万有引力与航天题型归纳一中

1、万有引力与航天题型总结题型一、求天体的质量（或密度）1 .根据天体表面上物体的重力近似等于物体所受的万有引力，由中m g、r分别表示天体的质量、天体表面的重力加速度和天体的半径.已知一名宇航员到达一个星球 ，在该星 球的赤道上用弹簧秤测量一物体的重力为g,在 两极用弹簧秤测量该物体的重力为 g2,经测量该星球的半径为 设星球的质量为m,物体在两极的重力等于万有引力，即r,物体的质量为g2,m.求：该星球的质量解得m gr2.gm2 .根据绕中心天体运动的卫星的运行周期和轨道半径，求中心天体的质量卫星绕中心天体运动的向心力由中心天体对卫星的万有引力提供，利用牛顿第二定律得2vm - mrr42h

2、. mr.若已知卫星的轨道半径t2或线速度v,可求得中心天体的质量为m2rvr和卫星的运行周期t、角速度2 3rgt2例1、下列几组数据中能算出地球质量的是（万有引力常量a.地球绕太阳运行的周期t和地球中心离太阳中心的距离b.月球绕地球运行的周期t和地球的半径rc.月球绕地球运动的角速度和月球中心离地球中心的距离d.月球绕地球运动的周期t和轨道半径rg是已知的）（cd）r解析要区分天体半径和天体圆周运动的轨道半径.已知地球绕太阳运行的周期和地球的轨道半径只能求出太阳的质量，而不能求出地球的质量，所以a项不对.已知月球绕地球运行的周期和地球的半径，不知道月球绕地球的轨道半径，所以不能求地球的质量

3、，所以b项不对.已知月球绕地球运动的角速度和轨道半径，由gmm rmr 2可以求出中心天体地球的质量，所以c项正确.由gmm rmr 4;求得地球质量为mt22 34 r 一厂，所以gt2d项正确.例2.天文学家新发现了太阳系外的一颗行星。这颗行星的体积是地球的4.7倍，是地球的25倍。已知某一近地卫星绕地球运动的周期约为1.4小时，引力常量 g=6.67x10-11n- n2/kg,由此估算该行星的平均密度为（ d ）a.1.8 x 103kg/m3b. 5.6 x 103kg/m3c. 1.1 x 104kg/m3d.2.9x104kg/m3解析：本题考查天体运动的知识.首先根据近地卫星饶

4、地球运动的向心力由万有引力提供g 吗 m 4-r,可求出地的质量.然后根据现,可得该行星的密度约为2.9 xr2t24 r3104kg/m3。例3. 14年9月1日，美国“火星大气与挥发演化”探测器进入火星表面的轨道，周期为4.5天,试求出火星密度。3.答案：理论值为 0.49g/cm 3.题型二、人造地球b星的运动参量与轨道半径的关系问题2mr/ magm 可得v .,r由此可得线速度vgm3 , t r,234 rgm,a,gmr2与轨道半径的平方根成反比；角速度与轨道半径的立方的平方根成反比,根据人造卫星的动力学关系 g雪 m mr 2r r周期t与轨道半径的立方的平方根成正比；加速度a

5、与轨道半径的平方成反比.例1、两颗人造卫星 a、b绕地球做圆周运动，周期之比为ta：tb 1:8,则轨道半径之比和运动速率之比分别为（）a. ra：rb4：1,va：vb1 ： 2b.ra：rb4：1,va： vb2:1c.ra： rb1：4,va：vb2： 1d.ra：rb1：4,va：vb1:22 3解析由t 4-可得卫星的运动周期与轨道半径的立方的平方根成正比，由 .gmta ：tb 1:8可得轨道半径 ra：rb 1:4,然后再由vgm得线速度va ：vb 2 :1。所以 r正确答案为c项.例2、如图1所示,a、b是两颗绕地球做匀速圆周运动的人造卫星，它们距地面的高度分别是r和2r（r

6、为地球半 径）.下列说法中正确的是（b ）a.a、b的线速度大小之比是石：1 b.a 、b的周期之比是1 ： 2 j2c.a、b的角速度大小之比是3： 4j6d.a、b的向心加速度大小之比是9： 4例3.在美国东部时间2009年2月10日上午11时55分（北京时间11日0时55分），美国一颗质量约为560 kg的商用通信卫星“钺 33”与俄罗斯一颗已经报废的质量约为900 kg军用通信卫星“宇宙2251”相撞，碰撞发生的地点在俄罗斯西伯利亚上空，同时位于国际空间站轨道上方434千米的轨道上，如图 448所示.如果将卫星和空间站的轨道都近似看做圆形，则在相撞前一瞬间下列说法正确的是（d ）a.

7、“钺33”卫星比“宇宙 2251”卫星的周期大b. “钺33”卫星比国际空间站的运行速度大c. “钺33”卫星的运行速度大于第一宇宙速度d. “宇宙2251”卫星比国际空间站的角速度小答案：d例4、发射人造卫星是将卫星以一定的速度送入预定轨道。发射场一般选择在尽可能靠近赤道的地方，这样选址的优点是，在赤道附近（b ）a.地球的引力较大b.地球自转线速度较大c.重力加速度较大d.地球自转角速度较大的物体的解析：由于发射卫星需要将卫星以一定的速度送入运动轨道，在靠进赤道处的地面上线速度最大，发射日较节能，因此 b正确。题型三、地球同步卫星问题卫星在轨道上绕地球运行时，其运行周期（绕地球一圈的时间）

8、与地球的自转周期相同，这4，一，一，mr -2-得人造地球同步卫t23.6 104km，利用种卫星轨道叫地球同步轨道，其卫星轨道严格处于地球赤道平面内，运行方向自西向东，运动周期为23小时56分（一般近似认为周期为 24小时），由6雪 r星的轨道半径r 4.24 104km ,所以人造同步卫星离地面的高度为mm g r2v i、 .、 m可得它运行的线速度为3.07 km/s.总之，不同的人造地球同步卫星的轨道、线r速度、角速度、周期和加速度等均是相同的.不一定相同的是卫星的质量和卫星所受的万有引力.人造地球同步卫星相对地面来说是静止的，总是位于赤道的正上空，其轨道叫地球静止轨例1、关于“亚洲

9、一号”地球同步通讯卫星，下述说法正确的是（ d ）a.已知它的质量是1.24 t ,若将它的质量增为 2.84 t ,其同步轨道半径变为原来的2倍b.它的运行速度为 7.9 km/sc.它可以绕过北京的正上方，所以我国能利用其进行电视转播d.它距地面的高度约为地球半径的5倍，所以卫星的向心加速度约为其下方地面上物体的重力加，1速度的36解析同步卫星的轨道半径是一定的，与其质量的大小无关.所以a项错误.因为在地面附近绕地球做匀速圆周运动的卫星的速度近似等于7.9 km/ s ,而卫星的线速度随轨道半径的增大而减小，所以同步卫星的线速度一定小于7.9 km/s,实际计算表明它的线速度只有3.07

10、km/s 。所以b项错误.因同步卫星的轨道在赤道的正上方，北京在赤道以北，所以同步轨道不可能过北京的正上方.所以c项错误.同步卫星的向心加速度 agm物体在地面上的重力加速度gm1一2-,依题意r 6r,所a g。r2363亿年前地球自转的周期约为22小时.假设例2. 2014 天津卷研究表明，地球自转在逐渐变慢,这种趋势会持续下去，地球的其他条件都不变，未来人类发射的地球同步卫星与现在的相比（a ）d .角速度变大a.距地面的高度变大 b .向心加速度变大c .线速度变大题型四、求天体的第一宇宙速度问题在其他的星体上发射人造卫星时，第一宇宙速度也可以用类似的方法计算，即gmvvrg，式中的m

11、 r g分别表示某星体的质量、半径、星球表面的重力加速度.例1、若取地球的第一宇宙速度为8 km/s ,某行星的质量是地球质量的6倍，半径是地球的1.5倍，这顺行星的第一宇宙速度约为（）a. 2 km/s b. 4 km/s c. 16 km/s d. 32 km/s2解析由gm- ml得v j 8 m/s ,某行星的第一宇宙速度为r2r . rgm 6gmv .16 m/s，r . 1.5r1 . 2014 江妫卷已知地球的质量约为火星质量的 器在火星表面附近绕火星做匀速圆周运动的速率约为10倍，地球的半径约为火星半径的2倍，则航天（a ）a. 3.5 km/sb . 5.0 km/s,17

12、.7 km/sd . 35.2 km/s例2、如图是“嫦娥一号”奔月示意图，卫星发射后通过自带的小型火箭多次变轨，进入地月转移轨道，最终被月球引力捕获，成为绕月卫星，并开展对月球的探测.下列说法正确的是（c）a.发射“嫦娥一号”的速度必须达到第三宇宙速度b.在绕月圆轨道上，卫星周期与卫星质量有关c.卫星受月球的引力与它到月球中心距离的平方成反比d.在绕月圆轨道上，卫星受地球的引力大于受月球的引力解析“嫦娥一号”要想脱离地球的束缚而成为月球的卫星月亮,其发射速度必须达到第二宇宙速度若发射速度达到第三宇宙速度，“嫦娥一号”将脱离太阳系的束缚 ，故选项a错误；在绕月球运动时，月球对卫星的万有引力完全

13、提供向心力，则g2mm 4 冗 rt2,t 2 7,即卫星周期与.gm卫星的质量无关，故选项b错误；卫星所受月球的引力6雪，故选项c正确；在绕月圆轨道 r上，卫星受地球的引力小于受月球的引力，故选项d错误.3. （2009福建，14） “嫦娥一号”月球探测器在环绕月球运行过程中，设探测器运行的轨道半径为r,运行速率为v,当探测器在飞越月球上一些环形山中的质量密集区上空时a. r、v都将略为减小c. r将略为减小，v将略为增大b. r、v都将保持不变d. r将略为增大，v将略为减小解析：当探测器飞越月球上一些环形山中的质量密集区的上空时，相当于探测器和月球重心间的距离变小了,由万有引力定律f=g

14、mm2可知，探测器所受月球的弓i力将增大，这时的a、b、引力略大于探测器以原来轨道半径运行所需要的向心力，探测器将做靠近圆心的运动，使轨 道半径略为减小，而且月球的引力对探测器做正功，使探测器的速度略微增加，故 d选项错误，c选项正确.答案：c题型五、人造卫星的变轨问题发射人造卫星要克服地球的引力做功，发射的越高，克服地球的引力做功越多，发射越困a,然后通过点火加难.所以在发射同步卫星时先让它进入一个较低的近地轨道（停泊轨道）速，使之做离心运动，进入一个椭圆轨道（转移轨道） b,当卫星到达椭圆轨道的远地点时，再 次通过点火加速使其做离心运动，进人同步轨道co例1、如图所示，轨道 a与轨道b相切

15、于p点，轨道b与轨道c相切于q点，以下说法正确的是（a.卫星在轨道b上由p向q运动的过程中速率越来越小b.卫星在轨道c上经过q点的速率大于在轨道a上经过p点的速率c.卫星在轨道b上经过p时的向心加速度与在轨道 a上经过p点的向心加速度是相等d.卫星在轨道b上经过q点时受到地球的引力小于经过 p点的时受到地球的引力解析卫星在轨道b上由p到q的过程中，远离地心，克服地球的引力做功，所以要做减速运动，所以速率是逐渐减小的，a项正确.卫星在 a、c轨道上运行时，轨道半径不同，根据gmv j可知轨道半径越大，线速度小，所以有 vp vq,所以b项错误.卫星在 a b两轨道上经过p点时，离地心的距离相等，

16、受地球的引力相等，所以加速度是相等的，c项正确、卫星在轨道b上经过q点比经过p点时离地心的距离要远些，受地球的引力要小些，所以d项正确.例2.探测器绕月球做匀速圆周运动，变轨后在周期较小的轨道上仍做匀速圆周运动，则变轨后 与变轨前相比（a ）a.轨道半径变小b.向心加速度变小c.线速度变小d.角速度变小3 ,2007 年 10 月 24日18时05分，我国成功发射了 “嫦娥一号”探月卫星.卫星经过八次点火变轨后，绕月球做匀速圆周运动.图中所示为探月卫星运行轨迹的示意图（图中1、2、38为卫星运行中的八次点火位置）卫星第2、3、4次点火选择在绕地球运行轨道的近地点，是为了有效地利用能源，提高远地

17、点高度；卫星沿椭圆轨道由近地点向远地点运动的过程中，加速度逐渐增大，速度逐渐减小；卫星沿椭圆轨道由近地点向远地点运动的过程中，机械能守恒；卫星沿椭圆轨道由远地点向近地点运动的过程中，卫星中的科考仪器处于超重状态；卫星在靠近月球时需要紧急制动被月球所捕获，为此实施第6次点火，则此次发动机喷气方向与卫星运动方向相反.上述说法正确的是（d ）a.b.c.d.题型六、人造天体的交会对接问题交会对接指两个航天器（宇宙飞船、航天飞机等）在太空轨道会合并连接成一个整体.空间 交会对接技术包括两部分相互衔接的空间操作，即空间交会和空间对接.所谓交会是指两个或 两个以上的航天器在轨道上按预定位置和时间相会，而对

18、接则为两个航天器相会后在结构上连 成一个整体.例1、关于航天飞机与空间站对接问题，下列说法正确的是（）a.先让航天飞机与空间站在同一轨道上，然后让航天飞机加速，即可实现对接b.先让航天飞机与空间站在同一轨道上，然后让航天飞机减速，即可实现对接c.先让航天飞机进入较低的轨道，然后再对其进行加速，即可实现对接 d.先让航天飞机进入较高的轨道，然后再对其进行加速，即可实现对接解析航天飞机在轨道运行时，若突然对其加速时，地球对飞机的万有引力不足以提供航天 飞机绕地球做圆周运动的向心力，航天飞机就会做离心运动，所以选项a、r d不可能实现对接。正确答案为c项。题型七、双星问题两颗质量可以相比的恒星相互绕

19、着旋转的现象，叫做双星.双星中两棵子星相互绕着旋转看 作匀速圆周运动的向心力由两恒星间的万有引力提供.由于力的作用是相互的，所以两子星做 圆周运动的向心力大小是相等的，因两子星绕着连线上的一点做圆周运动，所以它们的运动周 期是相等的，角速度也是相等的，线速度与两子星的轨道半径成正比.例1、两棵靠得很近的天体称为双星，它们都绕两者连线上某点做匀速圆周运动，因而不至于由于万有引力而吸引到一起，以下说法中正确的是（）a.它们做圆周运动的角速度之比与其质量成反比b.它们做圆周运动的线速度之比与其质量成反比c.它们做圆周运动的半径与其质量成正比d.它们做圆周运动的半径与其质量成反比解析两子星绕连线上的某

20、点做圆周运动的周期相等，角速度也相等.由 v r得线速度与两 子星圆周运动的半径是成正比的.因为两子星圆周运动的向心力由两子星间的万有引力提供， 向心力大小相等，由 g m：m 2 mji 2可知mg 2m 2 r2 2,所以它们的轨道半径与它们的质量是成反比的.而线速度又与轨道半径成正比，所以线速度与它们的质量也是成反比 的.正确答案为 b、d选项.例2. （2010重庆理综卷第16题）.月球与地球质量之比约为 1 ： 80 ,有研究者认为月球和地球可视为一个由两质点构成 的双星系统，它们都围绕月地连线上某点o做匀速圆周运动。据此观点，可知月球与地球绕 o点运动的线速度大小之比约为 （c ）

21、a 1 : 6400b 1： 80c 80： 1d 6400： 1例3 . （ 2012 重庆理综）冥王星与其附近的另一星体卡戎可视为双星系统，质量比约为 7 ： 1 ,同时 绕它们连线上某点 o做匀速圆周运动，由此可知，冥王星绕o点运动的）（a ）11a.轨道半径约为卡戎的 7b.角速度大小约为卡戎的7c .线速度大小约为卡戎的7倍d .向心力大小约为卡戎的7倍例4. （2010全国理综1 ）如图，质量分别为 m和m的两个星球 a和b在引力作用下都绕 。点做匀速圆周运动，星球 a和b两者中心之间的距离为 l。已知a、b的中心和o三点始终共线， a和b分别在o的两侧。引力常数为 go（1）求两

22、星球做圆周运动的周期：（2）在地月系统中，若忽略其他星球的影响，可以将月球和地球看成上述星球a和b,月球绕其轨道中心运行的周期为 t1o但在近似处理问题时，常常认为月球是绕地心做圆周运动的，这样算得的运行周期记为 t2o已知地球和月球的质量分别为5.98 x 120kg和7.35 x彳0kg。求t2与t1两者平方之比。（结果保留 3位小数）a和b的向心力相等。解析：a和b绕。做匀速圆周运动，它们之间的万有引力提供向心力，则 且a和b和o始终共线，说明 a和b有相同的角速度和周期。因此有涮加尸=加加区,产+ &=,连立解得檄十叔gmm对a根据牛顿第二定律和万有引力定律得t = 2h化简得72羽将

23、地月看成双星，由得将月球看作绕地心,做圆周运动，根据牛顿第二定律和万有引力定律得t2 = 2 界 化简得 .所以两种周期的平方比值为阳 + 时 59天工10祸 +7.35xw2j= 1.01ma向_ 4mr一2，式中 r、mt2题型八、地面上物体随地球自转做圆周运动问题因地球自转，地球赤道上的物体也会随着一起绕地轴做圆周运动，这时物体受地球对物体的 万有引力和地面的支持力作用，物体做圆周运动的向心力是由这两个力的合力提供，受力分析 如图所示.实际上，物体受到的万有引力产生了两个效果，一个效果是 维持物体做圆周运动，另一个效果是对地面产生了压力的作 用，所以可以将万有引力分解为两个分力：一个分力

24、就是物体 做圆周运动的向心力，另一个分力就是重力，如图所示.这个 重力与地面对物体的支持力是一对平衡力.在赤道上时这些力 在一条直线上.在赤道上的物体随地球自转做圆周运动时，由万有引力定律和牛顿第二定律可得其动力学关系为gm2 n mr 2r、t分别为地球的半径、质量、自转角速度以及自转周期。当赤道上的物体“飘”起来时 ，必须有地面对物体的支持力等于零，即n=0,这时物体做圆周运动的向心力完全由地球对物体的万有引力提供.由此可得赤道上的物体“飘”起来的条件是：由地球对物体的万有引力提供向心力。以上的分析对其它的自转的天体也是适用的。例1、地球赤道上的物体重力加速度为g,物体在赤道上随地球自转的

25、向心加速度为a,要使赤道上的物体“飘”起来，则地球转动的角速度应为原来的（）解析设地球原来自转的角速度为 对物体的支持力，由牛顿第二定律得i4冗2a. 3gi32b. 4 tgc.i3冗一2d. g1,用f表示地球对赤道上的物体的万有引力 ，n表示地面2f n mr 1 ma 而物体受到的支持力与物体的重力是一对平衡力，所以有n g mg 当当赤道上的物体“飘”起来时，只有万有引力提供向心力，设此时地球转动的角速度为有f mr 22 联立、三式可得 jg一a ,所以答案为ria例2. （2010北京理综）一物体静置在平均密度为p的球形天体表面的赤道上。已知万有引力常量为g,若由于天体自转使物体

26、对天体表面压力恰好为零，则天体自转周期为（d ）赤道表面的物体对天体表面的压力为零，说明天体对物体的万有引力恰好等于物体随天体转动g4 r3m 22i所需要的向心力，有 -：一 m r,化简得t r2t g例3. （20i0上海物理）月球绕地球做匀速圆周运动的向心加速度大小为a,设月球表面的重力加速度大小为gi ,在月球绕地球运行的轨道处由地球引力产生的加速度大小为g2，则a. gi a b . g2 a c . gi g2 a d . g2 gl a 答案：b例4. （2009 江苏物理）英国新科学家（new scientist ）杂志评选出了 2008年度世界8项科学之最，在xteji650-500 双星系统中发现的最小黑洞位列其中，若某黑洞的半径r约45km ,质mc2量m和半径r的关系满足 （其中c为光速，g为引力常量），则该黑洞表面重力加速度r 2g的数量级为802102122142a. iu m/s b . i0 m/s c . i0 m/s d . i0 m/s答案：c5. （20i2 新课标理综）假设地球是一半径为r、质量分布均匀的球体。一矿