探究抛物线中的切点三角形

1、 探究抛物线中的“切点三角形” 本文摘要：过圆外一点可以作圆的两条切线，同样过抛物线外一点可以作抛物线的两条切线，这里我们关注两切点坐标，两条切线长，两切点之间的距离以及两切点和抛物线外一点三点构成的三角形面积等问题。本文对这一问题作了深入的研究，并给出了简洁的结论。关键词：抛物线、切点、中点、导数、切点三角形.在一抛物线 外侧有一已知点p(x0,y0)，如图(二)所示，过p点作这条抛物线的两条切线，q1、q2为切点，则称pq1q2为“抛物线的切点三角形”.下面来研究一下这个切点pq1q2.1. 直线q1q2的解析式和线段q1q2的长度；作pmy轴，交q1q2于m，抛物线于n,则.m,n分别是

2、线段的q1q2、pm的中点；切点三角形pq1q2面积s结论：（1）（2）（3）切点pq1q2的面积证明：先看条件 0的成立;这里分两种情况讨论：1. 抛物线 的图象如图1中的甲所示，a0，点p(x0,y0)在抛物线外侧，过点p作pey轴交抛物线于点e，所以e(x0,f(x0),从图象可以看出，f(x0)0,所以f(x0)-y00时，如图1中的乙图中，f(x0)y0,即f(x0)-y00，有 成立；点p(x0,y0)在抛物线外侧 恒成立。对于,则有f(x0)=ax02+bx0+c,对x0求导可得：f(x0)=2ax0+b（1）如图（二）所示，抛物线 外一点p(x0,y0),过p作直线pq1、pq

3、2相切与抛物线于q1、q2，可设该切线为：y-y0=k(x-x0)，与抛物线方程联立得到直线pq与抛物线相切 又令：此时： 点q2(x2,y2)在直线y-y0=k(x-x0)上， (1)例1：如右图(三)抛物线y=-(x+1)(x+7),抛物线外一点p(-5,13),过p点作抛物线的两条切线，pq1,pq2,q1,q2为切点。（a）求直线q1q2解析式.（b）求两切点线段q1q2的长度解：这里：a=-1,b=-8,c=-7,x0=-5,y0=13利用上面的结论可得直线q1q2：（2）已知抛物线 ，p是抛物线外侧一点，如图(四)所示，由p向抛物线作切线pq1,pq2,q1,q2,为切点，连接q1

4、q2，过p点做pmy轴，交抛物线于n，q1q2于m.求证：(a)m是q1,q2的中点；(b)n是pm的中点；证明：（a）pmy轴，n(x0,f(x0),m(x0,ym)pn=y0-f(x0),由前面的结论（1）中的可得：（2）由平面几何可知：在pq1q2中，pm是q1q2的中线，根据三角形中线定理可得：由（a）、（b）可得4pn2=pm2.所以2pn=pm，即n是pm的中点.4. 切点pq1q2的面积例2：抛物线过a(0,3);b(2,4);c(6,-6)三点，p(2,6)是抛物线外侧一点.求抛物线的解析式；过p点作抛物线的切线pq1,pq2,其中q1,q2为切点，求直线q1q2的解析式和切点坐标；切点pq1q2的面积；解：设抛物线为：，过a(0,3);b(2,4);c(6,-6)三点，这里x0=2,y0=6,f(x0)=-2+ ,bx0= 2=3,2c=6直线q1q2:y=(-2+ )x+3+6-6y=- x+3切点坐标满足：切点pq1q2的面积得到：由已知抛物线和外侧一点p(x0,y0)的简单条件下，给出“切点三角形”的研究对象，从而得出诸多数量关系、函数关系和位置关系。象过两切点的直线解析式：，切点pq1q2的面积关系简单，外形工整；再看“切点三角形”pq1q2,的中线pmy轴，点m平分线段q1q2,点n平分线段pm,抛物线平分线段pm，曲线平分直线段；这些