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文档简介
1、正多边形和圆第5页知识精讲正多边形的概念及性质1 .正多边形的定义:各角相等,各边相等的多边形叫做正多边形.2 .正多边形的相关概念:(1)正多边形的中心:我们把一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心;(2)正多边形的半径:外接圆的半径叫做正多边形的半径;(3)正多边形的中心角:正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角;(4)正多边形的边心距:中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距.补充说明:正多边形的性质:(1)正n边形的半径和边心距把正 n边形分成2n个全等的直角三角形;(2)正多边形都是轴对称图形,正 n边形共有n条通过正n边形中心的对称轴;(3)偶数条边的正多边
2、形既是轴对称图形,也是中心对称图形,其中心就是对称中心.正多边形与圆的关系1 .把一个圆n等分,依次连结各个等分点所得到的多边形是这个圆的内接正n边形;这个圆叫这个正n边形的外接圆;经过各等分点作圆的切线,以相邻切线交点为顶点的多边形是这个圆的外切正 n边形.2 .定理:任何一个正多边形都有一个外接圆和一个内切圆;并且这两个圆是同心圆.正多边形有关的计算n -2 1801 .正n边形的每个内角都等于 41 ;n2 .正n边形的每一个外角与中心角相等,等于360-;n1 can = dn cn23 .设正n边形的边长为an,半径为r,边心距为dn ,周长为cn ,面积为sn;则:2,21 21,
3、r =dn an , cn = nan , sn = n d n 42点剖析考点:正多边形的概念、性质及相关计算 重难点:正多边形相关计算.易错点:对正多边形相关的概念混淆不清.题模精讲题模一:正多边形的相关概念例2.1.1下面给出六个命题:各角相等的圆内接多边形是正多边形;各边相等的圆内接多边形是正多边形;正多边形是中心对称图形;各角均为120。的六边形是正六边形;边数相同的正n边形的面积之比等于它们边长的平方比;各边相等的圆外切多边形是正多边形.其中,正确的命题是 .【答案】【解析】错误,反例:矩形各角相等但不是正四边形;正确,边相等则各边所对的圆心角相等,由半径和圆心角可构成个全等的等腰
4、三角形,则多边形的各内角也相等;错误,正奇数边形不是中心对称图形;错误,在正六边形的基础上作任意一组对边的平行线,仍然截出一个六边形,各内角均为,但不是正六边形;正确,相似的性质;错误,只要 使切点与圆心的连线不平分多边形的边长即可.例2.1.2若正多边形的一个外角为60。,则这个正多边形的中心角的度数是()a.30b.60c. 90d.120【答案】b【解析】由于任意多边形的外角和均为3600 ,所以这个正多边形的边数为360=6,所60以正六边形的中心角的度数为 幽 =60。.6例2.1.3正六边形的边心距与边长之比为()a. 石:3b.3: 2c.1:2d.2 : 2【答案】b【解析】此
5、题考查了正多边形和圆的关系.此题难度不大,注意掌握数形结合思想的应用.首先根据题意画出图形,然后设六边形的边长是a,由勾股定理即可求得 oc的长,继而求得答案.如图:设六边形的边长是 a,则半径长也是a;经过正六边形的中心 。作边ab的垂线oc,则 ac= 1ab= 1a 22 .oc= 9a ac2 =a,,正六边形的边心距与边长之比为:ga: a=j3: 2.2故选b.例2.1.4如图,有一个圆 。和两个正六边形 不,t2. ti的6个顶点都在圆周上,丁2的6条边都和圆。相切(我们称ti, t2分别为圆o的内接正六边形和外切正六边形).(1)设ti, t2的边长分别为a, b,圆。的半径为
6、r,求r : a及r : b的值;(2)求正六边形 ti, t2的面积比s: s2的值.【答案】(1) 3: 2(2) 3: 4【解析】(1)连接圆心o和t1的6个顶点可得6个全等的正三角形.所以 r: a=1: 1;连接圆心。和t2相邻的两个顶点,得以圆 。半径为高的正三角形, 所以 r: b=ao : bo=sin60 =显:2;(2) t1: t2 的边长比是 3: 2,所以 s1: s2= (a: b) 2=3: 4.题模二:相关计算例2.2.1 如图,o o是 abc的内切圆,若/ abc=70 , / acb=40 ,则/ boc=:.【答案】125【解析】:。是4abc的内切圆,
7、.ob 平分/ abc , oc 平分/ acb , ./ obc/abc=35 , / ocb/acb=20 , ./ boc=180 - / obc- / ocb=180 - 35 - 20 =125.例2.2.2已知正六边形的边长为 2,则它的内切圆的半径为()a.1b,3c.2d.2 3【答案】b 【解析】 如图,连接oa、ob, og; 六边形abcdef是边长为2的正六边形, . oab是等边三角形, .oa=ab=2 , . og=oa?sin60 =2x _1 = 32边长为2的正六边形的内切圆的半径为v3.例 2.2.3 如图 1、2、3、.、n , m、n 分别超 o的内接
8、正三角形 abc、正方形 abcd、五边形 abcde、.、正n边形abcde. 的边ab、bc上的点,且 bm =cn ,连接om、on .(1)求图 1中/mon的度数;(2)图2中zmon的度数是 ,图 3中/mon的度数是360(3)试探究zmon的度数与正n边形边数n的关系(直接写出答案)(1) 1200; (2) 90, 72; (3)【解析】 解:分别连接 ob、oc , (1 ab=ac j./abc =/acb: oc =ob ,。是 外接 圆的圆 心,co平分/acb ./obc =/ocb =30obm =/ocn =30bm =cn , oc =ob中/mon的度数是7
9、2。zmon=60-=90 ;在(3)中 4(2)同(1)可得/mon的度数是90。;图 3(3)由(1)可知, 2mon=360-=120;在(2)中,3/mon=360=72 .故当 n 时,/mon =36j .5n随堂练习随练2.1 如图,正五边形 abcd时接于。o,则/ cad=度.【答案】36【解析】二五边形abcde是正五边形,ab = bc = cd = de = ea =72 ,1 ./ cad=- x72 =36 .2随练2.2边长为a的正六边形的边心距等于a.b.)c.ad.【解析】 该题考查的是正 多边形与圆.连接oa、ob作om,ab与m;可知aaob是等边三角形,
10、om ab ,在4oam中,由勾股定理得:故选a随练2.3已知。o的周长等于6ncm,则它的内接正六边形 abcdef边长为 cm.【答案】3cm【解析】本题考查圆内的多边形边长计算.。0的周长等于6ncm,,圆的半径r=3,又 . 圆内接正六边形六条边相等,故每条边对的圆心角为60,,圆内接正六边形的边长等于半径,正六边形 abcdef的边长为3 cm.随练2.4 如图,abcd是oo的内接正方形,pqrs是半圆的内接正方形,那么正方形pqrs与正方形abcd的面积之比为【答案】2:5【解析】 随练2.5已知圆内接正方形的面积为 2,求该圆的外切正三角形的外接圆的外切正六边形的面积.【答案】8.3【解析】如图,设ab是圆内接正方形的边长,cd是外切正三角形的边长,ef是外切正六边形的边长,连结 oa、ob、oc、oe . ab是内接正方形的边长,内接正方形面积为2 ,ab=j2, oa=ob,/aob=90,.oa=ob=1. . cd 是外切正三角形的边长,oa_lcd , /aoc=60, .oc=2oa = 2.ef 是外切正六边形的边长,oc _lef , zoef =60 , oe = ef = 2ce ,ce 二oc 二 3d.随练2.6等边三角形的周长为 18,则它的内切圆半径是()a.2 mb.3v3c.3【答案】c【解析】 该题考查的是内切圆与内
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