(完整版)利用空间向量解立体几何(完整版)最新（精华版）

1、向量法解立体几何引言立体几何的计算和证明常常涉及到二大问题：一是位置关系， 它主要包括线线垂直， 线面垂直， 线线平行， 线面平行； 二是度量问题， 它主要包括点到线、点到面的距离，线线、线面所成角，面面所成角 等。教材上讲的比较多的主要是用向量证明线线、线面垂直及计算线线角，而如何用向量证明线面平行，计算点到平面的距离、线面角及 面面角的例题不多， 给老师对这部分内容的教学及学生解有关这部分内容的题目造成一定的困难， 下面主要就这几方面问题谈一下自己的想法，起到一个抛砖引玉的作用。基本思路与方法一、基本工具1. 数量积：a ba b cos2. 射影公式：向量 a 在b上的射影为 a bb3

2、. 直线axbyc0 的法向量为a, b ，方向向量为b, a4. 平面的法向量（略） 二、用向量法解空间位置关系1. 平行关系线线平行两线的方向向量平行线面平行线的方向向量与面的法向量垂直面面平行两面的法向量平行2. 垂直关系第 1 页 共 12 页线线垂直（共面与异面）两线的方向向量垂直线面垂直线与面的法向量平行面面垂直两面的法向量垂直三、用向量法解空间距离1. 点点距离点p x1, y1 , z1与q x2 , y2, z2的pq距离为uuur( x2x1)( y2y1)( z2z1)2222. 点线距离求点 p x0 , y0到直线l : axbyc0 的距离：方法：在直线上取一点q

3、x, y ，uuur则向量uuurpq 在法向量na, b上的射影pq n= ax0by0c即为点 p 到l 的距离.3. 点面距离na2b2求点 p x0, y0 到平面 的距离：uuur方法：在平面上去一点q x, y ，得向量 pq ，计算平面的法向量 n ，uuur计算 pq 在 上的射影，即为点 p 到面 的距离.四、用向量法解空间角1. 线线夹角（共面与异面）线线夹角两线的方向向量的夹角或夹角的补角2. 线面夹角求线面夹角的步骤：第 2 页 共 12 页 先求线的方向向量与面的法向量的夹角， 若为锐角角即可， 若为钝角，则取其补角；再求其余角，即是线面的夹角.3. 面面夹角（二面角

4、）若两面的法向量一进一出，则二面角等于两法向量的夹角；法向量同进同出，则二面角等于法向量的夹角的补角.实例分析一、运用法向量求空间角向量法求空间两条异面直线 a, b 所成角， 只要在两条异面直线uuuruuuruuur uuura, b上各任取一个向量aa 和bb ，则角=或 - ，因为uuuruuuruuuruuur是锐角，所以 cos=aa bb ,不需要用法向量。aa bb 1、运用法向量求直线和平面所成角ar设平面的法向量为 n =（ x, y, 1) ，则直n线 ab和平面所成的角的正弦值为sin = cos(uuurruuur- ) = |cos| =ab ? nuuurrab

5、? n2、运用法向量求二面角设二面角的两个面的法向量为ur uur n1 ,n2ur uur，则或 -是所求ur uur角。这时要借助图形来判断所求角为锐角还是钝角，来决定第 3 页 共 12 页是所求，还是 -是所求角。二、运用法向量求空间距离1、求两条异面直线间的距离r设异面直线 a、b 的公共法向量为 nr n(x, y, z) ，在 a、b 上任取一点 a、b，则异面直线 a、b 的距离d =ab cosuuurr=| ab ? n |baar| n |略证：如图， ef为 a、b 的公垂线段， a 为过 f 与 a 平行的直线， /在 a、b 上任取一点 a、b，过 a 作 aaef

6、，交 a 于 a ，uuuurruuur r则 aa?/ n ，所以 baa =（或其补角）|*uuurr异面直线 a、b 的距离 d =abcosbaa =ab? n |r| n |n其中， rr的坐标可利用 a、b 上的任一向量r r a,b（或图中的uuur uuurae , bf ），及n 的定义得rrrrnan ? a0rrrrr解方程组可得 n 。nbn ? b02、求点到面的距离求 a 点到平面的距离，设平面的法向量法为uuurrrn( x,y,1) ，在内任取一点 b，则 a点到平面的距离为d =| ab? n |r 的坐标由 r 与r，nn| n |平面内的两个不共线向量的垂

7、直关系， 得到方程组（类似于前面所第 4 页 共 12 页r述,若方程组无解， 则法向量与 xoy平面平行，此时可改设 n(1,y,0) ，下同）。3、求直线到与直线平行的平面的距离求直线 a 到平面的距离，设平面的法向量法为rn(x, y,1) ，在直线 a 上任取一点 a，在平面内任取一点 b，则直线 a 到平面的uuurrr距离 d =| ab? n | n |4、求两平行平面的距离r设两个平行设平面、 的公共法向量法为 n(x, y,1) ，在平面、uuurr内各任取一点 a、b，则平面到平面的距离 d =|三、证明线面、面面的平行、垂直关系ab ? n |r| n |ur uur设平

8、面外的直线 a 和平面、 ，两个面、 的法向量为 n1,n2 ，则ura/an1uruuruuraa/n1uruur/n1 / n2n1n2四、应用举例：例 1：如右下图 , 在长方体 abcda1b1c1d1 中, 已知 ab= 4, ad =3, aa1= 2. e 、f 分别是线段 ab、bc上的点，且 eb= fb=1.(1) 求二面角 c de c1 的正切值 ;(2) 求直线 ec1 与 fd1 所成的余弦值 .uur uuur uuur解：（i ）以 a 为原点， ab, ad , aa1 分别为 x 轴， y 轴,z 轴的正向建立空间直角坐标系，则 d(0,3,0) 、d1(0

9、,3,2)、e(3,0,0)、f(4,1,0)、第 5 页 共 12 页c1(4,3,2)uuuruuuruuur于是， der(3,3,0), ec1(1,3,2), fd1( 4,2,2)设法向量 nruuur( x, y, 2) 与平面 c1de垂直，则有nderuuurnec1r3x3y0x3y2 z0xy1n(1,1, 2),uuurq 向量 aa1(0, 0, 2) 与平面 cde 垂直 ,ruuurn与 aa1所成的角为二面角ruuurcdec1的平面角q cosurn ?aa1uuuur1010226| n |aa1 |11400432tan2（ii ）设 ec1 与 fd1

10、所成角为，则uuuruuurcosec1 ? fd1uuuuruuur1( 4)32222111| ec| | fd|123222( 4) 22222140例 2：如图，已知四棱锥 p-abcd，底面 abcd是菱形， dab=60， pd平面 abcd， pd=ad，点 e 为 ab中点，点 f 为 pd中点。（1） 证明平面 ped平面 pab；0（2） 求二面角 p-ab-f 的平面角的余弦值证明：（1）面 abcd是菱形， dab=60， abd是等边三角形，又 e 是 ab中点，连结 bd000 edb=30， bdc=60， edc=90，如图建立坐标系 d-ecp，设 ad=ab

11、=，1则 pf=fd=12， ed= 3 ，2 p（ 0，0，1），e（ 32，0， 0）， b（ 32， 1 ， 0）2uuur pb =（3 ， 122uuur，-1 ）， pe = （3 ， 0，-1 ），2第 6 页 共 12 页uuur平面 ped的一个法向量为 dcr量为 n =（ x, y, 1)=（0， 1， 0） ，设平面 pab的法向ruuurnpb( x, y,1) ?(313,1)0x12y10x由ruuur22223npe( x, y,1) ?(3 ,0,1)03 x10y0r n =（222 , 0, 1)3uuurruuurr dc n =0 即 dc n平面 p

12、ed平面 pabr（ 2）解：由（ 1）知：平面 pab的法向量为 n =（rfab的法向量为 n 1=（x, y, -1)，2, 0, 1),设平面3由（ 1）知： f（0，0，1uuur）， fb =（23 ， 1 ，-221uur）， fe =（23 ， 0，2- 1 ）， 2由ruuur(x, y,1) ?(3 11 )03 x1 y101n1fb,222222xruuur 3n1fe(x, y,1) ?(3131,0,)0x0y0r n 1=（ -22221, 0,- 1)3rr二面角 p-ab-f 的平面角的余弦值cos = |cos|rr=n ? n157 rrn ? n114例

13、3：在棱长为 4的正方体 abcd-a1b1c1d1中，o是正方形 a1b1c1d1的中第 7 页 共 12 页心，点 p在棱cc1上，且 cc1=4cp.( ) 求直线ap与平面 bcc1b1所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）；( ) 设o点在平面 d1ap上的射影是 h，求证： d1hap； ( ) 求点 p到平面 abd1的距离 .解: ( ) 如图建立坐标系 d-acd1,棱长为 4 a（ 4，0， 0）， b（ 4，4，0）， p（ 0，4，1）uuur apuuur= (-4, 4, 1) ,显然 dc=（ 0， 4，0）为平面bcc1b1的一个法向量uuur直线 ap与平面

14、 bcc1b1所成的角的正弦值sin = |cos|=1643342421 ?4233为锐角，直线 ap与平面 bcc1b1所成的角为 arcsinr()设平面abd1的法向量为 n =（x, y, 1)，4 3333uuur ab=（0，4， 0），uuuurad1 =（ -4 ， 0，4）ruuurruuuury0r由n ab ， n ad1得4x40 n =（ 1, 0, 1)，点p到平面 abd1的距离 d =uuurrap ? n32rn2例 4：在长、宽、高分别为2，2， 3 的长方体 abcd-a1b1c1d1 中， o是底面中心，求 a1 o与 b1c的距离。第 8 页 共 1

15、2 页解：如图，建立坐标系 d-acd1，则 o（1，1，0），a1（ 2，2，3）， c（ 0，2，0）d1c 1a 1b 1uuur a1o(1,1,3)uuur b1c( 2,0,3)ruuuura1b1(0,2,0)dc设 a1o与 b1c的公共法向量为 nruuurna1o( x, y,1) ?(1,1,3)0xy30ruuur(x, y,1) ，则oabx32nb1c( x, y,1) ?(2,0,3)02 x30y32(r33 n,1)22 a 1o与 b1c的距离为d =|uuuurr a1b1 ? n |0,2,0 ?3 3,12 233 22r| n |3 23 21111

16、2212例 5：在棱长为 1 的正方体 abcd-a1b1c1d1 中， e、f 分别是 b1c1、c1d1的中点，求 a1 到面 bdfe的距离。解：如图，建立坐标系 d-acd1，则 b（1， 1， 0）， a1（ 1， 0，1），e（ 12，1， 1）uuuruuur1uuur bd( 1,1,0)be(,0,1)2a1b(0,1,1)d1fc1r设面 bdfe的法向量为 n( x, y,1) ，则a 1b1eruuur( x,y,1) ? ( 1,1,0)0xy0nbdx2ruuur( x, y,1) ? (1 ,0,1)01 x10y2dcnber n(2,2,1)22abuuurr

17、 a 1到面 bdfe的距离为 d =| a1b ? n |0,1, 1? 2,2,1|3|1r| n |222 213第 9 页 共 12 页五、课后练习 :1、如图, 已知正四棱柱 abcd-a1b1c1d1, ab=1,aa 1=2, 点 e 为 cc1 中点,点 f 为 bd1 中点.（ 1） 证明 ef 为 bd1 与 cc1 的公垂线 ;（ 2）求点 d1 到面 bde的距离 .a1d1b1c12、已知正方形 abcd，边长为 1，过 d作 pd平面 abcd，且 pd=1， e、f 分别是 ab和 bc的中点，（ 1）求 d 到平面 pef的距离；（ 2）求直线 ac到平面 pef的距离第 10 页 共 12