用勾股定理解题应注意的几个问题

1、用勾股定理解题应注意的几个问题山东 李平升 勾股定理是中学几何中一个很重要的定理，是继学习三角形三边关系之后用来描述特殊三角形三边关系的又一个重要的结论它揭示了直角三角形三边长的内在联系，反映了三边之间特殊的平方关系，它为我们利用代数方法来研究几何图形提供了新的途径和方法，因此应用十分广泛但在应用勾股定理时，经常会出现这样或那样的错误，那么怎样正确运用勾股定理呢？ 一、注意分清直角边和斜边例1 在rt中，a=8，b=10，求第三边长c错解:由勾股定理，得，所以第三边长为分析:本题解法中错在没有正确运用题中所给的条件，忽视了，由于，所以b应为斜边，而不是c正解:因为，故第三边长为 6二、注意定理

2、的应用条件例2 已知中，三边长a、b、c为整数，其中a=3，b=4，求第三边c的长错解: 由勾股定理，得，（）分析: 勾股定理使的条件必须是在直角三角形中，本题解法是受“勾3股4弦5 ”的影响，错把当成直角三角形，导致错误的使用勾股定理正解: 由三角形三边关系可得，又c为整数，c的长应为2、3、4、5或6三、注意定理和逆定理的区别 例3 判断下列三条线断能否构成直角三角形：a=3、b=4、c=5错解:，即，所以根据勾股定理可知，a、b、c能构成直角三角形分析: 本题错在在解题依据上混淆了定理和逆定理的条件结论，勾股定理是由“形”推得“数”，而逆定理则是由“数”推得“形”因此不可混用正解: ，即

3、，由勾股定理逆定理可知，三条线段能构成直角三角形四、注意解题语言叙述例4 已知三角形的三边长为5、12、13，试说明三角形是直角三角形错解:因为直角边是5和12，斜边是13 ，所以，故三角形是直角三角形分析:解法中错在一开始就明示了“直角边”和“斜边”，事实上只有在三角形是直角三角形的条件下才能称其为“直角边”、“斜边”正解:，满足，由由勾股定理逆定理可知， 三角形是直角三角形五、注意分类讨论例5 在rt中，已知两边长为3、4，求第三边的长错解: 因为是直角三角形，的第三边长为分析: 本题错在只考虑3、4为直角边的可能，而忽视了4也可以作为斜边的情况，因此须分类讨论正解:(1)若4为直角边，则

4、第三边的长为;(2) 若4为斜边， 则第三边的长为故第三边长为5或例6已知在中，ab=4，ac=3，bc边上的高等于24，求的周长错解:如图1所示， 由勾股定理，得，的周长为分析:上面解法中，只考虑了三角形的高在三角形内部的情况，忽视了高在形外的情况，即当是钝角三角形时因此须分类讨论正解: 由勾股定理，得，(1)若是锐角(如图1)，则，这时的周长为;(2) 若是钝角(如图2)，则，这时的周长为所以的周长为12或例7已知在rt中，两直角边的长为20和15，求bd的长错解: 如图3所示，由题意根据勾股定理，得，又由面积法可得，在rt中，由勾股定理得bd=分析:本题错在只考虑了ab的长是20的可能，忽视了ac的长也可能为20的情况因此须分两种情况求解正解: 由题意根据勾股定理，得，又由面积法可得，(1)当ab=20时，如图3，bd=(2) 当ac=20时，如图4，bd=所以bd的长为16或9 当然，应用勾股定理解题时的错误不仅仅上述这些，错误也多种