中最大的是()a8 b6 c10 d86(2011浙江)若某几何体的三视图

9、如图所示，则这个几何体的直观图可以是()7一个几何体的正(主)视图为一个三角形，则这个几何体可能是下列几何体中的_(填入所有可能的几何体前的编号)三棱锥；四棱锥；三棱柱；四棱柱；圆锥；圆柱8(2014大纲全国)正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为_9如图，侧棱长为2的正三棱锥vabc中，avbbvccva40，过a作截面aef，则截面aef的周长的最小值为_10已知矩形abcd的面积为8，当矩形周长最小时，沿对角线ac把acd折起，则三棱锥dabc的外接球的表面积等于_11如图，在四棱锥pabcd中，底面abcd是直角梯形，dab90，adbc，ad侧

10、面pab，pab是等边三角形，daab2，bcad，e是线段ab的中点(1)求证：pecd；(2)求四棱锥pabcd的体积12如图，在rtabc中，abbc4，点e在线段ab上过点e作efbc交ac于点f，将aef沿ef折起到pef的位置(点a与p重合)，使得peb30.(1)求证：efpb；(2)试问：当点e在何处时，四棱锥pefcb的侧面peb的面积最大？并求此时四棱锥pefcb的体积第2节 点、直线、平面之间的位置关系考纲要求（1）理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解如下可以作为推理依据的公理和定理.公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点在此平面内.公理2：

11、过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面.公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行.定理：空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补.（2）以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定.理解以下判定定理.如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行.如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面平行.如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直.如果一个平面经过另一个平面的垂线，

12、那么这两个平面互相垂直.理解以下性质定理，并能够证明.如果一条直线与一个平面平行，那么经过该直线的任一个平面与此平面的交线和该直线平行.如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线相互平行.垂直于同一个平面的两条直线平行.如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直.（3）能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题.知识网络典例对接例1.1 (2013江苏)如图，在三棱锥sabc中，平面sab平面sbc，abbc，asab.过a作afsb，垂足为f，点e，g分别是棱sa，sc的中点求证：(1)平面efg平面abc；(2)bcsa.例1.2

13、 （2012浙江）如图，在侧棱垂直底面的四棱柱abcda1b1c1d1中，adbc，adab，ab=ad=2，bc=4，aa1=2，e是dd1的中点，f是平面b1c1e与直线aa1的交点证明：（i）efa1d1；（ii）ba1平面b1c1ef；例2.1 (2013课标全国，理18)如图，三棱柱abca1b1c1中，cacb，abaa1，baa160.(1)证明：aba1c；(2)若平面abc平面aa1b1b，abcb，求直线a1c与平面bb1c1c所成角的正弦值例2.2 (2015课标全国，理18)如图，四边形abcd为菱形，abc120，e，f是平面abcd同一侧的两点，be平面abcd，d

14、f平面abcd，be2df，aeec(1)证明：平面aec平面afc;(2)求直线ae与直线cf所成角的余弦值.例3 如图(1)，在rtabc中，c90，d，e分别为ac，ab的中点，点f为线段cd上的一点，将ade沿de折起到a1de的位置，使a1fcd，如图(2)(1)求证：de平面a1cb；(2)求证：a1fbe；(3)线段a1b上是否存在点q，使a1c平面deq？请说明理由思维升华(1)解决与折叠有关的问题的关键是搞清折叠前后的变化量和不变量，一般情况下，折线同一侧线段的长度是不变量，而位置关系往往会发生变化，抓住不变量是解决问题的突破口(2)在解决问题时，要综合考虑折叠前后的图形，既

15、要分析折叠后的图形，也要分析折叠前的图形1证明线线平行的常用方法(1)利用平行公理，即证明两直线同时和第三条直线平行；(2)利用平行四边形进行转换；(3)利用三角形中位线定理证明；(4)利用线面平行、面面平行的性质定理证明2证明线面平行的常用方法(1)利用线面平行的判定定理，把证明线面平行转化为证线线平行；(2)利用面面平行的性质定理，把证明线面平行转化为证面面平行3证明面面平行的方法证明面面平行，依据判定定理，只要找到一个面内两条相交直线与另一个平面平行即可，从而将证面面平行转化为证线面平行，再转化为证线线平行4证明线线垂直的常用方法(1)利用特殊平面图形的性质，如利用直角三角形、矩形、菱形

16、、等腰三角形等得到线线垂直；(2)利用勾股定理逆定理；(3)利用线面垂直的性质，即要证线线垂直，只需证明一线垂直于另一线所在平面即可5证明线面垂直的常用方法(1)利用线面垂直的判定定理，把线面垂直的判定转化为证明线线垂直；(2)利用面面垂直的性质定理，把证明线面垂直转化为证面面垂直；(3)利用常见结论，如两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面6证明面面垂直的方法证明面面垂直常用面面垂直的判定定理，即证明一个面过另一个面的一条垂线，将证明面面垂直转化为证明线面垂直，一般先从现有直线中寻找，若图中不存在这样的直线，则借助中点、高线或添加辅助线解决.反馈练习1若空间中四条两两不同

17、的直线l1，l2，l3，l4，满足l1l2，l2l3，l3l4，则下列结论一定正确的是_l1l4；l1l4；l1与l4既不垂直也不平行；l1与l4的位置关系不确定2.一正四面体木块如图所示，点p是棱va的中点，过点p将木块锯开，使截面平行于棱vb和ac，若木块的棱长为a，则截面面积为_3abcda1b1c1d1为正方体，下列结论正确的是_bd平面cb1d1 ；a1cbd；ac1平面cb1d1 ； ac1bd14在四棱锥pabcd中，pa底面abcd，底面各边都相等，m是pc上的一动点，当点m满足_时，平面mbd平面pcd.5直线m，n均不在平面，内，给出下列命题：若mn，n，则m；若m，则m；

18、若mn，n，则m；若m，则m.其中正确命题的个数是_6.在正三棱锥sabc中，m，n分别是sc，bc的中点，且mnam，若侧棱sa2，则正三棱锥sabc外接球的表面积是_7已知两条不同的直线m，n和两个不同的平面，给出下列四个命题：若m，n，且，则mn；若m，n，且，则mn；若m，n，且，则mn；若m，n，且，则mn.其中正确的个数为_8下列四个正方体图形中，a，b为正方体的两个顶点，m，n，p分别为其所在棱的中点，能得出ab平面mnp的图形的序号是_(写出所有符合要求的图形序号)9如图，在三棱柱abca1b1c1中，侧棱aa1底面abc，底面是以abc为直角的等腰直角三角形，ac2a，bb1

19、3a，d是a1c1的中点，点f在线段aa1上，当af_时，cf平面b1df.10如图，在长方形abcd中，ab2，bc1，e为dc的中点，f为线段ec上一动点(不包括端点)现将afd沿af折起，使平面abd平面abc.在平面abd内过点d作dkab，k为垂足设akt，则t的取值范围是_11如图所示，在直三棱柱abca1b1c1中，ac3，bc4，ab5，aa14，点d是ab的中点，(1)求证：acbc1；(2)求证：ac1平面cdb1.12如图，在平行四边形abcd中，ab2bc4，abc120，e，m分别为ab，de的中点，将ade沿直线de翻折成ade，f为ac的中点，ac4.(1)求证：

20、平面ade平面bcd；(2)求证：fb平面ade.第3节 空间向量与立体几何考纲要求（1）了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.（2） 掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.（3） 掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的数量积判断向量的共线与垂直.（4） 解直线的方向向量与平面的法向量.（5） 能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系.（6）能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）.（7） 能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究几何问题中的应用.知识网络典例对

21、接例1.1 （2011年新课标理 18）如图，四棱锥p-abcd中，底面abcd为平行四边形，dab=60,ab=2ad,pd底面abcd.()证明：pabd；()若pd=ad，求二面角a-pb-c的余弦值。例1.2 (2014课标全国理19)如图，三棱柱abca1b1c1中，侧面bb1c1c为菱形，abb1c.(1)证明：acab1；(2)若acab1，cbb160，abbc，求二面角aa1b1c1的余弦值例2.1 如图，棱锥pabcd的底面abcd是矩形，pa平面abcd，pa=ad=2，bd=.dpabc（）求证：bd平面pac；（）求二面角pcdb的大小；（）求点c到平面pbd的距离.

22、 例2.2 已知abcd是边长为4的正方形，e、f分别是ab、ad的中点，gc垂直于abcd所在的平面，且gc2求点b到平面efg的距离例3 如图，在四棱锥pabcd中，pa底面abcd，adab，abdc，addcap2，ab1，点e为棱pc的中点(1)证明：bedc；(2)求直线be与平面pbd所成角的正弦值；(3)若f为棱pc上一点，满足bfac，求二面角fabp的余弦值空间向量在处理空间问题时具有很大的优越性，能把“非运算”问题“运算”化，即通过直线的方向向量和平面的法向量，把立体几何中的平行、垂直关系，各类角、距离以向量的方式表达出来，把立体几何问题转化为空间向量的运算问题应用的核心

23、是充分认识形体特征，进而建立空间直角坐标系，通过向量的运算解答问题，达到几何问题代数化的目的，同时注意运算的准确性1向量法证明空间线面关系思考1：向量法证明线面位置关系的常用根据是什么？研讨：设直线l，m的方向向量分别为a(a1，b1，c1)，b(a2，b2，c2)平面、的法向量分别为(a3，b3，c3)，(a4，b4，c4)(1)线线平行：lmabakba1ka2，b1kb2，c1kc2.(2)线线垂直：lmabab0a1a2b1b2c1c20.(3)线面平行：laa0a1a3b1b3c1c30.(4)线面垂直：laaka1ka3，b1kb3，c1kc3.(5)面面平行：ka3ka4，b3k

24、b4，c3kc4.(6)面面垂直：0a3a4b3b4c3c40.2向量法求空间角思考2：如何用向量法求空间角？研讨：(1)向量法求异面直线所成的角若异面直线a，b的方向向量分别为a，b，异面直线所成的角为，则cos |cosa，b|.(2)向量法求线面所成的角求出平面的法向量n，直线的方向向量a，设线面所成的角为，则sin |cosn，a|.易错点：直线的方向向量和平面的法向量所成角的余弦值的绝对值是线面角的正弦值，而不是余弦值(3)向量法求二面角求出二面角l的两个半平面与的法向量n1，n2，若二面角l所成的角为锐角，则cos |cosn1，n2|；若二面角l所成的角为钝角，则cos |cosn1，n2|.3向量法求空间距离思考3：如何用向量法求空间距离？研讨：直线到平面的距离，两平行平面的距离均可转化为点到平面的距离点p到平面的距离：d(其中n为的法向量，m为内任一点)反馈练习1(教材习题改编)已知向量m，n分别是直线l和平面的方向向量、法向量，若