高中数学经典50题(附答案)（精华版）

1、高中数学题库1. 求下列函数的值域：2解法 2令 t sin x，则 f ( t ) t t 1， |sinx| 1, | t | 1. 问题转化为求关于 t 的二次函数 f ( t ) 在闭区间 1,1 上的最值本例题 (2) 解法 2 通过换元，将求三角函数的最值问题转化为求二次函数在闭区间上的最值问题， 从而达到解决问题的目的，这就是转换的思想善于从不同角度去观察问题，沟通数学各学科之间的内在联系，是实现转换的关键，转换的目的是将数学问题由陌生化熟悉，由复杂化简单，一句话：由难化易可见化归是转换的目的，而转换是实现化归段手段。2. 设有一颗慧星沿一椭圆轨道绕地球运行，地球恰好位于椭圆轨道

2、的焦点处，当此慧星离地球相距 m 万千米和4 m 万千米时，经过地球和慧星的直线与椭圆的长轴夹角分别为3和，求该慧星与地球的最近距离。23解： 建立如下图所示直角坐标系，设地球位于焦点x 2y 2f ( c,0) 处，椭圆的方程为1（图见教材 p132 页例 1）。a 2b 2当过地球和彗星的直线与椭圆的长轴夹角为时，由椭圆的几何意义可知，彗星a 只3能满足xfa(或 xfa/3) 。作 ab3ox于b，则 fb1 fa2 m232故由椭圆第二定义可知得mc ( ac)2ac4 mc ( a3acc2 m)3两式相减得 1 m3c2 m,a a32c.代入第一式得 m1 (4cc)23 c,2

3、c2 m.acc 32 m.3答：彗星与地球的最近距离为2 m万千米。3说明：（ 1）在天体运行中， 彗星绕恒星运行的轨道一般都是椭圆，而恒星正是它的一个焦点，该椭圆的两个焦点， 一个是近地点， 另一个则是远地点， 这两点到恒星的距离一个是ac ，另一个是 ac.（2）以上给出的解答是建立在椭圆的概念和几何意义之上的，以数学概念为根基充分体现了数形结合的思想。 另外， 数学应用问题的解决在数学化的过程中也要时刻不忘审题，善于挖掘隐含条件，有意识地训练数学思维的品质。3. a ，b，c 是我方三个炮兵阵地，a 在 b 正东 6 km ，c 在 b 正北偏西 30 ，相距 4 km ，p 为敌炮阵

4、地，某时刻 a 处发现敌炮阵地的某种信号，由于 b， c 两地比 a 距 p 地远， 因此 4 s 后， b， c 才同时发现这一信号，此信号的传播速度为 1 km / s， a 若炮击 p 地，求炮击的方位角。 （图见优化设计教师用书 p249 例 2）解 ： 如 图 ， 以 直 线 ba 为 x 轴 ， 线 段 ba 的 中 垂 线 为 y 轴 建 立 坐 标 系 ， 则b(3,0), a(3,0), c(5,23 ) ，因为 pbpc ，所以点 p 在线段 bc 的垂直平分线上。因为 kbc3 ，bc 中点 d ( 4,3) ，所以直线 pd 的方程为 y31 ( x4)3（ 1）又 p

5、bpa4, 故 p 在以 a ， b 为焦点的双曲线右支上。设p( x, y)，则双曲线方程为x2y2451(x0)（ 2）。联立（ 1）（ 2），得 x8, y53 ，所以 p(8,53). 因此53kpa833 ，故炮击的方位角北偏东30 。说明： 本题的关键是确定p 点的位置，另外还要求学生掌握方位角的基本概念。4. 河上有抛物线型拱桥，当水面距拱顶5 米时，水面宽度为8 米，一小船宽 4 米，高 2米，载货后船露出水面的部分高0.75 米，问水面上涨到与抛物线拱顶距多少时，小船开始不能通行？解：建立平面直角坐标系,设拱桥型抛物线方程为x2得 p=1.62 py( p0) 。将 b （

6、4,-5）代入x23.2 y 船两侧与抛物线接触时不能通过则 a(2,y a )，由 22=-3.2 y a 得 ya = - 1.25因为船露出水面的部分高0.75 米所以 h=ya +0.75=2 米答：水面上涨到与抛物线拱顶距2 米时，小船开始不能通行 思维点拔 注意点与曲线的关系的正确应用和用建立抛物线方程解决实际问题的技巧。5. 如图所示，直线l1 和l 2 相交于点 m ， l 1l 2 ，点 nl 1 ，以 a 、b 为端点的曲线段 c上任一点到l 2 的距离与到点n 的距离相等。若amn 为锐角三角形，am17, an3,且 nb 6 ，建立适当的坐标系，求曲线段c 的方程。解

7、：以直线l1 为 x 轴，线段 mn 的垂直平分线为 y 轴，建立直角坐标系，由条件可知，曲线段 c 是以点 n 为焦点，以l 2 为准线的抛物线的一段，其中a 、b 分别为曲线段c 的端点。设曲线段 c 的方程为 y 22 px( p0)( x axx b , y0) ，其中x a , x b 为 a 、b 的横坐标， pmn ，所以 m (p ,0), n( p ,0) ，由 am17, an3 ，得(x ap)222 pxa1722（1）( x ap ) 222 px a9（ 2），（ 1）（ 2）联立解得 x a4，代入（ 1）式，并由 p0pp4p2pp2解得或，因为amn 为锐角三

8、角形，所以x a ，故舍去，所xa1xa22xa2p4以xa1由点 b 在曲线段 c 上，得 xbbnp 24 ，综上，曲线段 c 的方程为y 28 x(1x4, y0) 思维点拔 本题体现了坐标法的基本思路，考查了定义法，待定系数法求曲线方程的步骤，综合考查了学生分析问题、解决问题的能力。6. 设抛物线 y24ax ( a0) 的焦点为 a, 以 b(a+4,0) 点为圆心， ab 为半径，在 x 轴上方画半圆，设抛物线与半圆相交与不同的两点m ， n。点 p 是 mn 的中点。（1） 求 am +an 的值（2） 是否存在实数 a，恰使 am ap an 成等差数列？若存在，求出a，不存在

9、， 说明理由。解： (1)设 m,n,p 在抛物线准线上的射影分别为m ,n ,p. am + an = mm + nn =x m +xn +2a又 圆 方 程 x(a4) 2y216将 y 24ax 代入得 x22( 4a) xa 28a0xmxn2 4a得 am +an =8(2) 假设存在 a因为 am + an =mm +nn =2 pp所以 ap=pp， p 点在抛物线上，这与p 点是 mn 的中点矛盾。故 a 不存在。27. 抛物线 y2 px p0 上有两动点 a ，b 及一个定点 m ，f 为焦点，若af , mf, bf成等差数列（1） 求证线段 ab 的垂直平分线过定点q（

10、2） 若 mf4, oq6 （o 为坐标原点） ，求抛物线的方程。1（3） 对于（ 2）中的抛物线，求 aqb 面积的最大值。解 ：（ 1 ） 设a x1, y1 , bx2 , y2 , mx0 , y0， 则 afxp ， bf 2xp ，22mfx0p，由题意得 x02x1x2 2，ab 的中点坐标可设为x0, t，其中ty1y220 （否则 afmfbfp0 ），而 k aby1y2x1x2y1y2y1221y22 p2 py1y2p， 故ab的 垂 直 平 分 线 为ttytxpx0，即 t xx0pyp0，可知其过定点q x0p,0（2）由 mf4, oq6 ，得 x0p4, x0

11、2p6 ，联立解得 p4, x02y 28x 。（ 3 ） 直 线ab ： yt4 x2 t12， 代 入y 28x 得 y 22ty2t 2160 ，2y1y22y1y24 y1 y2644t 2 ， xx2t 22y1y2162t164t 2 ,ab2x1x22y1y21162t 216t 21256t 42，又点q 6,0到ab的 距 离d16t 2，s aqb1 ab d6212564t 4 16t 2140964256t 216t 4t 6令u4096256t 216t 4t， 则u512t64t 36t 5， 令u0即512ts aqb64t 36496t 56 。0 ， 得 t0

12、 或 t 216 或 t 216 ，3t 216t43 时33 思维点拔 设而不求法和韦达定律法是解决圆锥曲线中的两大基本方法，必须熟练掌握，对定点问题和最值的处理也可由此细细的品味。8、已知直线l : ytan( x22)交椭圆 x29 y 29 于 a、b 两点，若为l 的倾斜角，且 ab 的长不小于短轴的长，求的取值范围。解：将l的方程与椭圆方程联立，消去y，得(19 tan 2) x2362 tan 2x72 tan 290ab1tan2x2x11tan26 tan2622(19 tan)19 tan由 ab2,得 tan 21 ,333tan，33的取值范围是0,5,66 思维点拔

13、对于弦长公式一定要能熟练掌握、灵活运用民。本题由于l 的方程由 tan给出，所以可以认定，否则涉及弦长计算时，还要讨论时的情况。229、已知抛物线 y 2x 与直线 yk (x1) 相交于 a、b 两点（ 1） 求证： oaob（ 2） 当 oab 的面积等于10 时，求 k 的值。（1） 证明：图见教材 p127 页，由方程组y 2xyk(x消去 x 后，整理得1)ky 2yk0 。设 a( x1 , y1 ), b(x2 ,y2 )，由韦达定理得y1y221a, b 在抛物线 yx 上，y21k oax1,2y2y1kobx , y 221y22y2y1y2x1x211,oaobx1x2x

14、1x2y1y2（2） 解：设直线与x 轴交于 n，又显然 k0,令 y0,则x1，即 n（1，0）s oabs oabs oan112s( y112obn2y2 )on y14 y1y21 on y2211 2()2 k1 on yy 2124s oab10 ,10112k 24 , 解得k16 思维点拔 本题考查了两直线垂直的充要条件，三角形的面积公式，函数与方程的思想，以及分析问题、解决问题的能力。210、在抛物线 y =4x 上恒有两点关于直线y=kx+3 对称，求 k 的取值范围。2解设 b、c 关于直线 y=kx+3 对称，直线 bc方程为 x=-ky+m 代入 y =4x 得：22

15、y +4ky-4m=0，设 b（ x 1， y 1）、c（ x 2， y 2），bc中点 m（ x0， y0），则 y0=（y1+y2） /2=-2k 。x 0=2k +m，点 m（x0， y0）在直线上。 -2k （ 2k322k2 k+m） +3， m=-k3 又 bc 与抛物线交于不同两点，=16k2k3+16m0把 m代入化简得2k30 即 ( k1)( k 2k3)0 ，kk解得 -1k0 思维点拔 对称问题要充分利用对称的性质特点。11、已知椭圆的一个焦点f1（ 0，-22 ），对应的准线方程为y=-2/3 ， e， 4/3 成等比数列。（1） 求椭圆方程；92 ，且离心率 e 满

16、足：4（2） 是否存在直线 l ，使 l 与椭圆交于不同的两点m、n，且线段 mn恰被直线 x=- 1 平2分。若存在，求 l 的倾斜角的范围；若不存在，请说明理由。解依题意e= 223（1）a-c=2c92 -22 =42 ，又 e= 2243 a =3， c=22 ，b=1，又 f1（ 0， -22 ），对应的准线方程为y=-2y 2x=1992 。椭圆中心在原点，所求方程为：41（2）假设存在直线l ，依题意 l 交椭圆所得弦 mn被 x=-平分，直线 l 的斜率存在。设2直线 l ： ykxm 由ykxm(k 29) x22kmxm29 =02y2x=1 消去 y，整理得9直线 l 与

17、椭圆交于不同的两点m、n2 2222即 m-k2-90设 m （ x 1， y1）、n（ x 2， y 2） x1x22kmk 291 ，2k 29m2k把代入可解得：直线 l 倾斜角k3或k32,3223 思维点拔 倾斜角的范围，实际上是求斜率的范围。12、设 x，y 满足约束条件3xy60xy20，若目标函数z=ax+by（ a0，b0 ）的值是最大x0, y0值为 12，则 23 的最小值为（）aba 25b68c311d 43答案： a解析： 不等式表示的平面区域如图所示阴影部分,当直线 ax+by=z（ a0， b0 ）过直线x-y+2=0 与直线 3x-y-6=0 的交点（ 4,6

18、）时，目标函数 z=ax+by （ a0， b0 ）取得最大 12，即 4a+6b=12，即 2a+3b=6, 而 23 = ( 23 ) 2 a3b13( ba)13225 ，故选abab6a 6ab66点评： 本题综合地考查了线性规划问题和由基本不等式求函数的最值问题要求能准确地画出不等式表示的平面区域，并且能够求得目标函数的最值，对于形如已知2a+3b=6，求23的ab最小值常用乘积进而用基本不等式解答13、本公司计划 2008 年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300 分钟的广告，广告总费用不超过 9 万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和 200 元/分钟，规定甲、乙

19、两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司事来的收益分别为03 万元和 02 万元问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是万元答案： 70解析 ：设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为x 分钟和 y 分钟， 总收益为 zxy 300，y元，由题意得500x200y 90000，500x 0，y 0.目标函数为 z3000 x2000 y 400xy 300，300二元一次不等式组等价于5x2y 900，x 0，y 0.作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域l200m100如图：作直线 l :3000 x2000 y0 ，即 3 x2 y0

20、0100200 300x平移直线，从图中可知， 当直线过 m 点时，目标函数取得最大值xy300，联立解得 x100， y200 点 m 的坐标为 (100，200) 5x2 y900.zmax3000 x2000 y700000 （元）点评 ：本题是线性规划的实际应用问题，需要通过审题理解题意， 找出各量之间的关系， 找出线性约束条件，写出所研究的目标函数，通过数形结合解答问题用线性规划的方法解决实际问题能提高学生分析问题、解决问题的能力，随着课改的深入，这类试题应该是高考的热点题型之一14、设 a 为实数，函数f ( x)2x( xa) |xa |2(1) 若f (0)1，求 a 的取值范

21、围；(2) 求f ( x)的最小值；(3) 设函数解集h( x)f ( x), x(a,)，直接写出 (不需给出演算步骤 )不等式h( x)1 的解析：（ 1）若f (0)1 ，则a | a| 1a0a21a1 ；f (a), a202 a , a0（ 2）当 xa 时，f ( x)3x22axa 2 ,f ( x)mina2a，2f (), a0, a0当 xa 时，f ( x)x22axa2 ,f ( x)f (a), a3302 a 2, a0，综上 f ( x) min2a , a0 2a 2；2, a0minf ( a), a02a 2 , a0（ 3） x3(a,) 时，h( x)

22、1得 3x22axa 210 ，4a 212( a 21)128a 266当 a或a时，0, x(a,) ；222266( xa32a)( xa32a )033当a时， 0，得：；22xa讨论得：当 a(2 ,6 ) 时，解集为 ( a,) ；2262a32a2a32a2当 a(, 2) 时，解集为2( a,3,) ；322a32a2当 a, 时，解集为22,) 3点评： 本小题主要考查函数的概念、性质、图象及解一元二次不等式等基础知识，考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力15、知函数f ( x)1 x3x22 ,a23n（）设an 是正数组成的数列， 前

23、 n 项和为sn ，其中 a13 若点( ann 12an1) (nn*) 在函数yf ( x) 的图象上，求证：点( n, s) 也在yf (x) 的图象上；2（）求函数f (x) 在区间 (a1,a) 内的极值解析： ( ) 证明：因为f ( x)1 x33x2, 所以f (x)x22 x ，由点 (a, a22a)( nn ) 在函数yf ( x) 的图象上 , a2 aa 22a2nn 1n 1n 1n 1nn(an 1an )( an 1an )2(anan 1) ，又 an0( nn ) ，2所以 an 1an2 ， an是 a13, d2 的等差数列，所以 sn3nn(n1)22

24、= n 22n , 又因为f (n)n2 n , 所以snf(n) ,故点 (n, sn ) 也在函数yf ( x) 的图象上( ) 解:f ( x)x22 xx( x2) , 令 f( x)0, 得 x0或x2 当 x 变化时 ,f (x) f (x) 的变化情况如下表 :x(- ,-2)-2(-2,0)f(x)+0-f(x)极大值注意到 (a1)a12 , 从而当 a12值；a,即 2a1时,f( x)的极大值为f (2)2 , 此时3f ( x) 无极小当 a10a,即0a1时,f ( x) 的极小值为f (0)2 , 此时f ( x) 无极大值；当 a2或 1a0或a1时,f( x)

25、既无极大值又无极小值点评： 本小题主要考查函数极值、等差数列等基本知识，考查分类与整合、转化与化归等数学思想方法，考查分析问题和解决问题的能力16、设 a0,b0. 若 3 是 3a 与 3b 的等比中项，则 11 的最小值为（）ab1a 8b 4c 1d 4答案 ： b解析： 因为 3a3b3 ，所以 ab1 ， 11ab( ab)( 11 )ab2baab22baab4 ，当且仅当 baa 即 ab b1时“ =”成立，故选择 b 2点评： 本小题考查指数式和对数式的互化，以及均值不等式求最值的运用，考查了变通能力n17、设数列a满足 a0n1n0, aca31c,cn* ,其中 c 为实

26、数（）证明： an0,1 对任意nn *成立的充分必要条件是c0,1 ；（）设 0c1 ，证明： a 31(3c)n1, nn * ；n（）设 0c1 ，证明： a 2a 2l a 2n12, nn 3解析：(1)必要性： a1120, a2n1c，又13c* a20,1, 01c1，即c0,1 充分性 ： 设 c0,1 ，对nn *用数学归纳法证明 an0,1 ，当 n1 时，a100,1 假设 ak0,1( k1) ，k则 ak 1ca31cc1c1 ，且 ak 1ca31c1c0k， ak10,1 ，由数学归纳法知 an10,1 对所有nn *成立(2) 设 0c，当 n31 时，a10

27、 ，结论成立当 n2时， aca31c, 1ac(1a)(1aa 2 )nn 1nn 1n 1n 1， 0c1,由（ 1）知 a0,1，所以1aa 23 且 1a01an33c(1n 11nan 1) ，n 1n 1n 1，1an3c(1a)(3c) 2 (1an 2)l(3c)n1(1a )(3 c) n 11， an1(3c) n1(nn * )a(3) 设 0c1 ，当 n31时， 202213c，结论成立，1当 n2 时，由（ 2）知 an1(3c)n 10，2n 1 2n 12( n 1)n 1 an(1(3c)12(3c)(3c)12(3c)，222222n 1 a 1a2lana

28、2lann123c(3c)l(3c)2(1(3c)n )2n113cn113c点评： 该题综合考查了等比数列的求和、不等式的性质的应用、充分必要条件和数学归纳法等，具有较高的难度，对逻辑推理能力的考查要求较高18、将一骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为（） 解析： 一骰子连续抛掷三次得到的数列共有个，其中为等差数列有三类：（ 1）公差为 0 的有 6 个；（ 2）公差为 1 或-1 的有 8 个；（ 3）公差为 2 或-2 的有 4 个， 共有 18 个，成等差数列的概率为，选 b点评 ：本题是以数列和概率的背景出现，题型新颖而别开生面，有采取分类讨论，分类时要做到不遗

29、漏，不重复sn19、 等差数列 an 和 bn 的前 n 项和分别用 sn 和 tn 表示，若tn4n，则 an 3n5bn的值为 ()4n2a3n18n3b6n26n3c8n26n2d8n3答案 ： a解析 ： s(2n1) a1a2n 1(2 n1)a ； t(2n1)b 2n 12n2n 1n anbns2 n 1t2 n 14(2 n3(2n1)1)58n44 n2 6n23n1点评：考查等差数列的前n 项和的变形。(a b) 20、已知 x 0， y 0， x， a， b，y 成等差数列， x，c， d，y 成等比数列，则cd2的最小值是答案 ： 42(a b)(x y)(2xy)2

30、2解析 ：cdxyxy 4点评：考查等差等比数列的基本知识，均值不等式。21、命题p : 实数 x 满足 x24ax3a 20 ，其中 a0 ，命题q :实数 x 满足 x2x60或 x22 x80 ，且p 是 q 的必要不充分条件，求a 的取值范围解析 ：设ax | x24ax3a20( a0)x |3axa ，2222bx | xx60或x2 x80x | xx60x | x2 x80x |2x3x | x4或x2 =x | x4或x2因为p 是 q 的必要不充分条件，所以qp ，且p 推不出q而 crbx |4x2 ， cr ax | x3a,或xa所以x |4x2 ?x | x3a或x

31、a ，则3a2a4或a0a0即2a30 或 a4点评： 考查逻辑用语，一元二次方程及其含参数的解集。22、已知二次函数f (x) 的二次项系数为a ，且不等式f (x)2 x的解集为（ 1 , 3）（ l）若方程f (x)6a0 有两个相等的根，求f ( x) 的解析式；（ 2）若f (x)的最大值为正数，求a 的取值范围解析 ：（1）因为f ( x)2 x0 的解集为（ 1，3），所以f ( x)2 xa( x1)(x3) 且 a0 因而 f( x)a( x1)(x3)2 xax2(24a) x3a（ 1）由方程f ( x)6a0 得：ax2(24a) x9a0（ 2）因为方程（ 2）有两个

32、相等的根所以解得：(24a ) 24 aa1 （舍去）或 a9 a0 ，即1，55a 24a10 将 a1代入（ 1）得f ( x)的解析式为：f (x)1 x26 x3 ，5555（2）f ( x)ax22(12 a) x3aa(x12aa22)4 a1，aa有 a 0 ，且 a 0解得： a23或 23a0 ，故当 f(x)的最大值为正数时，实数a 的取值范围是 (,23) u (23,0) 点评 ：含参数的未知一元二次方程，求函数表达式以及参数的取值范围。计算量比较大，且要求对一元二次函数的知识熟练。23、已知数列an中，sn 是其前 n 项和，并且sn 14an2( n1,2,l),

33、a11 ，设数列 bnan 12an ( n1,2,) ，求证：数列bn 是等比数列；设数列 cnan ,( n 2 n1,2,) ，求证：数列cn 是等差数列；求数列an的通项公式及前 n 项和。分析 ：由于 b n 和c n 中的项都和 a n 中的项有关， a n 中又有 s n1 =4a n +2 ，可由s n 2 -s n1 作切入点探索解题的途径解： (1) 由 s n1 =4a n2 ， s n2 =4a n1 +2 ，两式相减，得s n2 -s n1 =4(a n1 -a n ) ， 即an 2 =4a n1 -4a n (根据 b n 的构造，如何把该式表示成b n1 与 b

34、 n 的关系是证明的关键，注意加强恒等变形能力的训练)an 2 -2a n1 =2(a n1 -2a n ) ，又 b n =a n1 -2a n ，所以 b n1 =2b nnn已知 s 2 =4a 1 +2， a1 =1， a1 +a 2 =4a1 +2，解得 a 2 =5， b 1 =a 2 -2a1 =3 由和得，数列b 是首项为 3，公比为 2 的等比数列，故 b=3 2 n 1 当 n 2 时， s n =4a nn1 +2=21(3n-4)+2 ；当 n=1 时， s1 =a 1 =1 也适合上式综上可知，所求的求和公式为s n =21n(3n-4)+2 说明： 1本例主要复习用

35、等差、等比数列的定义证明一个数列为等差，等比数列，求数列通项与前 n 项和。解决本题的关键在于由条件sn 14an2 得出递推公式。2解综合题要总揽全局，尤其要注意上一问的结论可作为下面论证的已知条件，在后面求解的过程中适时应用n24、设实数 a0 ，数列an是首项为 a ，公比为a 的等比数列，记bnan1g| an| (nn * ), sb1b2bn ，求证：当 a1时，对任意自然数 n 都有a lg asn =21( 1) n1 (1nna)a n解： ana qn 1a(a)n 1(1) n1 an 。(1a)1bnan lg| an |( 1) n1 a n lg | (1) n1

36、a n |( 1)n1 na n lg| a |sna lg | a |2a 2 lg| a |3a 3 lg| a |( 1)n2 (n1) a n1 lg| a |(1) n1na n lg| a | a2a 23a 3(1) n2 (n1) an 1( 1) n1na n lg| a |记 sa2a 23a3( 1) n2 ( n1) an 1( 1)n1 na n asa 22a 3( 1) n3 (n2) a n 1( 1)n2 (n1) a n(1) n1 na n 1 +得 (1a) saa 2aa 3( 1)n(1 an 11) n2 a n 1(1) n2 a n( 1) n

37、1 na n 1 q a1,(1a) s1(1a)( 1)n1 n an 1sa(1) n1 an 1(1a)(1a) 2( 1)n 1n an 1a(1nna) (1) n1 an 1a1(1nna)(1) n1 an s(1sa lg | a | 1a) 2( 1) n1(1nna)a n (1a)2n(1a) 2说明 ：本例主要复习利用错位相减解决差比数列的求和问题。关键是先研究通项，确定cnanbn , an 是等差数列，bn等比数列。25、设正数数列 a n 为一等比数列，且a 2 =4， a 4 =1626、（ 2004 年北京春季高考4720）下表给出一个“等差数阵”（）（）（）

38、：a1 j712（）（）（）（）（）（）（）（）a2 ja3 j说明： 这是 2000 年全国高考上海试题，涉及对数、数列、极限的综合题，主要考查等比数列的定义及通项公式，等差数列前n 项和公式，对数计算，求数列极限等基础知识，以及综合运用数学知识的能力（）（）（）（）（）a4 jai 1ai 2ai 3ai 4ai 5aij 其中每行、每列都是等差数列，aij 表示位于第i 行第j 列的数。（i）写出 a 45 的值；（ ii ）写出aij的计算公式；（iii ）证明： 正整数 n 在该等差数列阵中的充要条件是2n+1 可以分解成两个不是1 的正整数之积。分析： 本小题主要考查等差数列、充要

39、条件等基本知识，考查逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力。解：（ i） a 4549（ii ）该等差数阵的第一行是首项为4，公差为 3 的等差数列：a1 j43( j1)第二行是首项为 7，公差为 5 的等差数列：a 2 j75( j1)第 i 行是首项为 43(i1) ，公差为 2i1 的等差数列，因此aij43(i1)( 2i1)( j1)2ijiji (2 j1)j（iii ）必要性：若n 在该等差数阵中，则存在正整数i， j 使得 ni (2 j1)j从而 2n12ij(21)2 j1(2i1)(2 j1)即正整数 2n+1 可以分解成两个不是1 的正整数之积。充分性：若 2n+1 可以分解成两个不是1 的正整数之积，由于2n+1 是奇数，则它必为两个不是 1 的奇数之积，即存在正整数k， l，使得2 n1( 21k)(2 l1) ，从而 nk(2l1) la kl可见