2021年中考数学《“四边形”问题的解题策略》复习教学案

1、“四边形问题的解题策略 纵观近几年各地的中考试题，考查四边形的解答题在逐渐发生着变化，一方面考查平行四边形以及特殊平行四边形的判定，另一方面更注重考查角平分线的性质和判定、等腰三角形的性质、三角形的中位线以及勾股定理的综合运用. 为帮助学生总结一些解题模型，到达事半功倍的效果，笔者现将四边形解答题的模型分类归纳如下，与大家一起分享. 一、求证线段相等“角平分线十平行线出等腰三角形模型以及逆用 例1 (2021年北京中考题)如图1，四边形是平行四边形，平分，交的延长线于点，求证:. 分析 此题考查的知识点是平行四边形的性质，两直线平行的性质，等角对等边;而条件恰恰有平行线()和角平分线(平分)，

2、恰好可以得到等腰三角形(). 例2如图2，在平行四边形中，用直尺和圆规作的平分线交于点,连结. (1)求证:四边形为菱形; (2)，相交于点，假设，求的长. 分析 (1)此题的题干以作图的形式给出，十分新颖.条件恰恰有角平分线(为的平分线)+平行线( )的条件，那么可以得到.而此题的难点在于从中找出隐含条件:，从而得到，又，因此得到四边形为平行四边形，再利用菱形的定义得证. (2)利用勾股定理即可求出的长，而，即得解. 例3 (2021年北京中考题)如图3，在中，过点作于点，点在边上，连结， (1)求证:四边形是矩形; (2)假设，求证:平分. 分析 此题考查的知识点有:平行四边形的性质，角平

3、分线的性质，勾股定理的逆定理，矩形的判定. (1)根据平行四边形的性质，可得.又由，根据平行四边形的判定，可得四边形是平行四边形，再由，根据矩形的定义，可得证. (2)根据题意，利用勾股定理求得，那么.又，因此(等腰三角形)，又有(平行线)，可得，根据等腰三角形的判定与性质，可得，根据角平分线的判定，即可得证(等腰三角形+平行线得到角平分线，逆用此模型). 二、求线段长、求面积利用“面积相等求高模型 例4 如图4，四边形中，垂直平分，垂足为点，为四边形外一点，且，. (1)求证:四边形是平行四边形; (2)如果平分，求的长. 分析 (1)利用两组对边分别平行即可得证. (2)首先利用“角平分线

4、+平行线模型，证明为菱形，连结，那么，如图4.利用菱形的面积，求出的长，而，得解. 注 也可以利用的面积，求得的长. 例5 如图5，在中，的平分线交于点, 的平分线交于点，与相交于点，连结. (1)求证:四边形是菱形; (2)假设，求的面积. 分析 (1)利用菱形的定义即可得证. (2)求的面积，关键是求的高.如图6，过点作的高，此题的巧妙之处在于，高既是的高，又是菱形的高，而己知菱形的两条对角线的长，因此可以利用菱形的面积, 求得的长，从而求出的面积. 三、条件中有比值出现利用方程思想求解 例6 如图7 , 中，是边上的中线，分别过点、作、的平行线交于点，交于点，连结. (1)求证:四边形是

5、菱形; (2)假设，求的值. 分析 (1)先利用两组对边分别平行证明四边形是平行四边形，从而得到，而由，又，可得四边形是平行四边形;又利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半证得，从而得证. (2)要求的值，需先构造直角三角形，如图8，过点作于点.而，由(1)可知，.设，那么，在中，根据勾股定理，可求得，利用面积相等求得高，而，从而可解. 例7 如图9，在中，为边上的中线，过点作于点，过点作的平行线与的延长线交于点，连结, . (l)求证:四边形为菱形; (2)假设四边形的面积为,，求的长. 分析 (1)先利用平行四边形的定义证明四边形为平行四边形，从而得到，再利用一组对边平行且相等，证明四边形为平行四边形，又，所以，四边形为菱形.(2)由，即可得比值，因此设，.又菱形的面积为，因此可列方程，解方程即可求得的值.进而求得，的长，再利勾股定理求得即可. 四、有特殊角出现时，求线段长、面积、三角函数利用解直角三角形模型 例8 如图10，在中，为边上一点，为的中点，过点作交的延长线于点，连结. (1)求证:四边形为平行四边形; (2)假设，求平行四边形的面积. 分析 (1)利用一组对边平行且相