河南省顶级名校高考数学二模试卷(文科)(解析)

1、2016年河南省顶级名校高考数学二模试卷(文科)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。1.若集合 a=xlog x (2x+l) - 1,集合 b=x 13xb0)的离心率为卷，则双曲线的离心率是()a.4.a.5.a.2 b.匹 c.亚 d. 3 22设直线丫春世是曲线y=lnx的一条切线，则b的值为()ln2-l b. ln2-2 c. 21n2-1 d. 21n2 - 2设ar,则a=l是“f (x) =ln (a+)为奇函数”的()充分不必要条件 b.必要不充分条件c.充要条件d.既不充分也不必要条件6 .已知实数1, 10,执行如图所示的程序框图，则输出x的值不小于55

2、的概率为(d- 97 .已知各项均为正数的等比数列 w，aia2a3=5, a7a8a9=10,则a4a5a6=()a. 5v2b. 7 c. 6 d. 428 .若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体枳等于()a. 10cm3 b. 20cm3c. 30cm3 d. 40cm39 .等差数列的前n项和为sn，且sloo6s10o8s|oo7,则满足snsn.!0的正整数n为（ ） a. 2015 b. 2013 c. 2014 d. 201610 .已知aabc的三个顶点在以o为球心的球面上，且cosa二号，bc=1, ac=3,三棱 锥o - abc的体积为yp,则球o的

3、表面积为（）16兀a. 36 b. 16n c. 12k d.j11 .在abc 中，ab=3, ac=4, zbac=60,若 p 是4abc 所在平面内一点，且 ap=2, 则由司的最大值为（）a. 10 b. 12 c, 10+2/37 d. 812 .设过点p（-l,上作朝线，pa, pb与抛物线y2=4x任相切于点a, b,若f为抛 物线 y?=4x 的焦点，（ af *1 bfl=（）a. vtsb. 5 c. 8 d. 9二、填空题:本大题共4小题。每小题5分，共20分.13 .用系统抽样的方法从300名学生中抽取容量为20的样本，将300名学生从1 - 300编号, 按编号顺序

4、平均分成20组，若第16组应抽出的号码为231,则第一组中用抽签方法确定的 号码是.14 .若实数x, y满足条件，则2x+y的最大值为.15 .已知点 a （0, 3）,若圆 c： （x-a） 2+ （x-2a+4） 2=1 上存在点 m,使 ma =2 mo , 则圆心c的横坐标a的取值范围为.16 .在zxabc中，角a, b, c的对边分别为a, b, c,且2ccosb=2a+b,若aabc的面积 为5专,则ab的最小值为.三、解答譬 解答写出文字说明、区明或验算步骤17 .已知能（sin2x, 2cos?x- 1）, e= （sin。，cos0） （o0n）,函数 f （x） =&

5、e的图象 兀经过点（一，1）.（i）求e与f （x）的最小正周期；tf jvb0)的离心率巳耳，右焦点到直线三g口的距离，o 2 b22a b为坐标原点.(i )求椭圆c的方程；(n)过点o作两条互相垂直的射线，与椭圆c分别交于a, b两点，证明点o到直线ab 的距离为定值，并求弦ab长度的最小值.gy21 .设函数 f (x) = - 2x2+ax - inx (ar), g (x) =-3.e(i)若函数f (x)在定义域内单调递减，求实数a的取值范围；(ii)若对任意 xc (0, e),都有唯一的 xe 4, e,使得 g (x) =f (xo) +2x02 成立， 求实数a的取值范围

6、.请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.选修41： 几何证明选讲22 .如图ab是半圆的直径，c是圆上一点，ch1.ab于点h, cd是圆的切线，f是ac上一点，df=dc,延长df交ab于e.(i )求证：dech：0).(1)当a=l时，解不等式f (x) 8；(2)若不等式f (x) 23在(-g, +8)上恒成立，求实数a的取值范围.2016年河南省顶级名校高考数学二模试卷(文科)参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分,共60分。1 .若集合 a=x log l (2x+l) - 1,集合 b=x 13xb=()a. (0, -

7、i-) b. ( -1 c. (0, 2) d. (-i-, 2)【考点】交集与其运算.【分析】先把集合a, b解出来，然后再求acb即可【解答解：a=x log (2x+l) - 1 = x -yxi,b=x l3x9 = x 0x2,aanb=x 0xb0)的离心率为卷，则双曲线的离心率是()a. 2 b.匹 c. d. 3 22【考点】椭圆的简单性质；圆锥曲线的综合.【分析】利用椭圆的离心率求出ab关系式，然后求解双曲线的离心率即可.【解答】解：椭圆(ab0)的离心率为看,可得，即：，可得，在则双曲线中，由，即，可得，.故选：c.4 .设直线y4x+b是曲线y=lnx的一条切线，则b的值

8、为()乙a. ln2-l b. hi2-2 c. 21n2 - 1 d. 21n2 - 2【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程.【分析】设切点为(m, n),代入曲线的方程，求得曲线对应的函数的导数，可得切线的斜率，由切线的方程可得m=2,求得n,代入切线的方程可得b.【解答】解：设切点为l,函数f (x)的定义域为(-8, - 1)u (1,2)关于原点对称；又 f ( -x) +f (x) =ln+ln=ln () =lnl=o,即 f ( - x) = - f (x),.函数f(x)是奇函数.即充分性成立.若 f(x)=ln (a+)为奇函数，则 f ( - x) +f (x) =ln

9、 (a+) +ln (a+) =0,化为(a- 1) (a+1) (x2- 1) +4=0,此式对于定义域内的任意x皆成立，必有a=l, 由上而可知a=l满足题意，即必要性成立.故a=l是f (x) =ln (a+)为奇函数”的充要条件.故选：c.6 .已知实数xl, 10,执行如图所示的程序框图，则输出x的值不小于55的概率为（ ）【考点】程序框图.【分析】由程序框图的流程，写出前三项循环得到的结果，得到输出的值与输入的值的关系, 令输出值大于等于54得到输入值的范闱，利用几何概型的概率公式求出输出的x不小于55 的概率.【解答】解：设实数x0, 10,经过第一次循环得到x=2x+l, n=

10、2经过第二循环得到x=2 （2x+l） +1, n=3经过第三次循环得到x=22 （2x+l ） +1 + 1, n=4此时输出x输出的值为8x+7令 8x+7255,得 x26由几何概型得到输出的x不小于55的概率为=*.y故选：c7 .已知各项均为正数的等比数列aj, a1a2a3=5, a7aga9=10,则a4a5a6=()a. 5v2b. 7 c. 6 d. 4v2【考点】等比数列.【分析】由数列匕/是等比数列，贝ij有a1a2a3=5=a23=5： a7a8a9=10a83=10.【解答】解：aia2a3=5=a23=5：a7a8a9= 10= a83=10,a52=a2a8,-a

11、23.g-50 a.5a5 -故选a.8 .若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积等于（a. 10cm3 b. 20cm3c. 30cm3 d. 40cm3【考点】由三视图求面积、体积.【分析】由三视图知几何体为直三削去一个三棱锥，画出其直观图，根据棱柱的高为5：底 而为直角三角形，直角三角形的直角边长分别为3、4,计算三棱柱与三棱锥的体积，再求 差可得答案.【解答】解：由三视图知几何体为三棱柱削去一个三棱锥如图：棱柱的高为5：底面为直角三角形，直角三角形的直角边长分别为3、4,，几何体的体积 vx3x4x5 -x-i-x3x4x5=20 （cm3）.故选b.9 .等差数列

12、的前n项和为sn，且sio（）6s1oo8sioo7,则满足snsn .lo, aloo7+aioo80, s2oi60,即aio（）8o,再由 s（）o6sioo8，得 sioog - sio（）6o 即 aio（）7+aioog 0，22同理可得 s2oi4=$frac2o14 （a-l + a,2014） 2 = 1007 （a10o7-a1008） vo,满足snsn !,解得ab=2, .ab2+bc2=ac2, hp ab1bc.aac为平而abc所在球截面的直径.作od_l平面abc,则d为ac的中点，, v。abcs妞c0片 4 x 2后x1 x皿=手， 0。乙0.od=l2，

13、a=7od2+ad2=2 -，s wo=4neoa2=16n.故选:b.11 .在aabc 中，ab=3, ac=4, zbac=60% 若 p 是aabc 所在平面内一点，且 ap=2, 则说比的最大值为（）a. 10 b. 12 c. 1o+2a/37 d. 8【考点】平面向量数量积的运算.【分析】可以a为坐标原点，边ac所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，然后根据条件即可求出a, b, c三点的坐标，并可设p （cos。，sine）, eer.这样便可求出向量而，pc的坐标，从而求出而食二-llcoss - losing+10,根据两角和的正弦公式即可得到福黄二一 2vsin（ + 口）

14、+ 10而-iwsin （0+a） w1,从而便可得出而同的最大值.【解答】解：以点a为原点，边ac所在直线为x轴，建立如图所示平面直角坐标系，贝ij：a (0, 0), b (), c (4, 0), p (2cos9, 2sin0), 0gr；(挈-2sin。)- 2cos 0 , 2sin ),而二(4-2cos 9 , - 2sins ： 乙乙,pb*pc = (y _ 2cos日)(4 - 2cos8 ) -2sin 8 =-llcosq - 3asin a+10= -2v3?sin(0 + a)hc,其中 a 为锐角，且，eer； asin (0+a) = - 1时，由记取最大值1

15、0+2 j?.故选c.12 .设过点p ( - 1, 1)作两直线，pa, pb与抛物线y2=4x任相切于点a, b,若f为抛 物线y2=4x的焦点，1亚! b?l=()a.屈 b. 5 c. 8 d. 9【考点】抛物线的简单性质.【分析】求出切线ap、bp的方程，代入p点的坐标，结合韦达定理，向量的数量积公式, 即可得出结论.【解答】解：设切点a、b坐标分别为(刁7()2, yo)和(yi2, yi) (yiy0),222yyj4, j两切线斜率分别为：t和;t y0 yl于是：切线ap的方程为：2x - yyo4-yo2=o代入p点的坐标为:yo2 - 2yo - 4=0.同理 yr -

16、2yi - 4=0由题意,yo+yi=2 yoyi= - 4,af bf =_(l-y()2，- yo) ( 1- yi) = - 1(y()2+yr)-vryo2yi2+yoyil=5.16故选：b.二、填空题:本大题共4小题。每小题5分，共20分.13 .用系统抽样的方法从300名学生中抽取容量为20的样本，将300名学生从1 - 300编号, 按编号顺序平均分成20组，若第16组应抽出的号码为231,则第一组中用抽签方法确定的 号码是6 .【考点】系统抽样方法.【分析】根据题意设出在第1组中随机抽到的号码为x,写出在第16组中应抽出的号码， 根据第16组抽出的号码为231,构造关于x的方

17、程，得到x的值.【解答】解：不妨设在第1组中随机抽到的号码为x,由于300名学生平均分成20组，故每组15人则在第16组中应抽出的号码为15x15+x.即 225+x=231, :.x=6.故答案为:6.14 .若实数x, y满足条件，则2x+y的最大值为4 .【考点】简单线性规划.【分析】足约束条件的平面区域，求出可行域中各个角点的坐标，分析代入后即可得到答案.【解答】解：满足约束条件的平而区域如下图所示：由图可知:当x=l y=2时,2x+y取最大值4故答案为：415 .己知点 a (0, 3),若圆 c： (x-a) 厂 3) 2=2x2+y2，得 x2+y2+2y - 3=0,即 x2

18、+ (y+1) 2=4.点m在以d (0, - 1)为圆心，以2为半径的圆上，则圆c与圆d有公共点，满足2-1wcdw2+1,即va2+(2a- 3)2 3， q 即，解得0a昔. 5 12 故答案为：0,昔. + (x-2a+4) ?=1 上存在点 m,使 |ma =2 mo ,12则圆心c的横坐标a的取值范围为【0,等.【考点】圆的标准方程.【分析】由圆的方程求出圆心坐标，设出m坐标，由ma =21mo求得m的轨迹，再由 两圆相交得到圆心距与半径的关系，求解不等式组得答案.【解答】解：由 c： (x-a) 2+ (x-2a+4) 2=1,得圆心 c (a, 2a-4),设 m (x, y)

19、,v ma =2： mo ,16 .在aabc中，角a, b, c的对边分别为a, b, c,且2ccosb=2a+b,若aabc的面积j3为则ab的最小值为12.【考点】正弦定理.【分析】由条件里用正弦定理、两角和的正弦公式求得cosc=-：, c=.根据4abc 乙j的面积为shabsiiic=c,求得ch|ab.再由余弦定理化简可得看a%2=a2+b2+ab23ab, 由此求得ab的最小值.【解答】解：在aabc中，由条件里用正弦定理可得2sinccosb=2sina+sinb=2sin (b+c)+sinb,12兀即 2sinccosb=2sinbcosc+2sinccosb+sinb

20、, 2sinbcosc+sinb=0, acosc= - -* c- 0 。由于4abc的面积为s=iab.sinc,ac=-ab.乙再由余弦定理可得c2=a2+b2 - 2abcosc,整理可得a2b2=a?+b2+ab23ab, 4当且仅当a=b时，取等号，abn12,故答案为：12.三、解答. 解答写出文字说明、更明或验算步骤_ _17 .已知:(sin2x, 2cos2x - 1),正(sin0, coso) (o0n),函数 f (x)的图象 兀经过点(一丁，1).(i )求6与f (x)的最小正周期；tt jt(口)当x -，下时，求f(x)的最大值和最小值. 64【考点】三角函数

21、的最值；平而向量数量积的运算：三角函数的周期性与其求法.【分析】(i)利用向量数量积的坐标运算易求f (x) =cos (2x-0),从而可求f (x)的最 jr小正周期：又y=f(x)的图象经过点(丁，1), 06n,可求得也69d9w卷利用tv7t(ii)由(i)得 f(x) =cos (2x -77)， 36余弦函数的单调性可求得f (x)的最大值和最小值.【解答】解：(i ) vf(x) =a*b=sin2xsin0+cos2xcos0=cos (2x - 0),f (x)的最小正周期为t=n,vy=f (x)的图象经过点(=，1),67ta cos 0) =1,j又 oen,(h)由

22、(i)得 f(x) =cos (2x -；), j7tttv - -即*=-工一时，f (x)取得最小值-77.55bz18.某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩(满 分100分)的茎叶图如图，其中甲班学生的平均分是85,乙班学生成绩的中位数是83.(1)求x和y的值：(2)计算甲班7位学生成绩的方差s2：(3)从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，求甲班至少有一名学生的概率.甲 乙895x06 2 【考点】古典概型与其概率计算公式；茎叶图：极差、方差与标准差.【分析】(1)利用平均数求出x的值，中位数求出y的值，解答即可.(2)根据所给的茎叶图，得出

23、甲班7位学生成绩，做出这7次成绩的平均数，把7次成绩 和平均数代入方差的计算公式，求出这组数据的方差.(3)设甲班至少有一名学生为事件a,其对立事件为从成绩在90分以上的学生中随机抽取 两名学生，甲班没有一名学生；先计算出从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生的 所有抽取方法总数，和没有甲班一名学生的方法数目，先求出从成绩在90分以上的学生中 随机抽取两名学生，甲班没有一名学生的概率，进而结合对立事件的概率性质求得答案.【解答】解：甲班学生的平均分是85,.92+96+80+20+乂+85+79+78_*, 735，x=5,乙班学生成绩的中位数是83,.y=3：(2)甲班7位学生成绩的方差

24、为s2=y (- 6) 2+(- 7) 2+( - 5) 2+q2 + 02+72+h2=4o：(3)甲班成绩在90分以上的学生有两名，分别记为a, b,乙班成绩在90分以上的学生有三名，分别记为c, d, e,从这五名学生任意抽取两名学生共有10种情况：(a, b), (a, c), (a, d), (a, e),(b, c), (b, d), (b, e),(c, d), (c, e),(d, e)其中甲班至少有一名学生共有7种情况：(a, b), (a, c), (a, d), (a, e), (b, c), (b, d), (b, e).记“从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，

25、甲班至少有一名学生”为事件m,则p(m)二击.7答：从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，甲校至少有一名学生的概率为6.19.如图，四边形 bcde 为矩形，平而 abc_l平面 bcde, acbc, ac=cdbc=2, f 乙是ad的中点.(1)求证：ab平而cef；(2)求点a到平面cef的距离.【考点】点、线、而间的距离计算：直线与平面平行的判定.【分析】(1)连结bd,交ce于点h,连结fh,从而fh是4abd的中位线，从而证明ab平面 cef；(2)设a到平面cef的距离为d,利用等积法进行转化解方程va.cef=ydsa cefy de esa acf 即可得至ll结论.

26、【解答】解：(1)证明：如图，连结bd,交ce于点h,连结fh, 四边形bcde为矩形， .h是线段bd的中点，又点f是线段ad的中点， ,.fh是4abd的中位线，fhab,又fhu 平面 cef, abq平面 cef；，ab 平而 cef：(2)设a到平面cef的距离为d,则 va cef=sa de *sa acf ；cf=m，ce=2近，ef=3,acf1ef,cefx& x 3a/2=3,则 d-|*.4即点a到平面cef的距离是三.20.设椭圆c；毛+号1缶100)的离心率已耳，右焦点到直线三g口的距离，o 己2 b22& b为坐标原点.(i)求椭圆c的方程：(口)过点0作两条互相

27、垂直的射线，与椭圆c分别交于a, b两点，证明点o到直线ab 的距离为定值，并求弦ab长度的最小值.【考点】直线与圆锥曲线的综合问题.【分析】(i)利用离心率求得a和c的关系式，同时利用点到直线的距离求得a, b和c的 关系最后联立才求得a和b,则椭圆的方程可得.(ii)设出a, b和直线ab的方程与椭圆方程联立消去y,利用韦达定理表示出x1+x2和x|x2 利用 oaob 推断出 x1x2+yiy2=o,求得m和k的关系式，进而利用点到直线的距离求得o到直线ab的距离为定值，进而利 用基本不等式求得oa=ob时ab长度最小，最后根据求得ab的坐标值.【解答】解：(i)由已三得上即乎2c,，匕

28、二愿。. 2 a z由右焦点到直线二1的距离为，得:，解得3二2,所以椭圆c的方程为.(ii)设 a (x1, y)，b (x2 y2)直线ab的方程为y=kx+m,与椭圆联立消去 y 得 3x2+4 (k2x2+2kmx+nr) - 12=0,_ _ 8km4id2 - 121 3+4k21 2 3+4 k2v oa _l ob, axi x2+y i y2=0， axix2+ (kxj+m) (kx2+m) =0.4tt)2 i 2 qk 2 2即(k2+l) xix2+km(x1+x2)+m2=0,，(k2 + l)t 4-itf0 *3+4k 23+4k2整理得 7m2=12 (k2+

29、l)所以o到直线ab的距离二杵二2%.为定值voa1ob, aoa2+ob2=ab220aeob t当且仅当oa=ob时取=号.由 d，ab = oa ob 得 d，ab = oa 即弦ab的长度的最小值是.21.设函数 f(x) = - 2x2+ax - inx (agr), g (x) =t+3.e(i)若函数f (x)在定义域内单调递减，求实数a的取值范围：(ii)若对任意 x (0, e),都有唯一的 xee-4, e,使得 g (x) =f (xo) +2x2成立， 求实数a的取值范围.【考点】利用导数研究函数的单调性.【分析】(i)根据题意即可得出4x2-ax+120在(0, +8

30、)上恒成立，从而有巳，和的最大值或最小值，以与端点值即可求出-ae4,在每种情况里可通过求函数h (x) e满足条件的a的取值范围.【解答】解：(i)？=x由题：ff (x) wo在(0, +8)上恒成立:即4x2-ax+l20在(0, +8)上恒成立; aa=a2-4x4x10,得，-4waw4；二4x4x1。i3： .g (x)的值域为(3, 4；记 h (x) =f (x) +2x2=ax - inx, m=g (x)；原问题等价于v mw (3, 4,存在唯一的e-4, e,使得h (x0)=m成立;vh (x)二&-工，xg e 4, e： x当al时，卜(x) w0恒成立，h (x

31、)单调递减： e由hqm.二h(巳)二*h (x) min=h (e) =ae- 13,解得04a4工：当ae4时，iv (x) 20恒成立，h (x)单调递增，hg)见m二h( e -。)二ae 一444, 不合题意，舍去：当!a4t h (e) =ae - 1 ； 要满足条件，则ae-lw3；综上所述a的取值范围是0寺。请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.选修41： 几何证明选讲22.如图ab是半圆的直径，c是圆上一点，ch_lab于点h, cd是圆的切线，f是ac 上一点，df=dc,延长df交ab于e.（i ）求证：dech：（h）求证：ad2

32、- df2=ae*ab.【考点】与圆有关的比例线段；相似三角形的性质.【分析】（i）连结 bc,证明achs/xabc, zach=zdfc,可得 dech：（ii）设ad与半圆交于点m,连结bm,证明aeds4amb,可得aeab=daam, 即可证明ad2 - df2=aeab.【解答】证明：（i）连结bc,cd是圆的切线，ac是弦，azdcf=zcba；df=dc, :. ndcf=ndfc, /. ndfc=ncba,又ch_lab, nacb=90。，aaachaabc,，nach=ncba, azach=zdfc, ade/ch：(ii)设ad与半圆交于点m,连结bm,：cd 是圆的切线，,-.dc2=dadm, xvde1ab, zamb=90, aaaedaamb,磬 =4，aeab=daam, da aba da2 - df2=da2 - dc2=da2 - dadm=da (da - dm) =daam=aeab.选修44：坐标系与参数方程23.在直角坐标系xoy中，过点p （2,胃）作倾斜角为a的直线1与曲线c： （x- 1） 2+ （y 乙-2） 2=1相交于不同的两点m, n.