常见的勾股数及公式

1、常见的勾股数及公式武安市黄冈实验学校翟升华搜集整理我们知道，如果/ C=90，a、b、c是直角三角形的三边，那么由勾股定理，得 a2+b2=c2； 反之，假设三角形的三边a、b、c满足a2+b2=c2，那么该三角形是直角三角形，c为斜边与此 相类似，如果三个正整数a、b、c满足a2+b2=c2，那么称a、b、c为勾股数，记为(a，b, c).勾 股数有无数多组，下面向同学们介绍几种：一、三数为连续整数的勾股数(3, 4, 5)是我们所熟悉的一组三数为连续整数的勾股数，除此之外是否还有第二组 或更多组呢？设三数为连续整数的勾股数组为(x-1，X, x+1 )，那么由勾股数的定义，得(x+1) 2

2、+x2= (x+1) 2，解得x =4或x =0(舍去)，故三数为连续整数的勾股数只有一组(3， 4，5);类似有3n,4n,5n(n是正整数)都是勾股数。二、后两数为连续整数的勾股数易知：(5， 12， 13) ， (9， 40， 41) ， (113， 6338， 6385)，, 都是勾股数，如此许许多多的后两数为连续整数的勾股数，它的一般形式究竟是什么呢？ a=2n+1,b=2n2+2n,c=2n2+2n+1 (其特点是斜边与其中一股的差为 1).分别取n =1,2,3,就得勾股数组(3,4,5),(5,12,13),(7,2 4,25),三、前两数为连续整数的勾股数你知道(2 0,2

3、1,2 9 ),(119,120,169),( 4 0 5 9,4 0 6 0,5 7 4 1 )，这些都是前两数为连续整数的勾股数组。 其公式为：(x ,x +1, 2x2 2x 1 ) (x为正整数)。设前两数为连续整数的勺勾股数组为(x,x+1, y),y= 2x22x 1 那么 x2x 1 2 y2(*)整理，得2x21,又12 12x 12 =y ,化为2x 12 2y21 ,即 2x1. 2y 2x 1.2y =2 =- 1,A1 2n 122n 11 2= 1(nN),故取2x 1、-2y =1 22n 12x 1.2y = 2n 112 ,解之，得x =1 11+ 12 2n1

4、 -2,込 y =2n 112 1,22n1 ,44故前两数为连续整数的勺勾股数组是(1l 2n1 21 + 1 22n 112,2n 11 2442n 1+ 1 2 -2+1，212n 122r1 21 1)4四、后两数为连续奇数的勾股数2 2如(8 , 15, 17),(12 , 35, 37)其公式为：4(n+1),4(n+1) -1,4(n+1) +1(n 是正整数).五、其它的勾股数组公式：1.a=2m,b=mi 1,c=m2+1 m大于 1 的整数.=1 rn n2 ,b=mn,c =丄吊+n2其中 mn 2 2且是互质的奇数.=2m,b=rh n2,c=m2+n2 mn,互质且一

5、奇一偶的任意正整数 下面我们把100以内的勾股数组列出来，供同学们参考：34 5; 512 13; 6810; 72425; 81517; 9 1215; 940 41; 102426; 116061; 12 16 20；12 35 37; 13 84 85; 14 48 50; 15 20 25; 15 36 39; 15112 113; 1630 34; 1663 6517144 145; 1824 30; 18 80 82; 19 180 181; 2021 29; 20 48 52; 20 99101; 2128 3521 72 75; 21 220 221; 22120 122; 2

6、3264 265; 2432 40; 24 45 51; 24 7074; 24 143 1452560 65; 25 312 313; 26168 170 ; 2736 45 ; 27120 123 ; 27364 365 ; 2845 53; 28 9610028195197;29420 421;304050 ; 30 72 78 ;30 224 226 ;31480 481 ;3260 68;32 12613032255 257;3344 55;33 5665 ;33 180 183 ;33544 545;34288 290 ;3584 91 ;35 12012535612 613;36

7、48 60 ;36 7785 ;36 105 111 ;36160 164;36323 325 ;37684 685;38360 3623952 65;39 8089 ; 39 252 255 ; 39760 761 ;4042 58 ;40 7585; 40 96104; 40198 20240399 401 ;41840 841;4256 70 ;42 144 150; 42440 442 ; 43924 925 ;44117125;44240 24444483 485 ;4560 75 ;45 108 117 ; 45200 205 ; 45336 339 ; 46528 530 ;48

8、55 73 ;48 64804890 102;48140148;48189 195 ;48286 290 ;48575 577 ;49168175; 50120 130 ; 50624 6265168 85 ;51 140149 ; 51432 435; 52165173; 52336 340 ; 52675 677 ;5472 90 ;54 240 24654728 730 ;55132143;55300 305 ;5690 106 ;56105 119 ;56192200; 56390 394 ; 56783 7855776 95 ;57176185 ; 57540 543; 58840

9、842 ; 6063 87 ; 60 80100 ; 6091 109;6014460221 229;60297 303 ;60448 452 ;60899 901 ;62960962; 6384105 ; 63216 22563280 287 ;63660 663 ;64120 136;64252 260 ;64510 514;657297; 65 156 169; 65420 4256688 110 ; 66112 130 ; 66360 366; 68285 293 ; 68576 580 ; 6992115 ; 69260 269 ; 69792 795701

10、68182;70240 250 ;7296 120 ;72135 153 ;72154 170 ;72210222; 72320 328 ; 72429 43572646 650 ;75100125;75180 195 ;75308 317 ;75560 565 ;75936939; 76357 365 ; 76720 72477 264 275；77420 427；78104 130；78160 178；78504 510；8084116；80150 170；80192 20880315 325；80396 404；80798 802；81108 135；81360 369；84112140

11、；84135 159；84187 20584245 259；84288 300；84 437 445；84585 591；84880 884；85132157；85204 221；85720 72587116 145；87 416 425；88105 137；88165 187；88234 250；88480488；88966 970；90120 15090216 234；90400 410；90672 678；91312 325；91588 595；92525533；93124 155；93476 48595168 193；95 228 247；95900 905；96110 146；961

12、28 160；96180204；96247 265；96280 29696378 390；96572 580；96765 771；98336 350；99132 165；99168195；99440 451；99540 549100 105 145；0；100 495 505；9. 以下是大于 100 的勾股数： 第 223 组： 102 136 170 第 224 组： 102 280 298 第 225 组： 102 864 870 第 226 组： 104 153 185 第 227 组： 104 195 221 第 228 组： 104 330 346 第 229 组： 104 672

13、 680 第 230 组： 105 140 175 第 231 组： 105 208 233 第 232 组： 105 252 273 第 233 组： 105 360 375 第 234 组： 105 608 617 第 235 组： 105 784 791 第 236 组： 108 144 180 第 237 组： 108 231 255 第 238 组： 108 315 333 第 239 组： 108 480 492 第 240 组： 108 725 733 第 241 组： 108 969 975 第 242 组： 110 264 286 第 243 组： 110 600 610 第

14、 244 组： 111 148 185 第 245 组： 111 680 689 第 246 组： 112 180 212 第 247 组： 112 210 238 第 248 组： 112 384 400 第 249 组： 112 441 455 第 250 组： 112 780 788 第 251 组： 114 152 190 第 252 组： 114 352 370第 253 组 第 254 组 第 255 组 第 256 组 第 257 组 第 258 组 第 259 组 第 260 组 第 261 组 第 262 组 第 263 组 第 264 组 第 265 组 第 266 组 第

15、 267 组 第 268 组 第 269 组 第 270 组 第 271 组 第 272 组 第 273 组 第 274 组 第 275 组 第 276 组 第 277 组 第 278 组 第 279 组 第 280 组 第 281 组 第 282 组 第 283 组 第 284 组 第 285 组 第 286 组 第 287 组 第 288 组 第 289 组 第 290 组 第 291 组 第 292 组 第 293 组 第 294 组 第 295 组 第 296 组 第 297 组 第 298 组115 252 277115 276 299116 837 845117 156 19511

16、7 240 267117 520 533117 756 765119 120 169119 408 425120 126 174120 160 200120 182 218120 209 241120 225 255120 288 312120 350 370120 391 409120 442 458120 594 606120 715 725120 896 904121 660 671123 164 205123 836 845124 957 965125 300 325126 168 210126 432 450126 560 574128 240 272128 504 520129 1

17、72 215129 920 929130 144 194130 312 338130 840 850132 176 220132 224 260132 351 375132 385 407132 475 493132 720 732133 156 205133 456 475135 180 225135 324 351第 299 组 第 300 组 第 301 组 第 302 组 第 303 组 第 304 组 第 305 组 第 306 组 第 307 组 第 308 组 第 309 组 第 310 组 第 311 组 第 312 组 第 313 组 第 314 组 第 315 组 第 31

18、6 组 第 317 组 第 318 组 第 319 组 第 320 组 第 321 组 第 322 组 第 323 组 第 324 组 第 325 组 第 326 组 第 327 组 第 328 组 第 329 组 第 330 组 第 331 组 第 332 组 第 333 组 第 334 组 第 335 组 第 336 组 第 337 组 第 338 组 第 339 组 第 340 组 第 341 组 第 342 组 第 343 组 第 344 组135 352 377135 600 615136 255 289136 273 305136 570 586138 184 230138 520

19、 538140 147 203140 171 221140 225 265140 336 364140 480 500140 693 707140 975 985141 188 235143 780 793143 924 935144 165 219144 192 240144 270 306144 308 340144 420 444144 567 585144 640 656144 858 870145 348 377145 408 433147 196 245147 504 525150 200 250150 360 390150 616 634152 285 323152 345 37

20、7152 714 730153 204 255153 420 447153 680 697154 528 550154 840 854155 372 403155 468 493156 208 260156 320 356156 455 481156 495 519第 345 组 第 346 组 第 347 组 第 348 组 第 349 组 第 350 组 第 351 组 第 352 组 第 353 组 第 354 组 第 355 组 第 356 组 第 357 组 第 358 组 第 359 组 第 360 组 第 361 组 第 362 组 第 363 组 第 364 组 第 365 组

21、 第 366 组 第 367 组 第 368 组 第 369 组 第 370 组 第 371 组 第 372 组 第 373 组 第 374 组 第 375 组 第 376 组 第 377 组 第 378 组 第 379 组 第 380 组 第 381 组 第 382 组 第 383 组 第 384 组 第 385 组 第 386 组 第 387 组 第 388 组 第 389 组 第 390 组156 667 685159 212 265160 168 232160 231 281160 300 340160 384 416160 630 650160 792 808161 240 2891

22、61 552 575162 216 270162 720 738165 220 275165 280 325165 396 429165 532 557165 900 915168 224 280168 270 318168 315 357168 374 410168 425 457168 490 518168 576 600168 775 793168 874 890170 264 314170 408 442171 228 285171 528 555171 760 779174 232 290174 832 850175 288 337175 420 455175 600 625176

23、210 274176 330 374176 468 500176 693 715176 960 976177 236 295180 189 261180 240 300180 273 327180 299 349第 391 组 第 392 组 第 393 组 第 394 组 第 395 组 第 396 组 第 397 组 第 398 组 第 399 组 第 400 组 第 401 组 第 402 组 第 403 组 第 404 组 第 405 组 第 406 组 第 407 组 第 408 组 第 409 组 第 410 组 第 411 组 第 412 组 第 413 组 第 414 组 第

24、415 组 第 416 组 第 417 组 第 418 组 第 419 组 第 420 组 第 421 组 第 422 组 第 423 组 第 424 组 第 425 组 第 426 组 第 427 组 第 428 组 第 429 组 第 430 组 第 431 组 第 432 组 第 433 组 第 434 组 第 435 组 第 436 组180 385 425180 432 468180 525 555180 663 687180 800 820180 891 909182 624 650183 244 305184 345 391184 513 545185 444 481185 67

25、2 697186 248 310186 952 970189 252 315189 340 389189 648 675189 840 861190 336 386190 456 494192 220 292192 256 320192 360 408192 494 530192 560 592192 756 780195 216 291195 260 325195 400 445195 468 507195 748 773196 315 371196 672 700198 264 330198 336 390198 880 902200 210 290200 375 425200 480 5

26、20200 609 641201 268 335203 396 445203 696 725204 253 325204 272 340204 560 596第 437 组 第 438 组 第 439 组 第 440 组 第 441 组 第 442 组 第 443 组 第 444 组 第 445 组 第 446 组 第 447 组 第 448 组 第 449 组 第 450 组 第 451 组 第 452 组 第 453 组 第 454 组 第 455 组 第 456 组 第 457 组 第 458 组 第 459 组 第 460 组 第 461 组 第 462 组 第 463 组 第 464

27、 组 第 465 组 第 466 组 第 467 组 第 468 组 第 469 组 第 470 组 第 471 组 第 472 组 第 473 组 第 474 组 第 475 组 第 476 组 第 477 组 第 478 组 第 479 组 第 480 组 第 481 组 第 482 组204 595 629204 855 879205 492 533205 828 853207 224 305207 276 345207 780 807207 920 943208 306 370208 390 442208 660 692208 819 845210 280 350210 416 466

28、210 504 546210 720 750213 284 355215 516 559215 912 937216 288 360216 405 459216 462 510216 630 666216 713 745216 960 984217 456 505217 744 775219 292 365220 231 319220 459 509220 528 572220 585 625222 296 370224 360 424224 420 476224 768 800224 882 910225 272 353225 300 375225 540 585225 924 951228

29、 304 380228 325 397228 665 703228 704 740230 504 554第 483 组 第 484 组 第 485 组 第 486 组 第 487 组 第 488 组 第 489 组 第 490 组 第 491 组 第 492 组 第 493 组 第 494 组 第 495 组 第 496 组 第 497 组 第 498 组 第 499 组 第 500 组 第 501 组 第 502 组 第 503 组 第 504 组 第 505 组 第 506 组 第 507 组 第 508 组 第 509 组 第 510 组 第 511 组 第 512 组 第 513 组

30、第 514 组 第 515 组 第 516 组 第 517 组 第 518 组 第 519 组 第 520 组 第 521 组 第 522 组 第 523 组 第 524 组 第 525 组 第 526 组 第 527 组 第 528 组230 552 598231 308 385231 392 455231 520 569231 792 825232 435 493232 825 857234 312 390234 480 534235 564 611237 316 395238 240 338238 816 850240 252 348240 275 365240 320 400240 3

31、64 436240 418 482240 450 510240 551 601240 576 624240 700 740240 782 818240 884 916240 945 975243 324 405245 588 637245 840 875246 328 410248 465 527248 945 977249 332 415250 600 650252 275 373252 336 420252 405 477252 539 595252 561 615252 735 777252 864 900255 340 425255 396 471255 612 663255 700

32、745256 480 544258 344 430第 529 组 第 530 组 第 531 组 第 532 组 第 533 组 第 534 组 第 535 组 第 536 组 第 537 组 第 538 组 第 539 组 第 540 组 第 541 组 第 542 组 第 543 组 第 544 组 第 545 组 第 546 组 第 547 组 第 548 组 第 549 组 第 550 组 第 551 组 第 552 组 第 553 组 第 554 组 第 555 组 第 556 组 第 557 组 第 558 组 第 559 组 第 560 组 第 561 组 第 562 组 第 5

33、63 组 第 564 组 第 565 组 第 566 组 第 567 组 第 568 组 第 569 组 第 570 组 第 571 组 第 572 组 第 573 组 第 574 组259 660 709259 888 925260 273 377260 288 388260 624 676260 651 701260 825 865261 348 435261 380 461264 315 411264 352 440264 448 520264 495 561264 702 750264 770 814264 950 986265 636 689266 312 410266 912 95

34、0267 356 445270 360 450270 648 702270 704 754272 510 578272 546 610273 364 455273 560 623273 736 785273 936 975275 660 715276 368 460276 493 565276 805 851279 372 465279 440 521280 294 406280 342 442280 351 449280 450 530280 525 595280 672 728280 759 809280 960 1000282 376 470285 380 475285 504 579第

35、 575 组 第 576 组 第 577 组 第 578 组 第 579 组 第 580 组 第 581 组 第 582 组 第 583 组 第 584 组 第 585 组 第 586 组 第 587 组 第 588 组 第 589 组 第 590 组 第 591 组 第 592 组 第 593 组 第 594 组 第 595 组 第 596 组 第 597 组 第 598 组 第 599 组 第 600 组 第 601 组 第 602 组 第 603 组 第 604 组 第 605 组 第 606 组 第 607 组 第 608 组 第 609 组 第 610 组 第 611 组 第 612

36、 组 第 613 组 第 614 组 第 615 组 第 616 组 第 617 组 第 618 组 第 619 组 第 620 组285 684 741285 880 925287 816 865288 330 438288 384 480288 540 612288 616 680288 741 795288 840 888290 696 754290 816 866291 388 485294 392 490295 708 767296 555 629297 304 425297 396 495297 504 585300 315 435300 400 500300 455 545300

37、 589 661300 720 780300 875 925301 900 949303 404 505304 570 646304 690 754305 732 793306 408 510306 840 894308 435 533308 495 583308 819 875309 412 515310 744 806310 936 986312 416 520312 459 555312 585 663312 640 712312 910 962315 420 525315 572 653315 624 699315 756 819第 621 组 第 622 组 第 623 组 第 62

38、4 组 第 625 组 第 626 组 第 627 组 第 628 组 第 629 组 第 630 组 第 631 组 第 632 组 第 633 组 第 634 组 第 635 组 第 636 组 第 637 组 第 638 组 第 639 组 第 640 组 第 641 组 第 642 组 第 643 组 第 644 组 第 645 组 第 646 组 第 647 组 第 648 组 第 649 组 第 650 组 第 651 组 第 652 组 第 653 组 第 654 组 第 655 组 第 656 组 第 657 组 第 658 组 第 659 组 第 660 组 第 661 组

39、第 662 组 第 663 组 第 664 组 第 665 组 第 666 组318 424 530319 360 481320 336 464320 462 562320 600 680320 768 832321 428 535322 480 578324 432 540324 693 765324 945 999325 360 485325 780 845327 436 545328 615 697330 440 550330 560 650330 792 858333 444 555333 644 725335 804 871336 377 505336 385 511336 448

40、560336 527 625336 540 636336 630 714336 748 820336 850 914339 452 565340 357 493340 528 628340 816 884341 420 541342 456 570344 645 731345 460 575345 756 831345 828 897348 464 580348 805 877350 576 674350 840 910351 468 585351 720 801352 420 548第 667 组 第 668 组 第 669 组 第 670 组 第 671 组 第 672 组 第 673 组

41、 第 674 组 第 675 组 第 676 组 第 677 组 第 678 组 第 679 组 第 680 组 第 681 组 第 682 组 第 683 组 第 684 组 第 685 组 第 686 组 第 687 组 第 688 组 第 689 组 第 690 组 第 691 组 第 692 组 第 693 组 第 694 组 第 695 组 第 696 组 第 697 组 第 698 组 第 699 组 第 700 组 第 701 组 第 702 组 第 703 组 第 704 组 第 705 组 第 706 组 第 707 组 第 708 组 第 709 组 第 710 组 第 7

42、11 组 第 712 组352 660 748352 936 1000354 472 590355 852 923357 360 507357 476 595360 378 522360 480 600360 546 654360 598 698360 627 723360 675 765360 770 850360 864 936363 484 605363 616 715364 585 689364 627 725365 876 949366 488 610368 465 593368 690 782369 492 615369 800 881370 888 962372 496 6203

43、72 925 997375 500 625375 900 975376 705 799378 504 630378 680 778380 399 551380 672 772380 912 988381 508 635384 440 584384 512 640384 720 816385 552 673387 516 645387 884 965390 432 582390 520 650390 800 890392 630 742第 713 组 第 714 组 第 715 组 第 716 组 第 717 组 第 718 组 第 719 组 第 720 组 第 721 组 第 722 组 第

44、 723 组 第 724 组 第 725 组 第 726 组 第 727 组 第 728 组 第 729 组 第 730 组 第 731 组 第 732 组 第 733 组 第 734 组 第 735 组 第 736 组 第 737 组 第 738 组 第 739 组 第 740 组 第 741 组 第 742 组 第 743 组 第 744 组 第 745 组 第 746 组 第 747 组 第 748 组 第 749 组 第 750 组 第 751 组 第 752 组 第 753 组 第 754 组 第 755 组 第 756 组 第 757 组 第 758 组392 735 833393

45、 524 655396 403 565396 528 660396 672 780396 847 935399 468 615399 532 665400 420 580400 561 689400 750 850402 536 670405 540 675406 792 890407 624 745408 506 650408 544 680408 765 867408 819 915411 548 685414 448 610414 552 690416 612 740416 780 884417 556 695420 441 609420 513 663420 560 700420 63

46、7 763420 675 795420 832 932420 851 949423 564 705424 795 901425 660 785426 568 710429 460 629429 572 715429 700 821429 728 845429 880 979432 495 657432 576 720432 665 793432 810 918435 580 725第 759 组 第 760 组 第 761 组 第 762 组 第 763 组 第 764 组 第 765 组 第 766 组 第 767 组 第 768 组 第 769 组 第 770 组 第 771 组 第 77

47、2 组 第 773 组 第 774 组 第 775 组 第 776 组 第 777 组 第 778 组 第 779 组 第 780 组 第 781 组 第 782 组 第 783 组 第 784 组 第 785 组 第 786 组 第 787 组 第 788 组 第 789 组 第 790 组 第 791 组 第 792 组 第 793 组 第 794 组 第 795 组 第 796 组 第 797 组 第 798 组 第 799 组 第 800 组 第 801 组 第 802 组 第 803 组 第 804 组438 584 730440 462 638440 525 685440 825

48、935441 588 735444 592 740447 596 745448 720 848448 840 952450 544 706450 600 750451 780 901453 604 755455 504 679455 528 697456 608 760456 650 794456 855 969459 612 765460 483 667462 616 770462 784 910464 777 905464 870 986465 620 775468 595 757468 624 780471 628 785473 864 985474 632 790475 840 965476 480 676476 765 901477