深圳初中数学定理要点

1、2014 深圳初中数学定理、公式大全点、线、角的定理点的定理：过两点有且只有一条直线点的定理：两点之间线段最短角的定理：同角或等角的补角相等角的定理：同角或等角的余角相等直线定理：过一点有且只有一条直线和已知直线垂直直线定理：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短几何平行定理平行定理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行推论： 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行证明两直线平行定理：同位角相等，两直线平行内错角相等，两直线平行同旁内角互补，两直线平行两直线平行推论：两直线平行，同位角相等两直线平行，内错角相等两直线平行，同旁内角互补三角形内角定理定理：三角

2、形两边的和大于第三边推论：三角形两边的差小于第三边三角形内角和定理： 三角形三个内角的和等于180推论1 ：直角三角形的两个锐角互余推论2 ：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和推论3 ：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角全等三角形判定定理定理： 全等三角形的对应边、对应角相等边角边定理(sas) ： 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等角边角定理(asa) ： 有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等推论 (aas) ： 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等边边边定理(sss) ： 有三边对应相等的两个三角形全等斜边、直角边定理(hl) ： 有斜边和一条直

3、角边对应相等的两个直角三角形全等角的平分线定理定理1 ： 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等定理2 ： 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合等腰三角形性质定理等腰三角形的性质定理： 等腰三角形的两个底角相等( 即等边对等角)推论 1 ： 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合推论 3 ： 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60等腰三角形的判定定理： 如果一个三角形有两个角相等， 那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）推论1 ： 三个角都相等的三角形是等边三角形

4、推论2 有一个角等于60 的等腰三角形是等边三角形对称定理定理： 线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等逆定理： 和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合定理1：关于某条直线对称的两个图形是全等形定理2：如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线定理3：两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上逆定理： 如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分， 那么这两个图形关于这条直线对称直角三角形定理定理： 在直角三角形中，如果一个锐角等于30那么它所对的直角边等于斜

5、边的一半判定定理： 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半勾股定理：直角三角形两直角边 a、b的平方和、等于斜边 c的平方，即aa2+ba2=ca2勾股定理的逆定理： 如果三角形的三边长 a、b、c有关系aa2+ba2=ca2 ,那么这个三角形是直角三角形多边形内角和定理定理： 四边形的内角和等于360四边形的外角和等于360多边形内角和定理：n边形的内角的和等于（n-2）xi80推论： 任意多边的外角和等于360 平行四边形定理平行四边形性质定理1 ： 平行四边形的对角相等平行四边形性质定理2 ： 平行四边形的对边相等推论： 夹在两条平行线间的平行线段相等平行四边形性质定理3 ： 平行四边形

6、的对角线互相平分平行四边形判定定理1 ： 两组对角分别相等的四边形是平行四边形平行四边形判定定理2 ： 两组对边分别相等的四边形是平行四边形平行四边形判定定理3 ： 对角线互相平分的四边形是平行四边形平行四边形判定定理4 ： 一组对边平行相等的四边形是平行四边形矩形的定理矩形性质定理1： 矩形的四个角都是直角矩形性质定理2： 矩形的对角线相等矩形判定定理1： 有三个角是直角的四边形是矩形矩形判定定理2： 对角线相等的平行四边形是矩形菱形定理菱形性质定理1：菱形的四条边都相等菱形性质定理2：菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角菱形面积二对角线乘积的一半，即 s= (ax b) +2

7、菱形判定定理1：四边都相等的四边形是菱形菱形判定定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形正方形定理正方形性质定理1 ： 正方形的四个角都是直角，四条边都相等正方形性质定理2 ： 正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角中心对称定理定理1 ： 关于中心对称的两个图形是全等的定理2 ： 关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分逆定理： 如果两个图形的对应点连线都经过某一点， 并且被这一点平分， 那么这两个图形关于这一点对称等腰梯形性质定理等腰梯形性质定理：1. 等腰梯形在同一底上的两个角相等2. 等腰梯形的两条对角线相等等腰梯形判定定理：1. 在

8、同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形那么在其他直线平行线等分线段定理： 如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等， 上截得的线段也相等中位线定理三角形中位线定理： 三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半l= (a+b) +2s=lxh三角函数定理任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值任意锐角的正切值等于它的余角的余切值，任意锐角的余切值等于它的余角的正切值比例性质定理(1) 比例的基本性质如果 a： b=c： d,那么 ad=bc如果 ad=bc,那么 a： b=c： d(2) 合比性质如果

9、a/b=c/d,那么(a b)/b=(c d)/d(3) 等比性质如果 a/b=c/d= =nn/ n(b+d+nw 0),那么(a+c+m)/(b+d+n尸a/b相似三角形定理相似三角形定理： 平行于三角形一边的直线和其他两边 (或两边的延长线) 相交，所构 成的三角形与原三角形相似相似三角形判定定理1 ： 两角对应相等，两三角形相似(asa)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似sas)判定定理 2 ： 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似(判定定理 3 ： 三边对应成比例，两三角形相似（sss）相似直角三角形定理： 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角

10、形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似性质定理1 ：相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比性质定理2 ：相似三角形周长的比等于相似比性质定理3 ：相似三角形面积的比等于相似比的平方圆的定理12 不共线的三点确定一个圆经过一点可以作无数个圆经过两点也可以作无数个圆，且圆心都在连结这两点的线段的垂直平分线上定理：过不共线的三个点，可以作且只可以作一个圆推论：三角形的三边垂直平分线相交于一点，这个点就是三角形的外心三角形的三条高线的交点叫三角形的垂心1.3 垂径定理圆是中心对称图形；圆心是它的对称中心圆是周对称图形，任一条通过圆心的直线都是它的对称轴定理：

11、 垂直于弦的直径平分这条弦，并且评分弦所对的两条弧推论1 ：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦并且平分弦所对的两条弧推论2 ：弦的垂直平分弦经过圆心，并且平分弦所对的两条弧推论3 ：平分弦所对的一条弧的直径，垂直评分弦，并且平分弦所对的另一条弧定理： 在同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等2 圆与直线的位置关系2.1 圆与直线的位置关系如果一条直线和一个圆没有公共点，我们就说这条直线和这个圆相离如果一条直线和一个圆只有一个公共点， 我们就说这条直线和这个圆相切， 这条直线叫 做圆的切线，这个公共点叫做它们的切点定理：经过圆的半径外端点，并且垂直于这条半径的直线是这个圆的切线定

12、理：圆的切线垂直经过切点的半径推论1 ： 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点推论2 ： 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心如果一条直线和一个圆有两个公共点， 我们就说， 这条直线和这个圆相交， 这条直线叫 这个圆的割线，这两个公共点叫做它们的交点直线和圆的位置关系只能由相离、相切和相交三种2.2 三角形的内切圆如果一个多边形的各边所在的直线， 都和一个圆相切， 这个多边形叫做圆的外切多边形，这个圆叫做多边形的内切圆定理： 三角形的三个内角平分线交于一点，这点是三角形的内心三角形一内角评分线和其余两内角的外角评分线交于一点，这一点叫做三角形的旁心。以旁心为圆心可以作一个圆和一边及其他两边的延

13、长线相切， 所作的圆叫做三角形的旁切圆2.3 切线长定理定理： 从圆外一点引圆的两条切线， 它们的切线长相等， 圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角2.4 圆的外切四边形定理： 圆的外切四边形的两组对边的和相等定理： 如果四边形两组对边的和相等，那么它必有内切圆3 圆与圆的位置关系3.1 两圆的位置关系在平面内，不重合的两圆。它们的位置关系，有以下五种情况：外离、外切、相交、内切、外切经过两个圆的圆心的直线，叫做两圆的连心线，两个圆心之间的距离叫做圆心距定理： 两圆的连心线是两圆的对称轴，并且两圆相切时，它们切点在连心线上（ 1）两圆外离dr+r（ 2）两圆外切d=r+r（ 3）两圆相交r-r

14、dr）（ 4）两圆内切d=r-r（rr）（ 5）两圆内含dr）特殊情况，两圆是同心圆 d=03.2 两圆的公切线定理： 两圆的两条外公切线的长相等；两圆的两条内公切线的长也相等圆与弧的公式正n边形的每个内角都等于（n-2） x 1800 /n弧长计算公式： l=n 兀 r 180扇形面积公式：s扇形=n兀ra2/ 360=lr7 2内公切线长 =d-（r-r） 外公切线长=d-（r+r）两圆外离 dr+r两圆外切 d=r+r两圆相交 r-r v dv r+r(r r)两圆内切d=r-r(r r)两圆内含 d v r-r(r r)定理相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦定理把圆分成n(n 3):

15、依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形定理任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆如果在一个顶点周围有k个正n边形的角，由于这些角的和应为360 ,因此kx(n-2)180 /n=360 化为(n-2) (k-2)=4弧长计算公式：l=n兀r7180扇形面积公式：s扇形 刃兀ra2/ 360=lr72146内公切线长=d-(r-r)外公切线长 =d-(r+r)因式分解公式公式：aa3+ba3+ca3-3abc=(a+b+c)(aa2+ba2+ca2-ab-bc-ca)平方差公式：a平方-b平方=

16、(a+b)(a-b)完全平方和公式：(a+b)平方=a平方+2ab+b平方完全平方差公式：(a-b)平方=a平方-2ab+b平方两根式： axa2+bx+c=ax-(-b+ v (ba2-4ac)/2ax-(-b-v (ba2-4ac)/2a两根式立方和公式：aa3+ba3=(a+b)(aa2-ab+ba2)立方差公式：aa3-ba3=(a-b)(aa2+ab+ba2)完全立方公式：aa3 3aa2b+3aba2 ba3=(a b3 .一元二次方程公式与判别式一元二次方程的解-b+ v(b2-4ac)/2a -b-v(b2-4ac)/2a根与系数的关系 x1+x2=-b/a x1*x2=c/a

17、 注：韦达定理判别式b2-4ac=0注：方程有两个相等的实根b2-4ac0注：方程有两个不等的实根b2-4ac0注：方程没有实根，有共轲复数根三角不等式|a+b| & |a|+|b|a-b| & |a|+|b|a| & b-b a b|a-b| n |a|-|b|-|a|& aw |a|等差数列公式某些数列前n项和1+2+3+4+5+6+7+8+9+ - +n=n(n+1)/21+3+5+7+9+11+13+15+ +(2n-1)=n22+4+6+8+10+12+14+- +(2n)=n(n+1)12+22+32+42+52+62+72+82+ +n2=n(n+1)(2n+1)/613+23+

18、33+43+53+63+ - n3=n2(n+1)2/41*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3两角和公式sin(a+b)=sinacosb+cosasinbsin(a-b)=sinacosb-sinbcosacos(a+b)=cosacosb-sinasinbcos(a-b)=cosacosb+sinasinbtan(a+b)=(tana+tanb)/(1-tanatanb)tan(a-b)=(tana-tanb)/(1+tanatanb)ctg(a+b)=(ctgactgb-1)/(ctgb+ctga)ctg(a-b)=(ctgactgb+1

19、)/(ctgb-ctga)倍角公式tan2a=2tana/(1-tan2a)ctg2a=(ctg2a-1)/2ctgacos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a半角公式sin(a/2)= v/(1-cosa)/2)sin(a/2)=-a/(1-cosa)/2)cos(a/2)= a/(1+cosa)/2)cos(a/2)=-，(1+cosa)/2)tan(a/2)= , (1-cosa)/(1+cosa)tan(a/2)=-, (1-cosa)/(1+cosa)ctg(a/2)= , (1+cosa)/(1-cosa)ctg(a/2)=-, (1+cosa)/(1-

20、cosa)和差化积2sinacosb=sin(a+b)+sin(a-b)2cosasinb=sin(a+b)-sin(a-b)2cosacosb=cos(a+b)-sin(a-b)-2sinasinb=cos(a+b)-cos(a-b)sina+sinb=2sin(a+b)/2)cos(a-b)/2cosa+cosb=2cos(a+b)/2)sin(a-b)/2)tana+tanb=sin(a+b)/cosacosbtana-tanb=sin(a-b)/cosacosbctga+ctgbsin(a+b)/sinasinb-ctga+ctgbsin(a+b)/sinasinb三角函数的诱导公式常

21、用的诱导公式有以下几组：公式一：设a为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin(2k %+a)= sinacos( 2k 兀+a)= cosatan(2k 兀+a)= tanacot( 2k 兀+a)= cota公式二：设a为任意角，兀+a的三角函数值与a的三角函数值之间的关系:sin(兀+a)= sinacos(兀+a)= cosatan(兀+a)= tan acot(兀+a)= cot a公式三：任意角a与-a的三角函数值之间的关系：sin ( a ) = sin acos ( a ) = cos atan ( a ) = tan acot ( a ) = cot a公式四：利用

22、公式二和公式三可以得到兀-a与a的三角函数值之间的关系:sin （兀一a ）= sin acos(兀一a)=cosatan(%a)=tanacot(ita)=cota公式五：利用公式一和公式三可以得到2兀-a与a的三角函数值之间的关系:sin (2兀-00)=- sin acos ( 2 兀 - a ) = cos atan (2 兀一a ) = tan acot (2兀-00)=- cot a公式六：兀/2 a与a的三角函数值之间的关系：sin(兀/2+a)= cos acos(兀/2+a)= sinatan(兀/2+a)= cotacot(兀/2+a)= tanasin(兀/2a)= co

23、s acos(兀/2a)= sin atan(兀/2a)= cot acot(兀/2a)= tan a诱导公式记忆口诀规律总结上面这些诱导公式可以概括为:对于k 兀/2 a （k c z）的个三角函数值，当k是偶数时，得到a的同名函数值，即函数名不改变；当k是奇数时，得到a相应的余函数值，即sin -cos;cos -sin;tan -cot,cot -tan.（奇变偶不变）然后在前面加上把“看成锐角时原函数值的符号。（符号看象限）例如：sin（2 兀一a ） =sin（4 -兀 /2 a ） , k=4 为偶数，所以取 sin a。当 a 是锐角时，2兀一a c （270 , 360 ） ,

24、 sin（2 兀一a ） v0,符号为“一”。所以 sin（2 兀一a ） = sin a上述的记忆口诀是：奇变偶不变，符号看象限。公式右边的符号为把a视为锐角时，角k 360 +a （kcz） , - a、180。士 a , 360-a所在象限的原三角函数值的符号可记忆水平诱导名不变；符号看象限。各种三角函数在四个象限的符号如何判断， 也可以记住口诀 “一全正； 二正弦； 三为切； 四余弦”这十二字口诀的意思就是说：第一象限内任何一个角的四种三角函数值都是“”；第二象限内只有正弦是“”，其余全部是“”；第三象限内切函数是“”，弦函数是“”；第四象限内只有余弦是“”，其余全部是“”上述记忆口诀

25、 , 一全正 , 二正弦 , 三正切 , 四余弦其他三角函数知识：同角三角函数基本关系l同角三角函数的基本关系式倒数关系 :tan a cot a = 1sin a , csc a= 1cos a , sec a= 1商的关系：sin a /cos a =tana=seca/cscacos a /sin a =cota=csca/seca平方关系：sina2( a ) + cosa2( a ) = 11 + tana2( a ) = seca2( a )2 + cota2( a ) = csca2( a )同角三角函数关系六角形记忆法六角形记忆法：(参看图片或参考资料链接)构造以 上弦、中切、

26、下割；左正、右余、中间 1 的正六边形为模型。( 1)倒数关系：对角线上两个函数互为倒数；积。2）商数关系：六边形任意一顶点上的函数值等于与它相邻的两个顶点上函数值的乘（主要是两条虚线两端的三角函数值的乘积）。由此，可得商数关系式。（ 3）平方关系：在带有阴影线的三角形中，上面两个顶点上的三角函数值的平方和等于下面顶点上的三角函数值的平方。两角和差公式3 .两角和与差的三角函数公式sinsincos 3+ cos asin 3sinsincos 3sin 3coscoscos 3sin asin 3coscoscos 3+ sin asin 3tan a + tan 3tan ( a + 3

27、)1 tan a - tan 3tan a tan 3tan ( a 3 )=一1 + tan a tan 3倍角公式3.二倍角的正弦、余弦和正切公式（升哥缩角公式）sin2 a = 2sin a cos acos2 a = cosa2( a ) sina2( a ) = 2cosa2( a ) 1 = 1 2sina2( a )2tan atan2 a -1 tana2( a ) 半角公式4.半角的正弦、余弦和正切公式(降哥扩角公式)1 cos asina2( a/2)-21 + cos acosa2( a/2)-21 cos a tana2( a/2)-1 + cos a万能公式5.万能公

28、式2tan( a /2) sin a -1 + tana2( a /2)1 tana2( a /2) cos a -1 + tana2( a /2)2tan( a /2)tan a -1 tana2( a /2)万能公式推导附推导：sin2 a =2sin a cos a =2sin a cos a /(cosa2( a )+sina2( a )*(因为 cosa2( a )+sina2( a )=1 )再把*分式上下同除 cosa2( a ),可得 sin2 a =tan2 a /(1 +tana2(然后用a /2代替a即可。同理可推导余弦的万能公式。正切的万能公式可通过正弦比余弦得到。三倍

29、角公式6.三倍角的正弦、余弦和正切公式sin3 a = 3sin a 4sina3( a )cos3 a = 4cosa3( a ) 3cos a3tan a tana3( a )tan3 a -1 3tana2( a )三倍角公式推导附推导：tan3 a = sin3 a /cos3 a=(sin2 a cos a + cos2 a sin a )/(cos2 a cos a -sin2 a sin a )=(2sin a cosa2( a ) + cosa2( a )sin a sina3( a )/(cosa3(a ) cos a sina2( a )2sina2( a )cos a )

30、上下同除以cosa3( a ),得：tan3 a =(3tan a tana3( a )/(1-3tana2( a )sin3 a = sin(2 a + a ) = sin2 a cos a + cos2 a sin a=2sin a cosa2( a ) + (1 2sina2( a )sin a=2sin a 2sina3( a ) +sin a 2sina2( a )=3sin a 4sina3( a )cos3 a = cos(2 a + a ) = cos2 a cos a - sin2 a sin a=(2cosa2( a ) 1)cos a 2cos a $丽人2( a )=2

31、cosa3( a ) cos a + (2cos a 28$人3( a )=4cosa3( a ) 3cos a即sin3 a = 3sin a 4sina3( a )cos3 a = 4cosa3( a ) 3cos a三倍角公式联想记忆记忆方法：谐音、联想正弦三倍角： 3 元 减 4 元 3 角(欠债了 ( 被减成负数) ， 所以要 “挣钱” ( 音似 “正弦” ) )余弦三倍角： 4 元 3 角 减 3 元(减完之后还有“余”)注意函数名，即正弦的三倍角都用正弦表示，余弦的三倍角都用余弦表示。和差化积公式7.三角函数的和差化积公式a + 3 a 3sin a + sin 3 =2sin , cos 2 2a + 3 a 3sin a sin 3 =2cos - - -