数学建模——最优捕鱼模型

1、一 问题的重述捕鱼业在当今社会中十分重要的行业， 捕鱼量的大小决定着捕鱼的经济效益， 其中捕鱼量与捕鱼时间有着密切关联 所以如何利用数学模型了解捕鱼量与捕鱼 时间之间的关系，是一个具有现实意义的问题现假设在一个鱼塘中投放若干鱼苗，鱼苗尾数随着时间的增长而减少，且相 对减少率为常数；每尾鱼的重量随着时间增长而增加，且由于喂养引起的每尾鱼 重量增加率与鱼的表面积成正比，由于消耗引起的减少率与其重量本身成正比.分 析如下问题：问题一：建立尾数和时间的微分方程并求解；问题二：建立每尾鱼重量和时间的微分方程并求解；问题三：用控制网眼的方法不捕小鱼，从一定时刻开始捕捞，用尾数的相对 减少率表示捕捞能力，分

2、析开始捕鱼的最佳时刻，使得捕获量最大，并建立相关 模型二问题分析1. 针对问题一，根据相对减少率的数学定义，可以建立鱼尾数和时间的微分方程；2. 针对问题二，将鱼体假设为球体，得出鱼的表面积与它重量的关系，使得鱼的 重量完全成为一个关于时间的函数，进一步建立出鱼重量与时间的微分方程；3. 针对问题三，将捕捞行为看作连续的过程，瞬时捕捞量与瞬时捕鱼尾数、每尾 鱼瞬时重量呈正相关关系，瞬时捕鱼尾数与捕捞能力有关，每尾鱼瞬时重量可由 对问题二的解答得出，总捕捞量即为瞬时捕捞量关于时间的积分 三.基本假设1 假设自然因素不会对鱼的尾数产生影响；2 假设在整个捕捞过程中鱼没有繁衍行为；3 假设每尾鱼都均

3、衡生长；4 假设在捕捞过程中鱼的条数连续；5.假设鱼为球体.四符号表示n。鱼塘中最初投放的鱼苗数量t时间n鱼塘内鱼苗尾数与时间的函数r鱼苗尾数的相对减少率V每尾鱼体积S每尾鱼表面积G每尾鱼重量G。每尾鱼初始重量每尾鱼重量密度n(t)t时刻鱼塘内鱼苗尾数k2每尾鱼重量减少率与其重量本身比例系数k每尾鱼重量增加率与鱼表面积比例系数T能获得最大捕捞量的初始时间E捕捞能力W总捕捞量五.模型建立与求解模型一鱼苗尾数的相对减少率为常数r.由相对减少率的定义得 （t）即n(tr-n(t)即 iim t li-rn 即 j(t)解得 n = n0e_rt模型二.假设鱼为球体，体积为V，表面积为S，半径为R，重

4、量为G ,初始重量为Go，鱼的密度为、且每尾鱼的重量随着时间增长而增加，其中由于喂养引起的每尾鱼重量增加率与鱼表面积成正比（比例系数为k1），由于消耗引起的减少率与其重量本身成正比（比例系数为k2).43由VR，S=4 二 R2，GV 得2乓 2G34 :又由于 一=k1S-k2G ,t=0，G=G0 dt-k2te 3所以G|klb +_ k2I模型三.控制网眼不捕小鱼，鱼塘中瞬时鱼尾数用 珊）表示，捕捞能力（e）可以用尾数的相对减少率1 dn n dt表示，从T时刻开始捕捞，使得捕捞量 W能够最大.其中减少量包括自然减少量（即第一模型中的减少量）和捕捞量此时，n（t）=n oe-at-E 门1 dn 1d(n 0e-at)E =-n dtn0e-at=a dt:-at所以，W = Endt= andte-aTT （） T 1+a（1+a）a贝U,在此模型下，捕捞时间越早，捕捞量越大模型四建立在模型三的基础上，捕捞量的大小不仅取决于鱼尾数n（t），还取决于 鱼的重量G .QO即 W = En(t)GdtT-at