【知识】五年级下册知识点汇总(数学)（精华版）

1、精品word学习资料可编辑五年级下册学问点汇总（数学）目录（按住 ctrl并单击鼠标直接转到相应单元）第一单元 图形的变换 .1其次单元 因数与倍数 .3第三单元 长方体和正方体 .8第四单元 分数的意义和性质 .14第五单元 分数的加法和减法（简略，详细详见另文“分数加减法常见题型解析”）24第六单元 统计 .25第七单元 数学广角 .27第一单元 图形的变换1， 图形的变换：本单元所说的“图形的变换”包括图形的平移，对称和旋转三种；2， 对应点：图形中的某一点通过变换后形成的新的点，叫做这点的对应点；如三角形abc关于直线 a 的对称图形是三角形a b c，其中 a 点的对应点是 a，以此

2、类推；3， 轴对称图形： 假如一个图形沿着一条直线对折后左右两侧能够完全重合，那么这个图形就是轴对称图形；这条直线就是这个轴对称图形的一条对称轴；4， 常见轴对称图形及其对称轴的数量：常见的对称图形有：正方形（4 条），长方形（ 2 条），等腰三角形（ 1 条），等边三角形（3 条），正五边形和五角星（ 5 条），圆形（很多条） ；5， 汉字，字母及其他常见图形中的轴对称图形： 除了我们所学过的规章的多边形外，仍有许多图形也是轴对称图形，如某些汉字，字母和特殊的图形；留意它们的对称轴也可以是横着的或是倾斜的，但只要满意轴对称图形的条件，就是轴对称图形；6， 轴对称图形的特点：轴对称图形中，对应

3、点到对称轴的距离相等；也就是说，一对对应点（如a 和 a）到对称轴所作的垂直线段的长度是相等的；7， 作对称图形的方法： 我们可以利用轴对称图形的特点来作一个图形的对称图形；如要作四边形 abcd关于直线 a 的对称图形，步骤如下：（1） 选取关键点由于“两点可以确定一条直线” ，四边形 abcd 只需要四个顶点就能确定，所以挑选四个顶点 abcd 作为作图的关键点；一般来说，多边形的关键点是其顶点，其他图形的关键点是线段的交点；（2） 作关键点关于对称轴的对称点（对应点）由于对称图形 a b cd中四对对应点到对称轴（直线 a）的距离都分别相等， 可以分别作abcd四点到直线a 的垂线段，再

4、分别延长一倍，得到的点就是abcd的对应点名师归纳总结欢迎下载精品word学习资料可编辑a b c d；（3） 连结相应的对应点对比原图形中的关键点，将对称图形中的对应点分别连结，形成对称图形四边形a b c d；8， 旋转：一个物体围着某一点或轴运动的方式叫做旋转；如钟面中，时针，分针，秒针都围着同一个中心旋转；又如风车，电风扇的叶片围着中心轴旋转；9， 钟面指针旋转问题：钟面被平均分为12 个点钟，因此每两个点钟之间的角度是 360 12 30；如指针（时针，分针或秒针）从3 点绕钟面中心 o点顺时针旋转 60到 5 点，从 5 点绕 o点顺时针旋转 120 到 9 点；而逆时针旋转和顺时

5、针旋转类似，同一结果如方法不同那么角度相加得 360，如顺时针旋转90相当于逆时针旋转270，逆时针旋转150相当于顺时针旋转210结合相应的钟面时间，可以考察不同指针的变化；如从4:30到5:30 ，时针绕 o点顺时针旋转了 30，分针绕 o点顺时针旋转了 360；10，作旋转图形的方法：要作一个图形关于某点（旋转中心）旋转一 定角度后的图形， 相当于有如干个指向每个关键点的指针同时进行旋转后的结果；如要作四边形abcd围着 o点顺时针旋转 90后的图形，就作图步骤如下：（1） 选取关键点由于“两点可以确定一条直线”，四边形 abcd只需要四个顶点就能确定，所以挑选四个顶点abcd作为作图的

6、关键点；一般来说， 多边形的关键点是其顶点，其他图形的关键点是线段的交点；（2） 连结关键点和对称中心，形成“指针”，旋转后确定各关键点的对应点由于旋转前后图形中四个关键点到对称中心的距离都不变，可以分别 连结 abcd四点和对称中心，再分别绕o点进行旋转，得到的点就是abcd 的对应点 a b cd；留意，需要挑选其中一个“指针”形成的夹角，标上角度，以表示整个图形的旋转角度；（3） 连结相应的对应点对比原图形中的关键点， 将对称图形中的对应点分别连结，形成对称图形四边形 a b c d；11，旋转“元件“与旋转角度利用旋转可以作出很多漂亮的图形；由基本图形 “元件” 通过旋转形成中心对称图

7、形时， 要留意旋转角度的确定（转的角度360单元件个数）和旋转“元件”的多样性；名师归纳总结欢迎下载精品word学习资料可编辑如紫荆花，有 5 个花瓣，旋转角度是360 5 72，既可以看成是由一个花瓣旋转而成的，也可以看成是以是 72转 5 次，也可以是，甚至是旋转而成的；旋转角度和次数可144， 216， 288甚至是 360转 4，3，2 次，等等；再如，既可以看成是由旋转 360 8 45或 135， 225， 315等，也可以看成是12，围着图形中心旋转轴对称与剪纸45或其倍数如干次形成的；元件不止一种；剪纸技巧中常运用对折的手法剪出轴对称图形，我们也可以依据折痕（对称轴）的先后次序

8、推导出裁剪前图形与绽开后图形的联系；例题，课本p9 第 5 题：答案就是第一行中间的那个；其它的怎样剪成？自己尝试吧！13，设计镶嵌图案参考课本 p11，可以利用可平铺图形进行改造，设计出其它也可以平铺的不规章图形；原理：拆东补西， 在有限范畴内确定不能铺满， 但在数学抱负的无限状态下可以“平铺”；其次单元 因数与倍数1， 因数与倍数“因数”与“倍数”是一对相互的概念，是在整数乘法或除法算式中两个整数之间的关系；留意： 为了便利， 在讨论因数和倍数的时候， 我们所说的数指的是整数 （一般不包括 0）；例如： 2 6 12，我们就可以说， 12 是 2 和 6 的倍数， 2 和 6 是 12 的

9、因数；24 3 8，我们就可以说， 24 是 3 和 8 的倍数， 3 和 8 是 24 的因数；概念辨析及要点：（1） 倍数与“倍”倍数是与因数相对应的概念，是在整数乘法算式中才有的概念，而“倍” 是乘法算式当中的概念，只要有乘法算式，积就是其中一个因数的如干“倍”（另一个因数一般要大于等于 1）；名师归纳总结欢迎下载精品word学习资料可编辑例如： 3.2 5 16，我们可以说 16 是 3.2 的 5 倍，或者说 16 是 5 的 3.2 倍， 但不能说16 是 3.2 或 5 的倍数！（2） 0 是任何数的倍数吗？由于 0 乘以任何数（包括 0 本身）都得 0，那么是否可以说 0 是任

10、何整数的倍数呢？上面已经说到了，为了便利讨论，简化问题，在讨论因数和倍数问题的时候，一般不包括0， 也就是说，这时候0 已经被排除在外，不考虑了；类似“除数不能是0”的情形；2， 一个数的因数一个数的因数中，最小的是1，最大的是它本身，由于1 乘以任何数本身等于它本身；因此，一个数的因数的个数是有限的；一个数的因数的求法：以 18 为例（1） 乘法算式法：将一个数写成两个整数相乘的形式；18 1 18,18 2 9,18 36，因此 18 的因数有 1,2,3,6,9,18这 6 个；（2） 分解质因数法（详见后面“分解质因数”说明）： 18 2 3 3因此， 182（ 3 3） 29183（

11、 2 3） 36将 18 的全部质因数及它们的积的形式从小到大排列，就能求出全部的因数了； 当然，1 和 18 本身也是 18 的因数，不要遗忘掉；方法比较： 乘法算式法比较简洁懂得，分解因数法把握后求因数比较全面，各有千秋， 关键都是要对数字比较明白，培育数感；这需要肯定的练习；一个数的因数的表示方法：（1） 集合圈（韦恩图）将全部因数写在一个椭圆形或圆形的集合圈内；（2） 集合用大括号的形式列出全部因数；如18的因数 1,2,3,6,9,18（3） 简记（常用于草稿）用一条横线将相乘积是18 的两个数分开，简洁记录；如留意：如 36，49，81 等平方数，由于它们可以由两个相同的数相乘得来

12、，因此它们的因数不是一对一对显现的（因数个数是奇数） ；平方数： 1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289,324,361,400，3， 一个数的倍数一个数的倍数中，最小的是它本身（即它的1 倍），没有最大的倍数；因此，一个数的倍数的个数是无限的；一个数的倍数的求法：以 12 为例将 12 分别乘以除 0 以外的自然数1,2,3 ，可以得到 12 的倍数12 1 12,12 2 24,12 3 36, ，因此 12 的倍数有 12,24,36,48，一个数的倍数的表示方法：（1） 集合圈（韦恩图）将全部因数写在一个椭圆形或圆

13、形的集合圈内；（2） 集合用大括号的形式列出全部倍数；如12的倍数 12,24,36， 留意： 在一个数的全部倍数中，最小的是它本身， 没有最大的倍数，因此表示一个数的倍数时，一般都要用小省略号“”表示个数是无限的（除非说明白所要求的倍数的范畴）；附：“倍数的范畴”由于一个数的倍数的个数是无限的，所以在求一个数的倍数时， 常会要求写出这个数在名师归纳总结欢迎下载精品word学习资料可编辑肯定范畴内的倍数即可；如24 的倍数（ 100 以内）是 24,48,72,96；请比较以下两题，体会“以内”和“包含”的用法 50 以内 10 的倍数有： 10，20，30，40 50 以内（含 50） 10

14、 的倍数有： 10，20，30，40， 50 4， 因数与倍数的关系（1） 一个数的最大因数和最小倍数都是它本身（2） 一个数，是它全部因数的倍数（3） 一个数，是它全部倍数的因数（4） 一个数，几个它的倍数的和仍旧是它的倍数（5） “含有因数 3”也可以说成“是3 的倍数”，仍可以说成是“可以被3 整除”（6） 一个数， 是两个数乘积的倍数， 那么它分别是这两个数的倍数（如 84 是 2 和 3 的倍数， 那么 84 也会是 2 3 6 的倍数，再如15 的倍数确定也是 3 和 5 的倍数）（7） 1 是任何非 0 整数的因数，因数只含有1 的数就是 1 本身5， 完全数与相亲数完全数： 假

15、如一个非 0 整数除去它本身之外的全部因数之和正好是它本身，那么这样的数叫做完全数；如 6 的因数有1,2,3,6,除去6以外的因数之和1 2 3 6 ；再如 28 的因数有1,2,4,7,14,28，除去 28 以外的因数之和 1 2 4 7 1428；此外仍有 496，8128 等相亲数：假如有两个非 0 整数，其中一个数除去它本身之外的全部因数之和正好是另一个数，另一个数除去它本身之外的全部因数之和也正好是第一个数，那么这样的两个数叫做相亲数；如 220 和 284 是最小的一对相亲数； 220 的因数有 1,2,4,5,10,11,20,22,44,55,110,220而 1 2 4

16、5 10 11 2022 4455 110 284，而 284 的因数有 1,2,4,71，142，284，而 1 2 4 71 142 220；6， 数字倍数的特点（快速判定方法）（1） 2 的倍数个位上是 0,2,4,6,8的数都是 2 的倍数； 如 24,308,790都是 2 的倍数；名师归纳总结欢迎下载精品word学习资料可编辑自然数中，是 2 的倍数的数叫做偶数（0 也是偶数） ，不是 2 的倍数的数叫做奇j 数； 0名师归纳总结欢迎下载精品word学习资料可编辑是自然数中最小的偶数，2 是非 0 自然数中最小的偶数，1 是自然书中最小的奇数；由于自然数的个数是无限的，因此没有最大

17、的偶数或奇数；（2） 5 的倍数个位上是 0 或 5 的数，是 5 的倍数； 如 25， 980,7065 都是 5 的倍数；既是 2 的倍数，又是 5 的倍数，这样的数个位上只可能是0；（3） 3 的倍数一个数各位上的数的和是3 的倍数，这个数就是3 的倍数； 如 12（ 12 3） ,741 （ 74 1 12,1 2 3） ,3078 （ 3 78 18,1 8 9）都是 3 的倍数；快速判定方法：由于3，6，9 本身都是 3 的倍数，而任何数加上0 仍是本身，因此只要运算其他数字的和就可以了，此外2 和 7，5 和 4，1 和 8 搭配都是 9，也可以不用算；要判 断算出的和是否是3

18、的倍数，可以连续用这种方法；如判定94835027 是不是 3 的倍数， 9，3，0 不看， 4，5，2，7 不看，得 8，不是 3 的倍数；既是 2 和 5 的倍数，又是 3 的倍数，就肯定是2 35 30 的倍数，即个位要是0 而且能被 3 整除的数；（4） 9 的倍数名师归纳总结欢迎下载精品word学习资料可编辑一个数各位上的数的和是9 的倍数，这个数就是9 的倍数； 如 27（ 27 9），126（ 12 6 9）， 8073 （8 0 7 3 18,1 8 9）都是 9 的倍数；原理证明： 设一个两位数十位和个位上的数字是a 和 b，那么它的数值大小是a10 b， 而 a 10 b

19、9a a b， 9a 肯定是 9 的倍数，只要 a b 是 9 的倍数，那么这个数就是9 的倍数了，因此两位数十位和个位数字之和是9 的倍数，这个数就是9 的倍数；以此类推， 请自己证明三位数，四位数等情形；快速判定方法： 由于 9 本身是 9 的倍数， 而任何数加上 0 仍是本身， 因此只要运算其他数字的和就可以了，此外3 和 6，2 和 7，5 和 4，1 和 8 搭配都是 9，也可以不用算；要判定算出的和是否是9 的倍数，可以连续用这种方法； 如判定 3518264702889 是不是 9 的倍数， 9，0 不看， 4 和 5，2 和 7，3 和 6，1 和 8 两两不看，剩下 2，8，

20、8 加起来是 18， 18 中 18 9，是 9 的倍数，所以刚才那个数就是9 的倍数；（5） 4 的倍数后两位能被 4 整除的数，是 4 的倍数； 如 224， 732， 84908 等；快速判定方法：100 4 25，因此百位及更高位的数字都不用看，而20 4 5，因此被 20 整除的部分也不用看；可以先看后两位数字，然后除以20，剩下的余数再看能否被4 整除；如判定289042762 是不是 4 的倍数，直接看后两位62，再除以 20，余 2，不是 4 的倍数；（6） 6 的倍数同时是 2 和 3 的倍数的数，是 6 的倍数； 如 324， 6744,75048 等快速判定方法：先看个位

21、是否是偶数，再看是否是3 的倍数；（7） 8 的倍数百位上是奇数， 后两位加 4（或百位上是偶数， 后两位） 能被 8 整除的数， 是 8 的倍数；如 648,952,3336等快速判定方法： 1000 8 125，因此千位及更高位的数字都不用看，而200 8 25， 因此被 200 整除的部分也不用看， 又有 40 8 5，因此可以先看后三位数字， 然后除以 200， 剩下的余数再除以40，再看余数能否被8 整除；如判定 234242784 是不是 8 的倍数，直接 看后三位 784，再除以 200，余 184，再除以 40，余 24，是 8 的倍数；也可以先除以 2，然后再看得数是否是4

22、的倍数；（8） 7 的倍数7 的倍数不好找，不用硬记，可以除以7 看能否整除；（9） 其它数的倍数常考的一般是 2，3，5，6， 9，10，15 等的倍数（同时是2 和 5 的倍数的数就是 10 的倍数， 同时是 3 和 5 的倍数的数就是 15 的倍数），其它的如 11，13，17 的倍数都不用硬记， 可以用与 7 类似的方法，分别除以这些数看能否整除就可以了；平常在做运算题的时候留个心眼，看看数字相乘的得数， 把一些好玩好玩的记一下 （如37 9 333 等），有助于培育对数字的感觉，对提高运算才能是有帮忙的，有爱好的同学可以看看我写的两位数乘法口算方法的文章；7， 偶数与奇数自然数中，是

23、 2 的倍数的数叫做偶数（0 也是偶数），不是 2 的倍数的数叫做奇数；也就是说，非 0 偶数都含有因数2，奇数都不含有因数2；因此，偶数与奇数有以下性质：（1） 偶数偶数偶数 偶数奇数奇数 奇数奇数偶数偶数偶数偶数 偶数奇数奇数 奇数奇数偶数口诀：奇偶相加减，同性得偶数，异性得奇数；（2） 偶数偶数偶数 偶数奇数偶数 奇数奇数奇数名师归纳总结欢迎下载精品word学习资料可编辑口诀：奇偶相乘，有偶得偶，全奇得奇；例题：把 36 个小球放在 13 个盘子里，至少有一个盘子里放的是偶数，对吗？解答：利用“反证法” ，假设 13 个盘子里放的都是奇数个小球，那么奇数加奇数得偶数，12个盘子两两相加得

24、偶数，最终一个盘子里放的是奇数，相加确定也是奇数，不行能是36；因此“把 36 个小球放在 13 个盘子里，至少有一个盘子里放的是偶数”这句话是对的！8， 质数与合数在非 0 自然数中，依据因数个数的多少，分为1，质数和合数； （以下所说的数，都是非 0 自然数，由于谈及“因数”或“倍数”时都必需是非0 整数）一个数，假如只有1 和它本身两个因数，这样的数叫做质数（或素数）；如 2,3,5,7都是质数；一个数，假如除了 1 和它本身仍有别的因数，这样的数叫做合数；如4,6,15,49都是合数；1 既不是质数，也不是合数；9， 质数与合数相关学问（1） 100 以内的质数有： 2,3,5,7,1

25、1,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97；这些数必需记住；（2） 最小的质数是 2，既是偶数又是质数（偶质数）的也只有2；（3） 最小的合数是 4，既是奇数又是合数（奇合数）的最小的是9， 20 以内的仍有 15；（4） 连续的两个数是质数的只有2 和 3；（5） 20 以内的数中，连续三个数是合数的有8,9,10和 14,15,16 ；（6） 20 以内的数中，加上2 仍是质数的质数有3,5,11,17；10，分解质因数分解质因数就是将一个合数分解成如干个质数相乘的形式；如 18 23 3，每个质数都是这个合数

26、的因数，因此叫做“质因数”；常用的表示方法：可以用乘法算式法，也可以用连线分解法，我举荐的是“短除法”；在后面学习最大公因数和最小公倍数时，使用短除法特别简洁；有空多练习吧；11，哥德巴赫猜想德国数学家哥德巴赫最先提出： “全部大于 2 的偶数，都可以表示为两个质数的和”，这就是“哥德巴赫猜想” ，被称为“数学王冠上的明珠”；中国数学家陈景润于1966 年证明：“任何充分大的偶数都是一个质数与一个自然数之和，而后者可表示为两个质数的乘积；”通常这个结果表示为“1+2”；这是目前解决“哥德巴赫猜想”问题的正确结果；我们在平常的学习中，也可以练习将一个大于2 的偶数表示成两个质数的和，以提高自己对

27、质数的熟识程度；如： 12 5 7， 18 5 137 11， 20 713， 24 5 19 7 17 11 13；名师归纳总结欢迎下载精品word学习资料可编辑有些数仍可以表示成三个质数的和，这时要留意加数的奇偶，留意2 是唯独的偶质数；如： 12 2 5 5 2 3 7， 18 25 11， 23 3 7 13 55 135 7 11；第三单元 长方体和正方体1， 长方体，正方体是立体外形，长方形，正方形是平面图形，要区分开来；它们都是几何图形；生活中有很多物体的外形可以近似地看成是长方体或正方体；2， 长方体（1） 定义：长方体是由6 个长方形围成的立体图形；特殊情形下，可以有2个相对

28、的面是正方形；（2） 特点：在一个长方体中，相对的面完全相同，相对的棱长度相等；（3） 长，宽，高：相交于一个顶点的三条棱（的长度）分别叫做长方体的长，宽，高；长，宽，高各有4 条，分别相互平行且相等；分别两两垂直；3， 正方体（1） 定义：正方体是由6 个完全相同 的正方形围成的立体图形；（2） 特点：在一个正方体中，6 个面完全相同， 12 条棱长度相等；4， 正方体与长方体的联系正方体可以看成是长，宽，高都相等的长方体；其它异同点见下表：留意：（1）当长方体有两个相对的面是正方形时，另外4 个面就肯定是完全相同的长方形；因此，长方体最多有8 条棱可以相等；名师归纳总结欢迎下载精品word

29、学习资料可编辑5， 长方体与正方体的棱长总和（2）对于长方体的公式（面积公式，体积公式等），都可以使其中的长，宽，高相等而推导出相应的正方体公式；已知： a 24cmb 12cm h 9cm求： c 长 tc 长 t 4（ ab h）4（ 24 12 9）名师归纳总结欢迎下载精品word学习资料可编辑长方体有 12 条棱，长，宽，高各4 条，因此： 长方体棱长总和（长宽高）4，用 c 表示棱长总和（ circumference， 与周长字母相同） ，用 a，b，h 分别表示长，宽，高，就字母表达式为 c 长 t 4（ a b h）；例，课本 p31 第 1 题：纸巾盒长 24cm，宽 12cm

30、，高 9cm，求棱长总和；例，课本 p32 第 6 题：为迎接“五一”国际劳动节，工人叔叔要在工人俱乐部的四周装上彩灯（地面的四边不装） ；已知工人俱乐部的长 90m，宽 55m，高 20m，工人叔叔至少需要多长的彩灯线？留意：由于， “地面四边不装” ，所以这时候的棱长总和不包括地面（也就是底面，下面）的四条棱，而其中又有两条长，两条宽，因此棱长总和是剩下的2 条长， 2 条宽和 4 条高，棱长总和公式要相应地转变；正方体有 12 条相等的棱，因此： 正方体棱长总和棱长12，用 a 表示棱长，就字母表达式为c正 t 12a；例，课本 p31 第 2 题：棱长为 10cm的正方体粉笔盒， 棱长

31、总180（ cm）答：纸巾盒棱长总和180cm；已知： a 90mb 55m h 20m求： c 长 tc 长 t 2a 2b 4h 90 2 552 204 370（ m）答：工人叔叔至少需要370m 长的彩灯线；已知： a 10cm求： c 正 tc 正 t 12a 12 10 120（ cm）答：它的棱长总和是120cm；名师归纳总结欢迎下载精品word学习资料可编辑和是多少？在求长方体，正方体棱长总和（以及后面的面积）时，要留意包含哪几条棱（哪几个面），用相应的公式去运算；6， 长方体与正方体的表面积长方体或正方体 6 个面的总面积，叫做它的表面积；由于长方体（或正方体）相对的面完全相

32、同，因此只要算出3 个面（上或下，前或后，左或右）再扩大到2 倍就可以了；留意：长方体每个面的面积构成（请懂得后记忆）情形一： 假设长面对着我们， 就前面（后面） 的面积是 “长高”，左面（右面）的面积是“宽高” ，上面（下面）的面积是“长高”；情形二：假设宽面对着我们，就前面（后面）的面积是“宽高”，左面（右面）的面积是“长高” ，上面（下面）的面积是“长高”；因此， 上，下面（底面）的面积都是“长宽”，侧面四周都和“高”有关；长方体的表面积（长宽长高宽高）2用 s 表示表面积（ square，与面积字母相同） ，用 a，b，h 分别表示长，宽，高，就字母表达式为 s 长 t2（ ab ah

33、 bh）；名师归纳总结欢迎下载精品word学习资料可编辑例，课本 p36 第 3 题：光华街口装了一个新的铁皮邮箱，长 50cm，宽 40cm，高 78cm；做这个邮箱至少需要多少平方厘米的铁皮？例，课本 p34做一做：亮亮家要给一个长 0.75m， 宽 0.5m，高 1.6m 的简易衣柜换布罩（没有底面） ；至少需要用布多少平方米？留意：由于， “没有底面” ，所以这时候的面积不是完全的表面积，只有5 个面，总和不包括地面（也就是长，宽构成的面）因此就要用不完全的表面积的公式来运算；附：不完全表面积公式只有侧面四周，也叫烟囱（或者叫上下通风管，仍叫商标纸）： s 侧 2（ a b）h没有下面

34、： s 布罩 2（ a b）h ab 没有上面： s 鱼缸 2（a b） h ab 左右通风管： s 左右通 2（ b h） a 前后通风管： s 前后通 2（ a h） b详细题目，必需要看详细情形而定，千万不行盲目硬记公式！正方体的表面积（棱长棱长）6字母表达式为s 正 t 6a2；例，课本 p35 做一做：一个玻璃鱼缸的外形是正方体，棱长3dm；制作这个鱼缸时至少需要玻璃多少平方分米？（鱼缸的上面没有盖；）此题当中鱼缸没有盖，只有5 个面；已知： a 50cmb 40cm h 78cm求： s 长 ts 长 t 2（ ab ah bh） 2（ 50 4050 7840 78） 2（ 20

35、00 3900 3120） 18040（ cm2）答：做邮箱至少需要 18040 平方厘米的铁皮；已知： a 0.75mb 0.5m h 1.6m求： s 布罩s 布罩 2（ a b） h ab 2（ 0.75 0.5） 1.60.75 0.5 2 1.25 1.60.375 4.375（ m2）答：做布罩至少需要用布4.375 平方米；已知： a 3dm求： s 鱼缸s 鱼缸 5a2 5（ 3 3） 45（ m2）答：制作这个鱼缸至少需要玻璃45 平方米；名师归纳总结欢迎下载精品word学习资料可编辑留意：“平方”的运算是第三级运算，优先于乘除法；但乘法有结合律，不影响运算结果；7， （长方

36、体，正方体）组合图形的表面积由如干正方体，长方体组合而成的立体图形的表面积运算方法：依据五年级上册第3名师归纳总结欢迎下载精品word学习资料可编辑单元“观看物体”的原理（相对面看到的外形相等，面积相等），运算出 3 个面能看到的面积，再扩大到2 倍；例，丛书 p21 第 3 题，算出以下用 1 立方厘米的小正方体搭成的图形的表面积；由于这个图形是不规章图形，要算出它的表面积比较困难，要数出有几个面积是1 平方厘米的小正方形；可以用“观看物体”的方法：从正面可以看到6 个面，从右面可以看到4 个面， 从上面可以看到 5 个面， 因此总共可以看到15 个面， 而从反面， 左面， 下面三个相对的面

37、看到的也分别相同，所以共有15 2 30 个面，表面积就是30 平方厘米；窍门：由于原来看这个图形就能看到3 个面，只要数出能“看到”的面的个数，再扩大到2 倍即可根本不用“观看物体”那么麻烦！ 例，课本 p37 第 9 题：颁奖台如右图，前后面涂黄色油漆，其它露出来的面涂红色油漆，求涂两种油漆的面积各是多少？求黄色油漆的面积略，求出3 个长方形的面积加起来，得数再扩大到 2 倍（前后都有）即可；而运算红色油漆的一般方法是一面面地算出面积，再进行加和，比较麻烦；可以运用“观看物体”的方法：名师归纳总结欢迎下载精品word学习资料可编辑红色油漆只有从上面，右面，左面看得到，而左右面看到的必定相同

38、；因此s ab 2bh， 这里的 a 指的是从上面看到的长方形的长，也就是 40 40 40 120（cm），这里的 b 和 h 指的是从右面看到的长方形的长和宽（也就是想象成长方体） ；规律： 只要从某一方向看外形不变，那么从那一方向上所看到的表面积也不变；8， 长方体和正方体的体积已知： a 120cmb 40cm h 65cm求： s 上左右s 上左右 ab 2bh120 402 40 6510000（ cm2）答：涂红色油漆的面积是10000 平方厘米；名师归纳总结欢迎下载精品word学习资料可编辑（一）体积物体所占空间的大小叫做物体的体积；（二）体积单位计量体积要用体积单位， 常用的

39、体积单位有立方厘米，立方分米和立方米， 可以分别写成 cm3， dm3和 m3；棱长是 1cm 的正方体，体积是1cm3；一个手指尖的体积大约是1cm3；棱长是 1dm的正方体，体积是1dm3；一个粉笔盒的体积大约是1dm3；棱长是 1m 的正方体，体积是1m3；1m3的空间大约能容纳10 个同学（是一个比较大的体积单位）；在工程上， “ 1m3”的土，沙，石等均简称“1 方”；棱长是 1mm的正方体，体积是1mm3；一粒砂子的体积大约是1mm3；附：身边物体的体积及其单位橡皮的体积约是10cm3，课本的体积约为150cm3，魔方的体积约为1dm3，影碟机的体积约是 4dm3，讲台桌的体积约为

40、1.5m3，集装箱的体积约是40m3，教室的体积约为134m3；（三）长方体和正方体的体积可以用小正方体拼组成长方体的方法来求长方体的体积； 如：用棱长为 1cm 的小正方体拼成长 4cm，宽 3cm，高 2cm 的长方体，长需要 4 个，宽需要 3 个，高需要 2 个，共 24 个，因此推出：长方体的体积长宽高v 长 t abh名师归纳总结欢迎下载精品word学习资料可编辑而正方体可以看成是长宽高都相等的长方体，所以： 正方体的体积棱长棱长棱长v 正 t a3例，课本 p43 做一做第一题，运算长方体和正方体的体积；名师归纳总结欢迎下载精品word学习资料可编辑已知： a 8cmb 3cm

41、h 4cm求： v 长 tv 长 t abh 8 3 4 96（ m3）答：长方体的体积是96 立方米；已知： a 5dm求： v 正 tv 正 t a3535 5 5125（ m3）答：正方体的体积是125 立方米；注：一般“ 5 5 5”可以略去不写；名师归纳总结欢迎下载精品word学习资料可编辑而长方体是由长， 宽，高三者相乘得来的， 也可以看成是其中两者的积与第三者相乘的结果（即其中一个面和垂直于这个面的第三条棱的乘积）；因此长方体（或正方体）的体积公式也可以是：名师归纳总结欢迎下载精品word学习资料可编辑长方体（或正方体）的体积底面积高用字母 s 表示底面积，公式可以写成： v s

42、h而长方体有 3 个不同的面，公式可推广为v 长 t s 底 h，v 长 t s 左 a，v 长 t s 前 b例，课本 p43 做一做第 2 题，一根长方体木料，长 5m，横截面的面积是 0.06m2；这根木料的体积是多少？例，有一个长方体纸盒，底面为 4 平方分米的正方形，高为 6 分米，求它的体积是多少？（四）用小正方体拼大正方体由于大正方体的棱长是小正方体的倍数，而 v正 t a3，体积的倍数等于棱长的倍数的三次方， 因此要拼成棱长是2 倍的大正方体就需要小正方体 23个，即 8 个；所以，用小正方体拼大正方体已知： a 5ms 左 0.06m2求： v 长 tv 长 t s 左 a

43、0.06 5 0.3（ m3）答：长方体木料的体积是0.3 立方米；已知： s 底 4dm2h 6dm求： v 长 tv 长 t s 底 h 4 6 24（dm3）答：这个长方体纸盒的体积是24 立方分米；名师归纳总结欢迎下载精品word学习资料可编辑时所需要的小正方体的个数分别是：23，33，43，举荐记住10 以内（包括 10）的数的立方： 1,8,27,64,125,216,343,512,729， 1000 ；例，把棱长为 8cm的正方体分割成棱长为2cm的小正方体，可以分成几个？解答，大正方体棱长是小正方体的8 2 4 倍，所以体积是 43 64 倍，即可以分成 648个小正方体；也

44、可以直接写出综合算式：(2 ) 3 4364（五）体积单位间的进率从正方体可以推出，1dm3的正方体可以分成1010 101000 个 1cm3的小正方体，以此类推，得出相邻两个体积单位间的进率是1000；与长度单位，面积单位的关系见下表：单位类型长度单位名称m ， dm ，cm相邻两个单位间的进率10面积m2，dm2，cm2102 100体积m3，dm3，cm3103 1000名师归纳总结欢迎下载精品word学习资料可编辑9， 图形切割前后棱长总和，表面积和体积的增减把一个长方体（或正方体）分成两个长方体（或正方体） ，表面积会增加；分成的长方体（或正方体）数量越多，增加的表面积就越大；反之

45、亦然；想象：“一刀切”长方体（或正方体）为两个长方体 （或正方体） ，多出了 2 个面, 多出了 4 条边（也就是棱） ；可以依据切割的次数来运算增加的表面积和棱长总和；例，把一个棱长为8m 的正方体分成两个完全相同的长方体， 问表面积和棱长总和各增加了多少？例，课本 p37 第 11 题，将 27 个棱长为1cm的小正方体拼成一个大正方体，表面积减 少了多少？摸索过程： 表面积削减多少， 也可以看成是大正方体切割成小正方体后表面积增加了多少，只要知道切割了几刀，增加了几个面，每个面的面积是多少； 每个面切成边长 3 的小块，需要 2 刀，前后，左右，上下各 2 刀，共6 刀， 12 个面；而

46、每个面都是边长为 1 3 3（cm）的正方形， 从而求得一共增加的表面积；10，容积和容积单位（一）基本概念已知： a 8m求： s 增 ，c 增s 增 2a2c 增 8a 2（ 8 8）8 8 128（m 2） 64（ m）答：分割后表面积增加了128 平方米， 棱长总和增加了 64 米；已知： a 1cm求： s 增a 3a 3（ cm） s 增 12a2 12（ 3 3） 108（cm2）答：分割后表面积增加了108 平方厘米；名师归纳总结欢迎下载精品word学习资料可编辑箱子，油桶，仓库等所能容纳物体的体积，通常叫做它们的容积； （容器所能容纳物体的体积，叫做这个容器的容积； ）计量容

47、积，一般就用体积单位；计量液体的体积，如水，油等，常用容积单位升和毫升，也可以写成 l 和 ml；1l 1000ml 1l 1dm3 1ml 1cm3 1m 31000dm3 1000l1,000,000ml 长方体或正方体容器容积的运算方法，跟体积的运算方法相同，但要淡定器里面量长，宽，高；也就是说，容积也是一种体积，容积单位也是体积单位，只不过当容器容纳的物体是液体时，一般使用液体的体积单位（l 和 ml）；（二）常见容器容积固体：粉笔盒1dm 3，微波炉 12 dm3，集装箱 40m 3液体：口服液10ml ，矿泉水 600ml ，大瓶饮料 2.5l ， 食用油 5l（三）用“排水法”求

48、不规章物体的体积外形不规章的物体，可以用它们完全浸入水中时所排出的水的体积来运算它们的体积；v 物体 v 排出的水 ，依据容器外形的不同所采纳的公式不同；一般考查长方体容器，公式为物体体积排出的水的体积容器长容器宽水面上升的高度v 增 abh 增 ab（ h h）名师归纳总结欢迎下载精品word学习资料可编辑例，有一个长15cm，宽 10cm的长方体玻璃容器， 里面盛有高 5cm的水， 放入四个鸡蛋后（完全浸入） ，水面高 7cm，平均每个鸡蛋的体积是多少？摸索过程： 先求四个鸡蛋共排出水的体积（运用长方体） ，再求一个鸡蛋平均排出水的体积，也就是一个鸡蛋的体积；11，常考题（棱长，棱长总和，

49、表面积与体积的转换，等等）类型一：用铁丝围（棱长总和不变）用一段铁丝可以围成棱长5m的正方体，已知： a 15cmb 10cm h 5cm h 7cm求： v4 个鸡蛋v4 个鸡蛋 ab（ h h） 1510（ 7 5） 300（ cm3） 300 4 75（ cm3）答：平均每个鸡蛋的体积是75 立方厘米；名师归纳总结欢迎下载精品word学习资料可编辑假如用这段铁丝来围长方体，可以围成长6cm，宽已5知m，：高a多正 少5米m的长方体？摸索过程： 同样的铁丝长度相等，也就是棱长总和相等， a 6先m 算出正方体棱长总和， 再根名师归纳总结欢迎下载精品word学习资料可编辑据公式求长方体的高的

50、长度；求： hb 5m名师归纳总结欢迎下载精品word学习资料可编辑类型二：捏橡皮泥，锻造和熔铸（体积不变） 把一块棱长9dm 的正方体钢坯锻造成一个长为 4dm，宽为 3dm的长方体钢块，就这个钢块的高是多少米？摸索过程： 锻造不转变钢材体积（不考虑c 正 12a 正h c4 a b 12 5 604 6 5已知： 60（ m）4（ m） a 正 9dm答：围成的长方体的高是4 米；a 4dmb 3dm求： h3名师归纳总结欢迎下载精品word学习资料可编辑v 正 a 正hv a b名师归纳总结欢迎下载精品word学习资料可编辑锻造损耗），所以先算出正方体体积，再依据公式求长方体的高度；留意

51、，这题当中，问题问的是“多少米” ，而给的条件是分米，所以在运算之后，要进行单位转化；类型三：局部粉刷求价钱（部分表面积）粉刷一间长 10m，宽 8m，高 30dm的教室， 要求粉刷教室的屋顶和四周墙壁，除去们窗的黑板的面积23 平方米，问粉刷的面积是多少平方米？假如每平方米的粉刷成本是4 元，一共需要多少钱？摸索过程： 要先弄清晰粉刷的面积，也就是要明确粉刷表面积的哪几个面，最终再运算价钱，留意单位不统一时要先化成同一单位才 能运算； 93 7294 3 729（ dm3）60.75（ dm） 60.75dm 6.075m答：锻造成的钢块的高是6.075 米；已知： a 10mb 8m h 30dm 3m求： s 教室s 教室 2（ a b）h ab 2（ 10 8） 3 10 8 10