2000级高数下册期末试卷答案

1、2000级(一)(ba) lb20010627；.八：；当时，发散，时，收敛，故收敛区间为。设，则有。又，有，当时，有，时，。从而2000级(一)(b) lb200107;；4.；.2001级(下)(a) lb20020629；. 2001级(一)b l20020821c； 三：1：切点，切向量，切线；法平面。2：，四：1.令,则积分与路径无关.2:同lb20000822第六大题。六：1：lb20000822第八大题。2：lb20000822第七大题。 2002级(下)(a)；5.；. 六:1:同00级lb20010627第五大题。七:同01级lb20020629第七大题.2002级(下)(b

2、)； ；.七：作业题30页第二大题第3小题。03级a卷lb20040707一：二3.0. .三1. 解：切点为（，）于是切线方程为法平面方程为2. 解：于是，解得又，则四.投影为：2.解：五1解： . 则积分与路径无关。 于是取路径 l: w.2.解:取 下侧六解：级数发散收敛区间为，设，令七证：单调减少且有下界，故如果则收敛，矛盾且则收敛，收敛03级b卷lb20040823一：a b c d c a 二：1.， 2.， 3.，5.，6.，7.，8.， 4.三：1. 切点，切向量为则切线：，法平面：。2.，四：1.2.投影区域：，；则面积为。五：1.，令，则，积分与路径无关。沿直线积分，。2.

3、补上取下侧，则由高斯公式 又，则原式=。六.1.，则r=1，当时，级数，均发散。收敛区间为。设。2.，则，七：设，则，又，收敛，收敛，故原级数绝对收敛。04级a卷（20050708）一、 c b c a d b二、 1 2 34 5 67 8三、1解：点代入求得切线 ，法平面2解： 四、1解：原式= 2解： 五、1解：，所以积分与路径无关。2解：取下侧 ；， ；。六、计算题 1解 ；收敛，收敛，从而原级数 绝对收敛 。2解：法一：，；法二：，；七、证明题(6分) 证明： 设球面方程为，两球面交线的投影为圆，半径为 ， 故为最大，当时，含在定球面的球面部面积最大。04级b 卷（20050827）

4、一： b d b c d a 二：1：2x-y+2z-9=0； 2：e(dx+dy); 3：2x+y-4=0; 4：5：； 6：； ； 8：三：1：解：将t=1代入得到点为（2，1，0）； ；切线为： ；法平面：。2：解：；。四：1：解：；2：，；五：1：；补：；。2：补取下侧；六：1：；发散；发散。单调下降趋于零，满足狄立克莱收敛定理，收敛，为条件收敛。2：；当时，级数收敛，时，级数发散。x=1时，发散；x=-1时，发散。收敛域为。设，；七： ；设曲面上任一切点为，则法向量可取；切平面为：将点(a,b,c)代入切平面方程，等号成立。证毕。05级a卷（20060707）一、 c b a b d

5、 c二、 1； 2； 3； 4； 5； 6； 7； 8。三、1解： ，2解：设所求的点为，则，又因为与平面垂直，所以，故法线方程为。 四、1作业。2与05级a卷的四2相同。五、1解：，。2解： 六、计算题 1解：因为 ，发散，所以发散；又因为，故且，所以收敛，从而原级数条件收敛 。2解：，所以收敛域为，设，则，；（或）。七、证明：与04级a卷的题七相同。05级b 卷（20060825）一： a b c d d b 二：1. 5； 2. ； 3.（2，-2）； 4. ； 5. ； 6. ； 7. 4； 8. 。三：1. 解： 取又因为平面过点，所以平面方程为，即。2. 解：；同理；故。四：1.

6、解：方程对求导，把代入解得，故切线为： ；法平面为：，即。2. 解：。五：1. 解：。2. 解：，所以积分与路径无关，。六：1. 解：补，取下侧，则；。2. 解：，收敛，收敛，从而原级数为绝对收敛。七：证明：问题即为求在条件下的最值，令 ，则 可解得；故当p时，。2007年7月4日 (20070704) 一、1c 2d 3c 4d 5b 6d二、1. 2 3. 4 5 6. 7. 8.三、1.解：过直线的平面束方程为: (2x-y+z)+l(x+y-z+1)=0, 即(2+l)x+(l-1)y+(1-l)z+=0, 由(2+l, l-1, 1-l)(1, 2,-1)=0解得, 代入平面束即得所

7、求平面为 9x -3y+3z+1=0.2.解：切点为(0,1,2), ,则切向量, 故切线方程为, 法平面为.四、1.解：设,则, .2.解：质量.五、1.解：功,故积分与路径无关.2.解：,.六、1.解：作取上侧的辅助面: ,记s 与s 1所围闭区域为w, 则有：原积分.2.解：(1) ,故.(2) , 令, 得.七、证明：由已知得, ,令,则,级数收敛, 故级数收敛, 即绝对收敛.2007年8月31日 (20070831) 一、1b 2a 3d 4c 5d 6b二、1. 2. 3. 4 5. 6. 7. 8.三、1.解：过点垂直于已知平面的直线为：,代入平面方程得：，,故直线与平面的交点为

8、利用中点公式得所求对称点为.2.解：, , .四、1.解：在点m处,方向向量, .2.解：原积分.五、1.解：功,.2.解：,.六、1.解：作取下侧的辅助面: , 记s与s 1所围闭区域为w, 则有：原积分.2.解：, 级数收敛, 级数收敛, 故原级数绝对收敛.七、证明：(1), , 又当时,级数收敛, 时,级数发散,故级数收敛域为.(2) 令,则, ,.2008年7月1日 一、1d 2c 3a 4a 5a 6b二、1. 2 3. 4 5 6. 7. 8.三、1.解：, .2.解：过直线的平面束方程为: (4x-y+3z-1)+l(x+5y-z+2)=0, 即(4+l)x+(5l-1)y+(3

9、-l)z+(2l-1)=0, 由(4+l, 5l-1, 3-l)(2, -1,5)=0解得 l=3, 代入平面束即得所求平面为 7x +14y+5=0.四、1.解：.2.解：, 质量.五、1.解：作取上侧的辅助面: , 则s 与s 1为所围闭区域w的内侧, 则有：原积分.2.解：记, 则, ,记 l与l1所围闭区域为d, 则有.六、1.解：令,则,当时, , 故级数与级数有相同的敛散性.(1) 当,即时级数收敛, 即原级数绝对收敛.(2) 当时级数发散. ,且, 故原级数收敛, 且为条件收敛.2.解：, , 七、解：设椭圆上的点为(x,y,z), 则引力大小为,(其中k0为引力常数).则问题化

10、为求在条件下的最值点, 令,解方程组得或 在点处, ,在点处, ,故在点p处引力最大, 在点m处引力最小.2008年8月23日 一、1c 2b 3b 4a 5c 6b二、1. 2或 3. 5 6. 7. 8. 4三、1.解: 切点为(0,1,2), 切向量, 切线方程为, 法平面为即.2.解: 令, 则, 有 四、1.解: 由得,故立体w 在xoy面投影域为d：,则立体体积 .2.解: 由, 得, 故曲面在xoy面投影域为d：, 故所求面积.五、1.解：功,故积分与路径无关, 取路径l1: , 则.2.解：作取下侧的辅助面: ,则s 与s 1为所围闭区域w的内侧,则有：原积分.六、1.解：(1

11、), , 又当时,发散, 时,发散, 故级数收敛域为.(2) ,.2.解：, (由得).七、证明：单调减少且有下界(),故,且.若, 则收敛, 与题设矛盾,且,则,故几何级数收敛, 从而级数收敛高等数学b期末试题参考答案与评分标准（090629）一、单项选择(每小题3分，共18分) 1.c 2.b 3.a 4.b 5.a 6.d二、填空(每小题2分，共16分) 1. ， 2. ， 3.， 4. ， 5. 0， 6. 7. 8. 三、计算题(每小题7，共14分)。(没有利用合并扣1分)设切点为，则切平面的法向量， 解得 (1+1) 四、计算题(每小题7，共14分)2.解 。五、计算题(每小题7，

12、共14分)1.解 补曲面 由gauss公式得 2.解 ， 。(2+2)六、计算题(每小题8，共16分)1.解 ，.，2.解 ，由，得 (2+2)则 ，(1+1)七、计算题(8分)解 两直线上任意两点间的距离为记，令，解得所以两直线间的距离为(用其它方法不得分)2009年8月29日 一、1. d 2.b 3.b 4.a 5.b 6.d二、1. 2 3. 4 5 6. 7. 8. 三、1.解: 对曲面,在点m处法向量对曲面,在点m处法向量在点m处切向量, 故切线方程为, 法平面为即.2.解:记, 梯度, 要使最大, 则应有, 即应有 .四、1.解: d：.2.解: 密度函数为, 曲线l：故质量.五

13、、1.解：功,故积分与路径无关, 取路径l1: , l2: , 则.法二：解：功,故积分与路径无关, .2.解：作取下侧的辅助面: ,则s 与s 1为所围闭区域w的内侧,则有：原积分.六、1.解：记, 则当时, 级数收敛, 级数收敛, 故原级数绝对收敛.2.解: (1), 故.(2) , 令, 得.七、证明：在曲面上任一点p(m,b,c)处, 有, 切平面的法向量为,切平面方程为,即.故四面体体积为,即四面体体积为常数.2010年6月27日 一、1. d 2. a 3. a 4. b 5. b 6. d二、1. 2 3. 4 5. 6 7. 8. 三、1.求过两平面,交线且垂直于平面的平面方程

14、.解：过直线的平面束方程为: 即 由 解得将代入平面束即得所求平面为 2. 求曲线在点的切线方程和法平面方程.解: 曲面在点m处法向量曲面在点m处法向量在点m处切向量,曲线的切线方程为: 法平面方程为即.四、1. 设,其中具有二阶连续导数, 求.解: 令, 则, 有 2.设球面及锥面围成的空间区域上分布有质量密度, 已知物体的质量密度与点到球心的距离平方成正比, 且在球面处密度为1, 求物体的质量. 解: 密度函数为： 球面方程为：由已知有 即故质量五、1. 设一质点受变力作用从点沿曲线移动到,求变力所作的功.解：功, , 故曲线积分在xoy面上与路径无关, 2. 设曲线位于第一象限内的一段弧

15、, 其中计算 解：六、1. 求, 其中为曲面上侧.解：作取下侧的辅助面: ,则s 与s 1为所围闭区域w的外侧,原积分2. 把展开成的幂级数.解: (由)七、设偶函数在上具有二阶连续导数, 且证明级数收敛.证明：由已知得为奇函数,且存在正数m使 由泰勒展式有: (为介于0与x之间的常数), 而收敛,故收敛, 即绝对收敛.2010年8月28日 一、1. b 2. a 3. c 4. a 5. b 6. c二、1. 2. 3. 5. 4 6 7. 8. 三、1.求过两平面,交线且垂直于平面的平面方程.解：切向量所求点为2. 求曲线在点的切线方程和法平面方程.解: 四、1. 设,其中具有二阶连续导数

16、, 求.解: 2.设球面及锥面围成的空间区域上分布有质量密度, 已知物体的质量密度与点到球心的距离平方成正比, 且在球面处密度为1, 求物体的质量. 解: 密度函数为： 故质量五、1.设一平面为场, 求变力把质点从点沿不经过y轴的曲线l移动到所作的功.解：功,故积分与路径无关, 取路径l1: , 则.2. 计算曲面积分, 其中为曲面的上侧.解：作取下侧的辅助面: ,则s 与s 1为所围闭区域w的内侧,则有：原积分.六、1. 求, 其中为曲面上侧.解：级数收敛区间为.,.2. 把展开成的幂级数.解: ,七、设正项级数收敛,证明级数收敛.证明：由于级数收敛,故存在正整数n使时从而有 由比较判别法可

17、知级数收敛.2010级高等数学b(下)期末试题a参考答案（20110703）一、1.d 2.a 3.c 4.a 5.b 6.d二、1. ， 2. 3， 3. ， 4. ，5. ， 6.，7. ， 8. 三、计算题(每小题7分，共14分)四、计算题(每小题7分，共14分)五、计算题(每小题8分，共16分)1.解 ， ,得.六、计算题(每小题8分，共16分) 七、证明 所以级数当时收敛；当时发散. 2010级高等数学b期末试题b参考答案（20110828）一、1.a 2.a 3.b 4.b 5.b 6.c二、 1、， 2、， 3、，4、， 5、， 6、， 7、， 8、 三、计算题(每小题7分，共14分)四、计算题(每小题7分，共14分)五、计算题(每小题8分，共16分)2. 解：功,故积分在xoy面上与路径无关, 取折线积分, 则.六、计算题(每小题8分，共16分)1.解 补曲面 由gauss公式得，。2.解 七、2011级高等数学b期末试题a参考答案（20120629）一、单项选择1.c 2.d 3.b 4.a 5.b 6.a二、填空 1. ， 2. ， 3. ， 4. ，5. ， 6.， 7. ， 8. .三、四、五、.2.解 ， ,故积分在xoy面上