复合函数知识总结及例题

1、第一篇、复合函数问题一、复合函数定义：设y=f(u)的定义域为a, u=g(x)的值域为b,若ab,则y关于x函数的y=f g(x)叫做函数f与g的复合函数，u叫中间量.二、复合函数定义域问题：(一)例题剖析：(1)、已知f(x)的定义域，求f g(x)的定义域思路：设函数f(x)的定义域为d,即x d ,所以f的作用范围为 d,又fxg(x)作 用，作用范围不变，所以 g(x) d ,解得x e, e为f g(x)的定义域。例1.设函数f (u)的定义域为(0, 1),则函数f (ln x)的定义域为 。解析：函数f (u)的定义域为(0, 1)即u (0, 1),所以f的作用范围为(0,1

2、)又f对lnx作用，作用范围不变，所以 0 1nx 1解得x (1, e),故函数f (1n x)的定义域为(1, e)1例2.若函数f (x) ，则函数f f (x)的定义域为 。x 1解析：先求f的作用范围，由f (x)-，知x 1x 1即f的作用范围为 x r|x 1，又f对f(x)作用x 1所以f (x) r且f(x)1,即f f (x)中x应满足f(x) 1x 1即 1,解得x1且x2x 11故函数f f(x)的定义域为 x r|x1且x2(2)、已知f g(x)的定义域，求f(x)的定义域思路：设f g(x)的定义域为d,即x d ,由此得g(x) e ,所以f的作用范围为e,又f

3、对x作用，作用范围不变，所以 x e, e为f(x)的定义域。例3.已知f(3 2x)的定义域为x 1, 2 ,则函数f(x)的定义域为 。解析：f (3 2x)的定义域为 1, 2 ,即x 1, 2 ,由此得3 2x 1, 5所以f的作用范围为1, 5 ,又f对x作用，作用范围不变，所以 x 1, 5即函数f(x)的定义域为12例4.已知f(x2 4) lgix一，则函数f(x)的定义域为 。x2 822解析：先求f的作用范围，由f (x2 4) lgt，知tx 0x 8 x 8解得x2 4 4, f的作用范围为(4,)，又f对x作用，作用范围不变，所以x (4,)，即f(x)的定义域为(4

4、,)(3)、已知f g(x)的定义域，求f h(x)的定义域思路：设f g(x)的定义域为d,即x d ,由此得g(x) e , f的作用范围为e, 又f对h(x)作用，作用范围不变，所以 h(x) e ,解得x f , f为f h(x)的定义域。例5.若函数f(2x)的定义域为1, 1，则f (log 2 x)的定义域为 。1解析：f(2x)的定义域为1, 1 ,即x 1, 1 ,由此得2x-1, 21f的作用范围为 一，221又f对log2 x作用，所以log2 x - , 2 ,解得x j2, 4即f (log 2 x)的定义域为 (x2 2x2 3) 又底数 0 12v2 v10 即

5、v2 v1. y在(3,)上是减函数.同理可证：y在(，1)上是增函数.例2、讨论函数f(x) loga(3x2 2x 1)的单调性.解由3x2 2x 1 0得函数的定义域为1x|x 1,或 x-.3则当 a 1 时，若 x 1 , u 3x2 2x 1 为增函数，f(x) loga(3x2 2x 1)为增 函数.c若x -, . u 3x2 2x 1为减函数.3f(x) loga(3x2 2x 1)为减函数。1当0 a 1时，若x 1,则f(x) loga(3x2 2x 1)为减函数，若x 1,则3f(x) loga(3x2 2x 1)为增函数.例3、.已知y= log a(2- ax)在0

6、, 1上是x的减函数，求a的取值范围.解：a0 且 aw 1当a1时，函数t=2- ax0是减函数由y=loga (2- ax)在0, 1上x的减函数，知y=logat是增函数，a 1由 x 0, 1时，2- ax 2-a0,得 a2,1 a 2当0a0是增函数由y=loga (2- ax)在0, 1上x的减函数，知y= log a t是减函数，0a0,0a1综上述，0a0,解得 x4 或 xv 1,所以 xc (8, 1 ) u (4, +00),当 xc ( 8, 1) u (4, | =x2-5x+ 4 =r+,所以函数的值域是 r+.因为函数 y=l0gl(x2 5x+ 4)是由 y=

7、 log 1 (x)与 (x) = x2-5x+ 4 复合而成，函335数y= 10gl(x)在其定义域上是单调递减的，函数(x) = x2-5x+ 4在(8,一)y= iog13上为减函数，在5, +8上为增函数.考虑到函数的定义域及复合函数单调性, 2(x25x+4)的增区间是定义域内使y=10gl(x)为减函数、(x) =x25x+ 4也3为减函数的区间，即(一00, 1)； y= log 1(x25x+4)的减区间是定义域内使 y= log 133(x)为减函数、(x) =x25x+ 4为增函数的区间，即(4, +8).变式练习一、选择题1.函数f (x) = jlog 1 (x1)的

8、定义域是()v 2a. (1,b.(2,+8)c.(一巴 2)d. (1,2解析：要保证真数大于0,还要保证偶次根式下的式子大于等于0,x 10所以10gl(x1)0 斛得1 0,所以x2y.所以x= y舍 掉.只有x= 4y.答案：d4 .若定义在区间(一1, 0)内的函数f (x) = 10g 2a (x+ 1)满足f (x) 0,则a的取值范围为()a. (0, -)b. (0, 1)2c. ( 一 ,十)d.(0,十)2解析：因为xe( 1, 0),所以x+1 e(0, 1).当f (x) 0时，根据图象只有 0v12avi,解得0vav(根据本节思维过程中第四条提到的性质) 2答案：

9、a5 .函数y= lg (/_ 1)的图象关于()1 xc.原点对称a. y轴对称b. x轴对称d.直线y= x对称21+x斛析：y= lg (- 1) = lg,所以为奇函数.形如1x1-xy= 1g1+ x1 x或 y= lg1+ x1 x的函数都为奇函数.答案：c、填空题已知y= log a(2ax)在0, 1上是x的减函数，则 a的取值范围是 解析：a0且aw1(x) =2 ax是减函数，要使 y= log a(2 ax)是减函数，则 a 1,又 2ax0 a 2 (0x 1)a0,解得 0vxv 2.3(x) =2xx2在(0, 1)上单调递增，则f (x)在(0, 1)上单调递减；

10、(x) =2xx2在(1,2)上单调递减，则f (x)在1, 2)上单调递增.所以f (2x x2)的单调递减区间为(0, 1).答案：(0, 1)8.已知定义域为 r的偶函数f (x)在0, +上是增函数，且 f (1)=0,2则不等式f (log4x) 0的解集是.解析：因为f (x)是偶函数，所以f ( 1) = f ( 1) = 0.又f (x)在0, +822上是增函数，所以f (x)在(, 0)上是减函数.所以f (log4x)0 10g4x 1或10g4x_ 12解得x2或0vxv -.2-11答案：x 2或0vxv 2三、解答题9 .求函数y=log1(x2-5x+4)的定义域

11、、值域和单调区间.3解：由(x) = x2 -5x+40,解得 x4 或 xv1,所以 xc (巴 1) u ( 4, +),当 xc ( 8, 1) u (4, |=x2- 5x+ 4 =r+,所以函数的值域是 r+ .因为函数y= 10gl (x2 5x+ 4)是由 y= 10gl(x)与 (x) =x25x+ 4 复合而成,33函数y= log 13 c,5(x)在其定义域上是单调递减的，函数 (x) =x25x+ 4在( 8, 一)2.,一，5 . 上为减函数，在5,+8上为增函数.考虑到函数的定义域及复合函数单调性，y=l0gl23(x25x+4)的增区间是定义域内使 y=l0gl

12、(x)为减函数、(x) =x25x+ 4也3为减函数的区间，即(一, 1)； y= 10gl (x25x+4)的减区间是定义域内使 y=l0gl 33(x)为减函数、(x) =x25x+ 4为增函数的区间，即(4, +8).一23 2x10 .设函数 f (x) =+ igja,3x+ 53+ 2x(1)求函数f (x)的定义域；(2)判断函数f (x)的单调性，并给出证明；(3)已知函数f (x)的反函数 p1 (x),问函数y=f 1 (x)的图象与x轴有交点吗？ 若有，求出交点坐标；若无交点，说明理由.一 3-2x,一 5一33 一 八一 3解：(1)由 3x+5w0 且 3|20,解得

13、 xw 5 且vxv .取交集得一!xv 32(2)令(x)= 一，随着x增大，函数值减小，所以在定义域内是减函数；3x+ 532x63-x = -1+ 6随着x增大，函数值减小，所以在定义域内是减函数.3+ 2x3+ 2x又y=igx在定义域内是增函数，根据复合单调性可知,3 2xy=lg是减函数，所以f3+ 2x23 2x _ (x) =+ lg 3 2x是减函数.3x+53+ 2x(3)因为直接求f (x)的反函数非常复杂且不易求出，于是利用函数与其反函数之间定义域与值域的关系求解.设函数f (x)的反函数 p1(x)与工轴的交点为(x00).根据函数与反函数之间定义域与值域的关系可知，

14、f (x)与y轴的交点是(0, x),x。)代入f ( x),解得x02-.所以函数y= f 1 (x)的图象与x轴有交点，交点为 50)。一 .指数函数与对数函数.同底的指数函数 y ax与对数函数y logax互为反函数；(二)主要方法：1 .解决与对数函数有关的问题，要特别重视定义域；2 .指数函数、对数函数的单调性决定于底数大于1还是小于1,要注意对底数的讨论;3 .比较几个数的大小的常用方法有：以0和1为桥梁；利用函数的单调性；作差.(三)例题分析：1,则logb b，logb a , log a b从小到大依次为 a(2)若 2x(3)设 x(a) 解：(1)由a23y 5z0,且

15、y , z都是正数，贝u 2x , 3y , 5z从小到大依次为1 ( a 0, b(b) a b 10),则a与b的大小关系是(c) 1b a ( d)(2)令 2x3y5z1- 2x 3y同理可得:21g tlg22x 5z3lg t lg tlg3例2.已知函数f (x) a故 logbblog ba 1求证:证明:(1)(1)函数设1则 f (x1)f (x2)1 x13(xx2 , x2)algtx lg2(lg9 lg8)lg2 lg30, 2x 5z, . 3yx f(x)在(1,a*x1x2 a(a 1),)上为增函数;(2)2xax2x12x11x2 1又2又2又2x0212

16、1x2lgt lg3方程2x3y;知选(b).f (x) 0没有负数根.3(x1 x2)(x1 1)(x2 1)(x1 1)(x2 1)1x1x2，且 a 1 ,ax1a-1 a&0,f(xi) f(x2) 0,即 f(xi)f(x2), 函数 f(x)在(1,)上为增函数;(2)假设x0是方程f(x) 0的负数根，且x0x0 1即ax02 x03(x0 1)x0 1 x0 13x011,当1 x00时，0，式不成立；当x01时， 1，式不成立.综上所述，方程f(x)x0 1 1 ,- 3 ,- 1 2 ,而由 ax0 1x0 1330, 一0, - 11,而 a2 0,x0 1x0 10没有负数根.例3.已知函数f (x)loga(ax 1) ( a 0且 a 1).1知a求证：(1)函数f(x)的图象在y轴的一侧；(2)函数f(x)图象上任意两点连线的斜率都大于0.证明：(1)由 ax 1 0得：ax 1 ,当a 1时，x 0,即函数f(x)的定义域为(0,),此时函数f(x)的图象在y轴的右 侧；当0 a 1时，x 0,即函数f(x)的定义域为(，0),此时函数f(x)的图象在y轴 的左侧.二函数f(x)的图象在y轴的一侧；(2)设 a(x1, 乂)