2021年湖南省湘西州高考数学一模试卷（理科）含答案解析

1、2021年湖南省湘西州高考数学一模试卷理科一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分在每题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的1集合A=x|y=lgx2+4x12，B=x|3x4，那么AB等于A3，2B3，2C2，4D2，42复数z=的实部为A2B1C1、D03假设有两个分类变量X和Y的22列联表： YX y1 y2 总计 x1 a 10 a+10 x2 c 30 c+30 总计 60 40 100对同一样本，以下数据能说明X与Y有关系的可能性最大的一组为Aa=45，c=15Ba=40，c=20Ca=35，c=25Da=30，c=304函数fx=cosx0的最小正周期为，那么函数f

2、x的图象A可由函数gx=cos2x的图象向左平移个单位而得B可由函数gx=cos2x的图象向右平移个单位而得C可由函数gx=cos2x的图象向左平移个单位而得D可由函数gx=cos2x的图象向右平移个单位而得5执行如图的程序框图，假设输入k的值为3，那么输出S的值为A10B15C18D216在ABC中，A=30，AB=3，AC=2，且+2=0，那么等于A18B9C8D67假设实数x，y满足不等式组且3xa+2y+1的最大值为5，那么a等于A2B1C2D18如图是某几何体的三视图，那么该几何体的体积为A6B9C12D189假设tancos=sinmsin，那么实数m的值为A2BC2D310fx=

3、在区间0，4内任取一个为x，那么不等式log2xlog4x1flog3x+1的概率为ABCD11抛物线C：y2=2pxp0的焦点为F，点Mx0，2x0是抛物线C上一点，圆M与线段MF相交于点A，且被直线x=截得的弦长为|MA|，假设=2，那么|AF|等于AB1C2D312函数fx=aex2x2a，且a1，2，设函数fx在区间0，ln2上的最小值为m，那么m的取值范围是A2，2ln2B2，C2ln2，1D1，二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分.1315的展开式中常数项为14双曲线=1a0，b0的左、右端点分别为A、B两点，点C0， b，假设线段AC的垂直平分线过点B，那么双曲线的离心

4、率为15我国南宋著名数学家秦九韶发现了从三角形三边求三角形面积的“三斜公式，设ABC三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，面积为S，那么“三斜求积公式为假设a2sinC=4sinA，a+c2=12+b2，那么用“三斜求积公式求得ABC的面积为16在长方体ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是边长为的正方形，AA1=3，E是AA1的中点，过C1作C1F平面BDE与平面ABB1A1交于点F，那么CF与平面ABCD所成角的正切值为三、解答题：本大题共5小题，共70分解答写出文字说明、证明过程或演算过程1712分等比数列an的前n项和为Sn，且6Sn=3n+1+anN+1求a的值及数列an的

5、通项公式；2设bn=1anlog3an2an+1，求的前n项和为Tn1812分某重点中学为了解高一年级学生身体发育情况，对全校700名高一年级学生按性别进行分层抽样检查，测得身高单位：cm频数分布表如表1、表2表1：男生身高频数分布表 身高cm160，165165，170170，175175，180180，185185，190 频数2 5 1413 4 2 表2：女生身高频数分布表 身高cm150，155155，160160，165165，170170，175175，180 频数1 7 12 6 3 1 1求该校高一女生的人数；2估计该校学生身高在165，180的概率；3以样本频率为概率，现从

6、高一年级的男生和女生中分别选出1人，设X表示身高在165，180学生的人数，求X的分布列及数学期望1912分在如下图的几何体中，四边形BB1C1C是矩形，BB1平面ABC，A1B1AB，AB=2A1B1，E是AC的中点1求证：A1E平面BB1C1C；2假设AC=BC=2，AB=2BB1=2，求二面角ABA1E的余弦值2012分右焦点为F2c，0的椭圆C： +=1ab0过点1，且椭圆C关于直线x=c对称的图形过坐标原点1求椭圆C的方程；2过点，0作直线l与椭圆C交于E，F两点，线段EF的中点为M，点A是椭圆C的右顶点，求直线MA的斜率k的取值范围2112分函数fx=xalnx，gx=，其中aR1

7、设函数hx=fxgx，求函数hx的单调区间；2假设存在x01，e，使得fx0gx0成立，求a的取值范围选修4-4：坐标系与参数方程选讲2210分在极坐标系中，三点O0，0，A2，B2，1求经过O，A，B的圆C1的极坐标方程；2以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，圆C2的参数方程为是参数，假设圆C1与圆C2外切，求实数a的值选修4-5：不等式选讲23设函数fx=|x+2|x1|1求不等式fx1解集；2假设关于x的不等式fx+4|12m|有解，求实数m的取值范围2021年湖南省湘西州高考数学一模试卷理科参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分在每题给出

8、的四个选项中，只有一个是符合题目要求的1集合A=x|y=lgx2+4x12，B=x|3x4，那么AB等于A3，2B3，2C2，4D2，4【考点】交集及其运算【分析】求对数函数的定义域得出集合A，根据交集的定义写出AB【解答】解：集合A=x|y=lgx2+4x12=x|x2+4x120=x|x6或x2，B=x|3x4，那么AB=x|2x4=2，4应选：C【点评】此题考查了集合的化简与运算问题，是根底题目2复数z=的实部为A2B1C1、D0【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案【解答】解：z=，复数z=的实部为0应选：D【点评】此题考查复数代数形式的乘除运算

9、，考查了复数的根本概念，是根底题3假设有两个分类变量X和Y的22列联表： YX y1 y2 总计 x1 a 10 a+10 x2 c 30 c+30 总计 60 40 100对同一样本，以下数据能说明X与Y有关系的可能性最大的一组为Aa=45，c=15Ba=40，c=20Ca=35，c=25Da=30，c=30【考点】独立性检验的应用【分析】根据题意，a、c相差越大，与相差就越大，由此得出X与Y有关系的可能性越大【解答】解：根据22列联表与独立性检验的应用问题，当与相差越大，X与Y有关系的可能性越大；即a、c相差越大，与相差越大；应选：A【点评】此题考查了独立性检验的应用问题，是根底题目4函数

10、fx=cosx0的最小正周期为，那么函数fx的图象A可由函数gx=cos2x的图象向左平移个单位而得B可由函数gx=cos2x的图象向右平移个单位而得C可由函数gx=cos2x的图象向左平移个单位而得D可由函数gx=cos2x的图象向右平移个单位而得【考点】余弦函数的图象【分析】根据函数fx的最小正周期为，求出解析式，在利用三角函数的平移变换考查也选项即可【解答】解：函数fx=cosx0的最小正周期为，即T=，=2，那么fx=cos2x的图象可有函数gx=cos2x的图象向右平移个单位而得应选：D【点评】此题考查了三角函数的解析式的求法和三角函数的平移变换的运用属于根底题5执行如图的程序框图，

11、假设输入k的值为3，那么输出S的值为A10B15C18D21【考点】程序框图【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的n，S的值，当n=5，S=15时，不满足条件Skn=15，退出循环，输出S的值为15，即可得解【解答】解：模拟程序的运行，可得k=3，n=1，S=1满足条件Skn，执行循环体，n=2，S=3满足条件Skn，执行循环体，n=3，S=6满足条件Skn，执行循环体，n=4，S=10满足条件Skn，执行循环体，n=5，S=15此时，不满足条件Skn=15，退出循环，输出S的值为15应选：B【点评】此题主要考查了循环结构的程序框图，正确判断退出循环的条件是解题的关键，属于根底题6在

12、ABC中，A=30，AB=3，AC=2，且+2=0，那么等于A18B9C8D6【考点】平面向量数量积的运算【分析】首先由求出角B的大小，然后根据直角三角形的性质得到CD，再数量积公式计算可得【解答】解：由题意，如图：因为2sin30=3=AB，所以C=90，因为+2=0，那么AD=2，BD=1，那么BC=，所以tanBCD=，所以BCD=30，所以DCA=30，得到CD=2，所以=22cos150=6应选：D【点评】此题考查了平面图形中向量的数量积的计算；充分利用平面图形的性质是解答的前提7假设实数x，y满足不等式组且3xa+2y+1的最大值为5，那么a等于A2B1C2D1【考点】简单线性规划

13、【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，在可行域中找出最优点，然后求解即可【解答】解：实数x，y满足不等式组，不是的可行域如图：3xa+2y+1=3x+2y+23a的最大值为：5，由可行域可知z=3x+2y+23a，经过A时，z取得最大值，由，可得A1，3可得3+6+23a=5，解得a=2应选：C【点评】此题考查线性规划的简单应用，考查目标函数的最值的求法，考查数形结合以及转化思想的应用8如图是某几何体的三视图，那么该几何体的体积为A6B9C12D18【考点】由三视图求面积、体积【分析】根据几何体的三视图知该几何体是长方体和三棱柱的组合体，结合图中数据求出它的体积即可【解答】解：

14、根据几何体的三视图知，该几何体是上部为长方体，下部为三棱柱的组合体，画出几何体的直观图如下图，根据图中数据，计算其体积为V组合体=V三棱柱+V长方体=应选：C【点评】此题考查了空间几何体三视图的应用问题，也考查了空间想象能力和体积公式的应用问题，是根底题9假设tancos=sinmsin，那么实数m的值为A2BC2D3【考点】三角函数的化简求值【分析】利用“切化弦的思想，在结合二倍角即可求解【解答】解：由tancos=sinmsin，可得：sincos=cossinmsincos，sincos=cossinmsincos，sin2=cos2sin，m=应选：A【点评】此题主要考察了同角三角函数

15、关系式和“切化弦的思想，二倍角公式的应用，属于根本知识的考查10fx=在区间0，4内任取一个为x，那么不等式log2xlog4x1flog3x+1的概率为ABCD【考点】几何概型【分析】先求出不等式log2xlog4x1flog3x+1的解集，再以长度为测度，即可得出结论【解答】解：由题意，log3x+11且log2xlog4x1，或0log3x+11且log2x+2log4x1，解得1x2或x1，原不等式的解集为，2那么所求概率为=应选：B【点评】此题考查概率的计算，考查学生的计算能力，正确求出不等式的解集是关键11抛物线C：y2=2pxp0的焦点为F，点Mx0，2x0是抛物线C上一点，圆M

16、与线段MF相交于点A，且被直线x=截得的弦长为|MA|，假设=2，那么|AF|等于AB1C2D3【考点】抛物线的简单性质【分析】由题意，|MF|=x0+利用圆M与线段MF相交于点A，且被直线x=截得的弦长为|MA|，可得|MA|=2x0，利用=2，求出x0，p，即可求出|AF|【解答】解：由题意，|MF|=x0+圆M与线段MF相交于点A，且被直线x=截得的弦长为|MA|，|MA|=2x0，=2，|MF|=|MA|，x0=p，2p2=8，p=2，|AF|=1应选B【点评】此题考查抛物线的方程与定义，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题12函数fx=aex2x2a，且a1，2，设

17、函数fx在区间0，ln2上的最小值为m，那么m的取值范围是A2，2ln2B2，C2ln2，1D1，【考点】利用导数求闭区间上函数的最值【分析】构造函数ga，根据a的范围，求出fx的最大值，设为Mx，求出Mx的导数，根据函数的单调性求出m的范围即可【解答】解：构造函数ga=ex2a2x是关于a的一次函数，x0，ln2，ex20，即y=ga是减函数，a1，2，fxmax=2ex22x，设Mx=2ex22x，那么Mx=2ex2，x0，ln2，Mx0，那么Mx在0，ln2上递增，Mxmin=M0=2，Mxmax=Mln2=2ln2，m的取值范围是2，2ln2，应选：A【点评】此题考查了一次函数的单调性

18、、利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了转化能力与计算能力，属于难题二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分.13x+315的展开式中常数项为43【考点】二项式系数的性质【分析】15的展开式中通项公式Tk+1=2k，令=0，或1，解得k即可得出【解答】解：15的展开式中通项公式Tk+1=2k，令=0，或1，解得k=0，或2x+315的展开式中常数项=3+=43故答案为：43【点评】此题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于根底题14双曲线=1a0，b0的左、右端点分别为A、B两点，点C0， b，假设线段AC的垂直平分线过点B，那么双曲线的离心率为【考点】双曲线的简单性

19、质【分析】运用平面几何的性质可得ABC为等边三角形，那么b=2a，由a，b，c的关系和离心率公式，计算即可得到所求值【解答】解：由线段AC的垂直平分线过点B，结合对称性可得ABC为等边三角形，那么b=2a，即b=a，c=a，那么e=，故答案为：【点评】此题考查双曲线的离心率的求法，注意运用平面几何的性质，以及双曲线的根本量的关系，考查运算能力，属于根底题15我国南宋著名数学家秦九韶发现了从三角形三边求三角形面积的“三斜公式，设ABC三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，面积为S，那么“三斜求积公式为假设a2sinC=4sinA，a+c2=12+b2，那么用“三斜求积公式求得ABC的面积为

20、【考点】余弦定理；正弦定理【分析】由利用正弦定理可求ac的值，可求a2+c2b2=4，代入“三斜求积公式即可计算得解【解答】解：根据正弦定理：由a2sinC=4sinA，可得：ac=4，由于a+c2=12+b2，可得：a2+c2b2=4，可得： =故答案为：【点评】此题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于根底题16在长方体ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是边长为的正方形，AA1=3，E是AA1的中点，过C1作C1F平面BDE与平面ABB1A1交于点F，那么CF与平面ABCD所成角的正切值为【考点】直线与平面所成的角【分析】连结AC、BD，交于点O，当C1F与EO垂

21、直时，C1F平面BDE，从而FAA1，进而CAF是CF与平面ABCD所成角，由C1A1FEAO，求出AC，由此能求出CF与平面ABCD所成角的正切值【解答】解：连结AC、BD，交于点O，四边形ABCD是正方形，AA1底面ABCD，BD平面ACC1A1，那么当C1F与EO垂直时，C1F平面BDE，F平面ABB1A1，FAA1，CAF是CF与平面ABCD所成角，在矩形ACC1A1中，C1A1FEAO，那么=，A1C1=2AO=AB=2，AE=，A1F=，AF=，tan=CF与平面ABCD所成角的正切值为故答案为：【点评】此题考查线面角的正切值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培

22、养三、解答题：本大题共5小题，共70分解答写出文字说明、证明过程或演算过程1712分2021邵阳二模等比数列an的前n项和为Sn，且6Sn=3n+1+anN+1求a的值及数列an的通项公式；2设bn=1anlog3an2an+1，求的前n项和为Tn【考点】数列的求和；数列递推式【分析】1等比数列an满足6Sn=3n+1+anN+，n=1时，6a1=9+a；n2时，6an=6SnSn1，可得an=3n1，n=1时也成立，于是16=9+a，解得a2由1代入可得bn=1+3n=3n+13n2，因此=利用“裂项求和方法即可得出【解答】解：1等比数列an满足6Sn=3n+1+anN+，n=1时，6a1=

23、9+a；n2时，6an=6SnSn1=3n+1+a3n+a=23nan=3n1，n=1时也成立，16=9+a，解得a=3an=3n12bn=1anlog3an2an+1=1+3n=3n+13n2，=的前n项和为Tn=+=【点评】此题考查了等比数列的定义通项公式、数列递推关系、对数运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题1812分2021邵阳二模某重点中学为了解高一年级学生身体发育情况，对全校700名高一年级学生按性别进行分层抽样检查，测得身高单位：cm频数分布表如表1、表2表1：男生身高频数分布表 身高cm160，165165，170170，175175，180180，185185，19

24、0 频数2 5 1413 4 2 表2：女生身高频数分布表 身高cm150，155155，160160，165165，170170，175175，180 频数1 7 12 6 3 1 1求该校高一女生的人数；2估计该校学生身高在165，180的概率；3以样本频率为概率，现从高一年级的男生和女生中分别选出1人，设X表示身高在165，180学生的人数，求X的分布列及数学期望【考点】离散型随机变量的期望与方差；列举法计算根本领件数及事件发生的概率；离散型随机变量及其分布列【分析】1设高一女学生人数为x，由表1和2可得样本中男女生人数分别为40，30，那么=，解得x2由表1和2可得样本中男女生人数分别

25、为：5+14+13+6+3+1=42样本容量为70可得样本中该校学生身高在165，180的概率=即估计该校学生身高在165，180的概率3由题意可得：X的可能取值为0，1，2由表格可知：女生身高在165，180的概率为男生身高在165，180的概率为即可得出X的分布列与数学期望【解答】解：1设高一女学生人数为x，由表1和2可得样本中男女生人数分别为40，30，那么=，解得x=300因此高一女学生人数为3002由表1和2可得样本中男女生人数分别为：5+14+13+6+3+1=42样本容量为70样本中该校学生身高在165，180的概率=估计该校学生身高在165，180的概率=3由题意可得：X的可能

26、取值为0，1，2由表格可知：女生身高在165，180的概率为男生身高在165，180的概率为PX=0=，PX=1=+=，PX=2=X的分布列为：X012PEX=0+=【点评】此题考查了频率与概率的关系、随机变量的分布列与数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题1912分2021湘西州一模在如下图的几何体中，四边形BB1C1C是矩形，BB1平面ABC，A1B1AB，AB=2A1B1，E是AC的中点1求证：A1E平面BB1C1C；2假设AC=BC=2，AB=2BB1=2，求二面角ABA1E的余弦值【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定【分析】1取AB的中点F，连结EF，A1F，推

27、导出FA1BB1，EFCB，由此能证明平面A1EF平面BB1C1C2连结CF，那么CFAB，以F为原点，FC为x轴，FB为y轴，FA1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角ABA1E的余弦值【解答】证明：1取AB的中点F，连结EF，A1F，AB=2A1B1，BF=A1B1，A1B1AB，FA1BB1，EF是ABC的中位线，EFCB，EFFA1=F，平面A1EF平面BB1C1C解：2连结CF，那么CFAB，以F为原点，FC为x轴，FB为y轴，FA1为z轴，建立空间直角坐标系，那么A0，1，0，A10，0，1，B0，1，0，C，0，0，E，0，=0，1，1，=，0，设平面A1BE的一个

28、法向量为=x，y，z，那么，取y=1，得=，1，1，平面ABA1的法向量=1，0，0，设二面角ABA1E的平面角为，那么cos=二面角ABA1E的余弦值为【点评】此题考查面面的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用2012分2021邵阳二模右焦点为F2c，0的椭圆C： +=1ab0过点1，且椭圆C关于直线x=c对称的图形过坐标原点1求椭圆C的方程；2过点，0作直线l与椭圆C交于E，F两点，线段EF的中点为M，点A是椭圆C的右顶点，求直线MA的斜率k的取值范围【考点】直线与椭圆的位置关系【分析】1由椭圆C： +=1ab0过点1，且椭圆C关于直线x=c对称

29、的图形过坐标原点，求出a，b，c，椭圆方程可求；2线l过点，0且斜率不为零，故可设其方程为x=my+，和椭圆方程联立，把MA的斜率用直线l的斜率表示，由根本不等式求得范围【解答】解：1椭圆C过点1，+=1，1分椭圆C关于直线x=c对称的图形过坐标原点，a=2c，2分，3分由得a=2，b=，椭圆C的方程为2依题意，直线l过点，0且斜率不为零，故可设其方程为x=my+7分联立方程组消去x，并整理得43m2+4y2+12my45=06分设Ex1，y1，Fx2，y2，Mx0，y0，那么y1+y2=，7分y0=，x0=，k=，9分当m=0时，k=0；10分当m0时，k=，|4m+|=4|m|+8，0|k

30、|，k且k011分综合可知直线MA的斜率k的取值范围是：k12分【点评】此题考查了椭圆方程的求法，考查了直线与圆锥曲线间的关系，表达了“设而不求的解题思想方法，是中档题2112分2021邵阳二模函数fx=xalnx，gx=，其中aR1设函数hx=fxgx，求函数hx的单调区间；2假设存在x01，e，使得fx0gx0成立，求a的取值范围【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性【分析】1先求函数hx的定义域，求出函数hx的导数，从而讨论判断函数的单调性；2分类讨论函数的单调性，从而化存在性问题为最值问题，从而解得【解答】解：1函数hx=xalnx+的定义域为0，+，hx=1=，当1+a0，即a1时，hx0，故hx在0，+上是增函数；当1+a0，即a1时，x0，1+a时，hx0；x1+a，+时，hx0；故hx在0，1+a上是减函数，在1+a，+上是增函数；2由1令hx0=fx0gx0，x01，e，当a1时，存在x01，ee=2.718，使得hx00成立可化为h1=1+1+a0，解得，a2；当1a0时，存在x01，ee=2.718，使得hx00成立可化为h1=1+1+a0，解得，a2；