中考压轴题代数几何综合第2部分

1、代几综合点睛提分4、动点与平行四边形问题兵法：1利用对边平行，进行分类讨论，然后画出要求的点 2利用全等或锐角三角函数求出点的坐标【例1】 在平面直角坐标系中，已知抛物线经过a（4，0），b（0，4），c（2，0）三点（1）求抛物线的解析式；（2）若点m为第三象限内抛物线上一动点，点m的横坐标为m，amb的面积为s求s关于m的函数关系式，并求出s的最大值（3）若点p是抛物线上的动点，点q是直线yx上的动点，判断有几个位置能够使得点p、q、b、o为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点q的坐标xyobcma【解析】 （1）设抛物线的解析式为yax 2bxc（a0），则有 解得抛物线的解析式为

2、yx 2x4 （2）过点m作mdx轴于点d，设m点的坐标为（m，m 2m4）xyobcmad则adm4，mdm 2m4s samds梯形dmbo sabo(m4)(m 2m4)(m 2m44)(m)44m 24m（4m0）即s m 24m(m2)24s 最大值4（3）满足题意的q点的坐标有四个，分别是：（4，4），（4，4）（2，2），（2，2）【例2】 如图，已知抛物线yax 2bxc（a0）的顶点坐标为q（2，1），且与y轴交于点c（0，3），与x轴交于a、b两点（点a在点b的右侧），点p是该抛物线上一动点，从点c沿抛物线向点a运动（点p与a不重合），过点p作pdy轴，交ac于点d（1）求

3、该抛物线的函数关系式；（2）当adp是直角三角形时，求点p的坐标；（3）在题（2）的结论下，若点e在x轴上，点f在抛物线上，问是否存在以a、p、e、f为顶点的平行四边形？若存在，求点f的坐标；若不存在，请说明理由c(0,3)oabxydpq(2,-1)【解析】 （1）抛物线的顶点为q（2，1），设ya(x2)21将c（0，3）代入上式，得3a(02)21a1 该抛物线的函数关系式为y(x2)21即yx 24x3 （2）如图1，有两种情况：oabxydpq(2,-1)(p1)(p2)d1d2h图1当点p为直角顶点时，点p与点b重合令y0，得x 24x30，解得x11，x23 4分点a在点b的右侧

4、，b（1，0），a（3，0）5分p1（1，0）6分当点a为直角顶点时oaoc，aoc90，oad245当d2ap290时，oap245，ao平分d2ap2又p2d2y轴，p2d2ao，p2、d2关于x轴对称设直线ac的函数关系式为ykxb，将a（3，0），c（0，3）代入得： 解得yx3d2在yx3上，p2在yx 24x3上设d2（x，x3），p2（x，x 24x3）(x3)(x 24x3)0，即x 25x60解得x12，x23（舍去）当x2时，yx 24x32 24231p2的坐标为p2（2，1）（即为抛物线顶点）9分p点坐标为p1（1，0），p2（2，1）10分（3）由题（2）知，当点p的

5、坐标为p1（1，0）时，不能构成平行四边形当点p的坐标为p2（2，1）（即顶点q）时如图2，平移直线ap交x轴于点e，交抛物线于点fc(0,3)oabxydpq(2,-1)图2f1f2e2(p2)e1当apfe时，四边形apef是平行四边形p（2，1），可令f（x，1）x 24x31，解得x12，x22故存在以a、p、e、f为顶点的平行四边形，点f的坐标为：f1（2，1），f2（2，1）【例3】 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过a（1，0），b（3，0），c（0，1）三点（1）求该抛物线的表达式；（2）点q在y轴上，点p在抛物线上，要使以点q、p、a、b为顶点的四边形是平行四边形，求所有满

6、足条件的点p的坐标xyobca【解析】 设该抛物线的表达式为yax 2bxc，根据题意，得 解得 所求抛物线的表达式为yx 2x1（2）当ab为边时，只要pqab，且pqab4即可又知点q在y轴上，点p的横坐标为4或4，这时，符合条件的点p有两个当x4时，y；当x4时，y7xyobcap1p3q3q1p2q2p1（4，），p2（4，7）当ab为对角线时，只要线段pq与线段ab互相平分即可又知点q在y轴上，且线段ab中点的横坐标为1点p的横坐标为2，这时，符合条件的点p只有一个当x2时，y1p3（2，1）综上，满足条件的点p有三个，其坐标分别为：p1（4，），p2（4，7），p3（2，1）【例4

7、】 已知抛物线yx 2bxc交y轴于点a，点a关于抛物线对称轴的对称点为b（3，4），直线yx与抛物线在第一象限的交点为c，连结ob（1）求抛物线的解析式；（2）如图（1），点p在射线oc上运动，连结bp，设点p的横坐标为x，obp的面积为y，求y与x之间的函数关系式；（3）如图（2），点p在直线oc上运动，点q在抛物线上运动，试问点p、q在运动过程中是否存在以o、b、p、q为顶点的四边形是平行四边形的情况，若存在，请求出点p的坐标；若不存在，请说明理由xyoabcp图（1）xyoabc图（2）xyoabc备用图【解析】 （1）b（3，4），点a与点b关于抛物线的对称轴对称，a（0，4）xyo

8、abcpd图（1）把a（0，4）、b（3，4）代入yx 2bxc得： 抛物线的解析式为yx 23x4 （2）如图（1），连结ab，作pdy轴，则d（0，x）s梯形abpd ( x3 )(x4 )x 2x6saob 346，sdop xxx 2xyob图（2）p2p3p1q1p4q2q3(q4)ys梯形abpdsaobsdop x （3）平移线段ob，使点b落在直线yx上，落点为p，点o落在抛物线上，落点为q，则四边形obpq为平行四边形设p（x，x），o（0，0），b（3，4）q（x3，x4）点q在抛物线上，x4( x3 )23( x3 )4整理得：4x 237x400，解得：x8或xp1（8

9、，2），p2（，）平移线段ob，使点o落在直线yx上，落点为p，点b落在抛物线上，落点为q，则四边形obqp为平行四边形设p（x，x），o（0，0），b（3，4），q（x3，x4）点q在抛物线上，x4( x3 )23( x3 )4整理得：4x 211x0，解得：x0（舍去）或xp3（，）平移线段op3，使点p3与点o重合，则点o落在直线yx上点p4处，四边形opbq为平行四边形p4（，）综上所述，符合条件的点p有4个，分别是：p1（8，2），p2（，），p3（，），p4（，）【例5】 如图，抛物线交x轴于点a（2，0），点b（4，0），交y轴于点c（0，4）（1）求抛物线的解析式，并写出顶点d

10、的坐标；（2）若直线yx交抛物线于m，n两点，交抛物线的对称轴于点e，连接bc，eb，ec试判断ebc的形状，并加以证明；（3）设p为直线mn上的动点，过p作pfed交直线mn下方的抛物线于点f问：在直线mn上是否存在点p，使得以p、e、d、f为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点p及相应的点f的坐标；若不存在，请说明理由【解析】 （1）设抛物线的解析式为yax 2bxc（a0）点a、b、c均在此抛物线上 所求的抛物线的解析式为yx 2x4 ，顶点d的坐标为（1，）（2）ebc的形状为等腰三角形 证明：（法一）直线mn的函数解析式为yxon是boc的平分线 b、c两点的坐标分别为（4，0

11、），（0，4）cobo4mn是bc的垂直平分线 cebe即ecb是等腰三角形 pf（法二）直线mn的函数解析式为yxon是boc的平分线coeboe b、c两点的坐标分别为（4，0）、（0，4）cobo4又oeoecoeboe cebe即ecb是等腰三角形 （法三）点e是抛物线的对称轴x1和直线yx的交点e点的坐标为（1，1）利用勾股定理可求得ce，becebe 即ecb是等腰三角形 （3）解：存在 pfed要使以p、e、d、f为顶点的四边形是平行四边形，只要使pfed点e是抛物线的对称轴x1和直线yx的交点e点的坐标为（1，1）ed1() 点p是直线yx上的动点设p点的坐标为（k，k）则直线

12、pf的函数解析式为xk点f是抛物线和直线pf的交点f的坐标为（k，k 2k4）pfk(k 2k4)k 24 k 24k1 当k1时，点p的坐标为（1，1），f的坐标为（1，）此时pf与ed重合，不存在以p、f、d、e为顶点的平行四边形当k1时，点p的坐标为（1，1），f的坐标为（1，）此时，四边形pfde是平行四边形5、动点与梯形问题兵法：1利用对边平行，进行分类讨论，然后画出要求的点 2利用一次函数与二次函数联立求交点坐标【例1】 在平面直角坐标系xoy中，抛物线的解析式是yx 21，点c的坐标为（4，0），平行四边形oabc的顶点a，b在抛物线上，ab与y轴交于点m，已知点q（x，y）在抛

13、物线上，点p（t，0）在x轴上（1）写出点m的坐标；（2）当四边形cmqp是以mq，pc为腰的梯形时求t关于x的函数解析式和自变量x的取值范围；当梯形cmqp的两底的长度之比为1 : 2时，求t的值xyobca11pqm【解析】 （1）oabc是平行四边形，aboc，且aboc4a，b在抛物线上，y轴是抛物线的对称轴，a，b的横坐标分别是2和2代入yx 21，得a（2，2），b（2，2）m（0，2）（2）过点q作qhx轴于h，连接cm则qhy，phxt由phqcom，得：，即tx2yq（x，y）在抛物线yx 21上tx 2x2 当点p与点c重合时，梯形不存在，此时，t4，解得x1当q与b或a重

14、合时，四边形为平行四边形，此时，x2x的取值范围是x1且x2的所有实数分两种情况讨论：）当cmpq时，则点p在线段oc上cmpq，cm2pq，点m纵坐标为点q纵坐标的2倍即22(x 21)，解得x0t02022 ）当cmpq时，则点p在oc的延长线上cmpq，cmpq，点q纵坐标为点m纵坐标的2倍即x 2122，解得：x 当x时，得t()228当x时，得t()228【例2】 如图，在菱形abcd中，ab2cm，bad60，e为cd边中点，点p从点a开始沿ac方向以每秒cm的速度运动，同时，点q从点d出发沿db方向以每秒1cm的速度运动，当点p到达点c时，p，q同时停止运动，设运动的时间为x秒（

15、1）当点p在线段ao上运动时请用含x的代数式表示op的长度；若记四边形pbeq的面积为y，求y关于x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；（2）显然，当x0时，四边形pbeq即梯形abed，请问，当p在线段ac的其他位置时，以p，b，e，q为顶点的四边形能否成为梯形？若能，求出所有满足条件的x的值；若不能，请说明理由oeacqdbp【解析】 （1）由题意得bao30，acbdab2，obod1，oaocopx 如图1，过点e作ehbd于h，则eh为cod的中位线ehoc，dqx，bq2xoeacqdbh图1pysbpq sbeq (2x)(x)x 2x （2）能成为梯形，分三种情况：）如

16、图2，当pqbe时，pqodbe30图2oeacqdbhptan30即，x此时pb不平行qe，x时，四边形pbeq为梯形）如图3，当pebq时，p为oc中点ap，即x，x此时，bq2xpe，x时，四边形peqb为梯形）如图4，当qebp时，qehbpo，x1（x0舍去）此时，bq不平行于pe，x1时，四边形peqb为梯形综上所述，当x或或1时，以p，b，e，q为顶点的四边形是梯形图3oeacqdbhp图4oeacqdbhp【例3】 如图1，直线ab交x轴于点a（2，0），交抛物线yax 2于点b（1，），点c到oab各顶点的距离相等，直线ac交y轴于点d（1）求抛物线的解析式；（2）当x0时，

17、在直线oc和抛物线上是否分别存在点p和点q，使四边形dopq是特殊的梯形？若存在，求点p、q的坐标；若不存在，说明理由；（3）如图2，抛物线的解析式和点d的坐标不变当x0时，在直线ykx（0k1）和抛物线上是否分别存在点p和点q，使四边形dopq是以od为底的等腰梯形？若存在，求点p、q的坐标；若不存在，说明理由oabxycd图1oxyd图2【解析】 （1）抛物线yax 2经过点b（1，），a1 2，a抛物线的解析式为yx 2（2）设直线ab的解析式为yk1xb1，它过点a（2，0），b（1，） 解得yx又点c到oab各顶点的距离相等，即点c是oab三边的垂直平分线的交点如图1，连结bc并延长

18、交oa于a，则beoa，oeae点e的坐标为（1，0）在rtoec中，ceoetan30，c（1，）设直线oc的解析式为yk2x，则k21，k2yx设直线ac的解析式为yk3xb3，则 解得yx直线ac交y轴于点d，则点d（0，），od当odpq时，dqop时，四边形dopq为等腰梯形（如图1）oabxycd图1e由题意得，ocd为等边三角形，cdocodq是直线ad与抛物线的交点由xx 2，解得x11（舍去），x2当x时，x 2点q的坐标为（，）oabxycd图2当x时，x点p的坐标为（，）odq90时，四边形dopq为直角梯形（如图2）过点d（0，）且平行x轴的直线交抛物线于点qx 2，解

19、得x1（舍去），x2点q的坐标为（，）把x代入直线yx中，得y点p的坐标为（，）当dqop时，odpq时，四边形dopq为等腰梯形（如图1）过点d（0，）且平行于oc的直线为x，交抛物线于点qxx 2，解得x1（舍去），x21把x1代入yx 2中，得y点q的坐标为（1，）（与点b重合）又ocd为等边三角形，docbpo60设过点q（1，）且平行于ad的直线为yxb，交oc于点p，则byxxx，解得x2把x2代入yx中，得y点p的坐标为（2，）opq90时，四边形dopq为直角梯形由以上解法知，点q的坐标（1，）（与点b重合），过b与oc垂直的直线为ab，设oc与ab的交点为p则 解得点p的坐标

20、为（，）综上所述：当p1（，），q1（，）和p2（2，），q2（1，）（与点b重合）时，四边形dopq为等腰梯形；当p3（，），q3（，）和p4（，），q4（1，）（与点b重合）时，四边形dopq为直角梯形oxyd图3gqhp（3）设od的中点为g，则g（0，）如图3，过点g作ghy轴，交直线ykx于点h，连结dh，则h（，）设直线dh的解析式为yk4xb4，则解得直线dh的解析式为ykx直线dh与抛物线相交于点q，x 2kx解得x1（舍去），x2点q的坐标为（，）点p的坐标为（，）【例4】 如图，四边形abco是平行四边形，ab4，ob2，抛物线过a、b、c三点，与x轴交于另一点d一动点p以

21、每秒1个单位长度的速度从b点出发沿ba向点a运动，运动到点a停止，同时一动点q从点d出发，以每秒3个单位长度的速度沿dc向点c运动，与点p同时停止（1）求抛物线的解析式；（2）若抛物线的对称轴与ab交于点e，与x轴交于点f，当点p运动时间t为何值时，四边形poqe是等腰梯形？oabycxd【解析】 （1）四边形abco是平行四边形，ocab4a（4，2），b（0，2），c（4，0），抛物线yax 2bxc过点b，c2 由题意，有 解得 所求抛物线的解析式为yx 2x2 oabycxdepfq（2）将抛物线的解析式配方，得y(x2)2抛物线的对称轴为x2 d（8，0），e（2，2），f（2，0）

22、欲使四边形poqe为等腰梯形，则有opqe，即bpfqt63t，即t 【例5】 如图，二次函数yx 2pxq（p0）的图象与x轴交于a、b两点，与y轴交于点c(0，1)，abc的面积为（1）求该二次函数的关系式；（2）过y轴上的一点m(0，m)作y轴的垂线，若该垂线与abc的外接圆有公共点，求m的取值范围；（3）在该二次函数的图象上是否存在点d，使四边形acbd为直角梯形？若存在，求出点d的坐标；若不存在，请说明理由oacxyb【解析】 （1）二次函数yx 2pxq的图象与y轴交于点c(0，1)102p0q，q1yx 2px1 设点a(x1，0)，b(x2，0)，且x1x2则x1、x2是方程x

23、 2px10的两个实数根方法一：由根与系数的关系得x1x2p，x1x21abc的面积为，aboc即(x2x1)，x2x1(x2x1)2，即(x2x1)24x1x2(p)24，解得pp0，p 所求二次函数的关系式为yx 2x1 方法二：由求根公式得x1，x2abx2x1abc的面积为，即(x2x1)，解得pp0，p所求二次函数的关系式为yx 2x1（2）令x 2x10，解得x1，x22a(，0)，b(2，0) 如图1，在rtaoc中，ac 2oa 2oc 2()212oacxyby y图1在rtboc中，bc 2ob 2oc 222125ab，ac 2bc 25ab 2abc是直角三角形 abc

24、的外接圆的圆心是斜边ab的中点abc的外接圆的半径rab垂线与abc的外接圆有公共点m（3）存在 若adbc，设点d的坐标为(x0，x02x01)(x00)过点d作dex轴于e，如图2方法一：oacxyb图2ed在rtaed中，tandae在rtboc中，tancbodaecbo，tandaetancbo，即4x028x050解得x0或x0x00，x0，x02x01()21d(，)ad 2ae2de 2()2()2bc 2当adbc时，在该二次函数的图象上存在点d(，)，使四边形acbd为直角梯形方法二：oacxyb图3df在rtaed与rtboc中daecbo，rtaedrtboc，即以下同

25、方法一若acbd，设点d的坐标为(x0，x02x01)(x00)过点d作dfx轴于f，如图3在rtdfb中，tandbf在rtcoa中，tancao2dbfcao，tandbftancao2，即2x02x0100解得x0或x02x00，x0，x02x01()2()19d(，9)bdac，当acbd时，在该二次函数的图象上存在点d(，9)，使四边形acbd为直角梯形综上所述，在该二次函数的图象上存在点d，使四边形acbd为直角梯形，并且点d的坐标为(，)或(，9) 6、动点与其他四边形【例1】 在直角梯形oabc中，cboa，coa90，cb3，oa6，ba分别以oa、oc边所在直线为x轴、y轴

26、建立如图1所示的平面直角坐标系（1）求点b的坐标；（2）已知d、e分别为线段oc、ob上的点，od5，oe2eb，直线de交x轴于点f求直线de的解析式；（3）点m是（2）中直线de上的一个动点，在x轴上方的平面内是否存在另一个点n，使以o、d、m、n为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点n的坐标；若不存在，请说明理由eoyxcbafd图1备用图eoyxcbafd【解析】 如图1，作bhx轴于点h，则四边形ohbc为矩形ohcb3 ahoaoh633，在rtabh中，bh6 点b的坐标为（3，6）（2）如图1，作egx轴于点g，则egbhoegobh oe2eboyxcbeafmnghpd图1

27、，og2，eg4点e的坐标为（2，4）又设直线de的解析式为ykxb则 解得k，b5直线de的解析式为yx5 （3）存在如图1，当oddmmnno5时，四边形odmn为菱形作mpy轴于点p，则mpx轴，mpdfod，又当y0时，x50，解得x10f点的坐标为（10，0），of10在rtodf中，fd，mp，pd点m的坐标为（，5）点n的坐标为（，）oyxcbeafmnp图2如图2，当oddnnmmo5时，四边形odnm为菱形延长nm交x轴于点p，则mpx轴点m在直线yx5上，设m点坐标为（a，a5）在rtopm中，op 2pm 2om 2，a 2( a5 )25 2解得a14，a20（舍去），

28、点m的坐标为（4，3）yxcbeafmnd图3p点n的坐标为（4，8）如图3，当ommddnno时，四边形omdn为菱形连接nm，交od于点p，则nm与od互相垂直平分ym yn op，xm 5xm 5，xn xm 5点n的坐标为（5，）综上所述，x轴上方的点n有三个，分别为n1（，），n2（4，8），n3（5，）【例2】 如图，abcd在平面直角坐标系中，ad6，若oa、ob的长是关于x的一元二次方程x 27x120的两个根，且oaob（1）求sinabc的值（2）若e为x轴上的点，且saoe ，求经过d、e两点的直线的解析式，并判断aoe与dao是否相似？（3）若点m在平面直角坐标系内，则

29、在直线ab上是否存在点f，使以a、c、f、m为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出f点的坐标；若不存在，请说明理由xyadboc【解析】 （1）解方程x 27x120，得x13，x24oaob，oa4，ob3 在rtaob中，ab5sinabc （2）点e在x轴上，saoe ，oaoe，即4oe，oee（，0）或e（，0）由已知可知d（6，4）设经过d、e两点的直线的解析式为ykxb当e（，0）时，有 解得当e（，0）时，有 解得经过d、e两点的直线的解析式为y或y 在aoe中，aoe90，oa4，oe在dao中，dao90，oa4，ad6aoedao （3）存在点f，使以a、c、f、m为顶

30、点的四边形为菱形，点f的坐标分别为：f1（3，8），f2（3，0），f3（，），f4（，）10分）当ac为菱形的边长时，有三种情形：如图1，当点f1在ba的延长线上，且accddf1f1a时，点m与点d重合，四边形acmf1为菱形，易知此时点f1的坐标为f1（3，8）；如图2，当点f2与点b重合，且accmmf2f2a时，四边形acmf2为菱形，此时点f2的坐标为f2（3，0）；如图3，当accf3f3mma时，四边形acf3m为菱形由已知可求得直线ab的解析式为，设点f3的坐标为（x，）cf32ac232422525，解得x10（即点a的横坐标），x2（即点f3的横坐标）点f3的纵坐标为：，

31、f3（，）当ac为菱形的对角线时，设ac与f4m相交于点n，f4m交y轴于点g，如图4由已知可求得点n的坐标为（，2）rtangrtaoc，即，agog，g（0，）设直线f4m的解析式为，则，解得，直线f4m的解析式为xyaboc图1d(m)f1xyadb(f2)ocm图2联立，解得，f4（，）xyadocm图4bf4ngxyadbocmf3图3【例3】 如图，在平面直角坐标系中，rtaobrtcda，且a（1，0）、b（0，2），抛物线yax 2ax2经过点c（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线（对称轴的右侧）上是否存在两点p、q，使四边形abpq是正方形，若存在，求点p、q的坐标；若不存

32、在，请说明理由cbadoxy【解析】 （1）由rtaobrtcda，得od213，cd1c点坐标为（3，1）抛物线经过点c，1a(3)2a(3)2a 抛物线的解析式为yx 2x2 （2）在抛物线（对称轴的右侧）上存在点p、q，使四边形abpq是正方形cbadoxypeqg方法一：以ab为边在ab的右侧作正方形abpq，过p作peob于e，qgx轴于g，可证pbeaqgbaopeagbo2，beqgao1 8分p点坐标为（2，1），q点坐标为（1，1）由（1）抛物线yx 2x2当x2时，y1；当x1时，y1p、q在抛物线上故在抛物线（对称轴的右侧）上存在点p（2，1）、q（1，1），使四边形ab

33、pq是正方形（2）方法二：延长ca交抛物线于q，过b作bpca交抛物线于p，连结pq，设直线ca、bp的解析式分别为yk1xb1、yk2xb2a（1，0），c（3，1），ca的解析式为yx同理可得bp的解析式为yx2 解方程组 得q点坐标为（1，1），同理得p点坐标为（2，1）由勾股定理得aqbpab，又baq90，四边形abpq是正方形故在抛物线（对称轴的右侧）上存在点p（2，1）、q（1，1），使四边形abpq是正方形方法三：将线段ca沿ca方向平移至aqc（3，1）的对应点是a（1，0），a（1，0）的对应点是q（1，1）；再将线段aq沿ab方向平移至bp，同理可得p（2，1）bac90

34、，abac，四边形abpq是正方形 由（1）抛物线yx 2x2当x2时，y1；当x1时，y1p、q在抛物线上故在抛物线（对称轴的右侧）上存在点p（2，1）、q（1，1），使四边形abpq是正方形【例4】 已知点a、b分别是x轴、y轴上的动点，点c、d是某个函数图像上的点，当四边形abcd（a、b、c、d各点依次排列）为正方形时，称这个正方形为此函数图像的伴侣正方形例如：如图，正方形abcd是一次函数yx1图像的其中一个伴侣正方形（1）若某函数是一次函数yx1，求它的图像的所有伴侣正方形的边长；（2）若某函数是反比例函数y（k0），它的图像的伴侣正方形为abcd，点d（2，m）（m2）在反比例函数图像上，求m的值及反比例函