平面向量测试题及详解

1、平面向量11如图，在矩形 OACB中，E和 F分别是边 AC和BC的点，满足 AC3AE，BC3BF，若OCOEACOF其中，R，则BC0，且 AB AC 21，则 ABC的形状为 ( )| AB| | AC|2A等腰非等边三角形 B等边三角形C 三边均不相等的三角形 D直角三角形一、选择题1已知向量 a （1,1） ，b（2，x），若 ab与4b2a平行，则实数 x的值为 （ ） A 2 B0 C1 D22已知点 A（ 1,0） ， B（1,3） ，向量 a（2 k1,2） ，若AB a，则实数 k的值为 （ ） A 2 B1C 1D23如果向量 a（k,1）与 b（6，k1）共线且方向相反

2、，那么 k的值为 （）1A 3 B 2 C 74在平行四边形 ABCD中， E、F分别是 BC、CD的中点， DE交 AF于H，记AB、BC分别为 a、b，则AH（) a54ba45b524C 5a 5bD 25a 45b555已知向量a (1,1) ，b（2 ，n） ，若 | ab| ab，则n()A 3B 1 C1D36已知 P是边长为 2 的正 ABC边 BC上的动点，则 AP（AB AC）（）A最大值为 8 B 是定值 6 C 最小值为 2 D 与 P的位置有关7设 a，b都是非零向量，那么命题“ a与b共线”是命题“| ab|a|b|”的（）A充分不必要条件B 必要不充分条件 C 充

3、要条件 D 非充分非必要条件58.已知向量 a（1,2） ，b（2，4），|c| 5，若（ab）c2，则a与c的夹角为 （ ）A30B 60C 120D 15022x2y22x2y10，9设 O为坐标原点，点 A（1,1） ，若点 B（x，y）满足 1 x2，则OAOB取1 y2，12已知非零向量 AB与AC满足 AB |AB| | AC|第卷 （非选择题 共 90 分）二、填空题13平面向量 a与b的夹角为 60， a （2,0） ，|b|1，则|a2b| .14已知 a（2 ，1），b（3，） ，若 a，b为钝角，则 的取值范围是 15已知二次函数 y f （ x）的图像为开口向下的抛物线

4、，且对任意xR都有 f （1x）f （1x） 若向量 a（ m，1），b（ m， 2） ，则满足不等式 f（ab）f（1）的 m的取值范围为16.已知向量 a sin，41 ，b（cos，1），c（2，m）满足 ab 且（ ab） c，则实数 m三、解答题17已知向量 a（cosx，sin x） ，b （cos x， 3cos x） ，函数 f（x）ab，x0，（1） 求函数 f （ x）的最大值； （2） 当函数 f （x）取得最大值时，求向量 a与b夹角的大小无数得最大值时，点 B的个数是 （ ）A1B2 C 3D10 a， b 是不共线的向量，若AB1ab，ACa2b（1，2R），则 A

5、、 B、C三点共线的充要条件为 （ ）A12 1 B 1 21 C 1210D121018已知双曲线的中心在原点，焦点F1、F2在坐标轴上，离心率为2，且过点 (4， 10) (1) 求双曲线方程； (2) 若点 M(3 ， m)在双曲线上，求证 MF1MF20.19 ABC中，a、b、c 分别是角 A、B、C的对边，向量2m (2sin B, 2 cos2 B) ，n (2sin 2( 4 B) ， 1) ，m n.(1) 求角 B 的大小；(2) 若 a 3， b1，求 c 的值21已知OA(2asin2x，a)，OB(1,2 3sin xcosx1)，O为坐标原点， a0，设 f(x)O

6、AOB b，ba. (1) 若 a0，写出函数 yf (x) 的单调递增区间；(2) 若函数 yf(x)的定义域为 2 ， ，值域为 2,5 ，求实数 a与 b的值3x3xx20已知向量 a cos 2 ， sin 2 ， b cos2，xsin 2 ，且 x 2 ， (1) 求 ab及|a22已知点 M(4,0) ，N(1,0) ，若动点 P满足MNMP6|PN|.(1) 求动点 P的轨迹 C的方程；18 12(2) 设过点 N的直线 l 交轨迹 C于 A，B 两点，若 NANB ，求直线 l 的斜率的 75取值范围b|；平面向量答案1. 解 ab （3 ，x 1） ，4b2a （6,4 x

7、2），ab与 4b2a平行，634xx12，x2， 故选 D.2. 解AB （2,3） ，ABa，2（2k1）32 0， k 1，选 B. k 63. 解由条件知， 存在实数 0，使 a b， （ k,1）（6，（k1），k 1 1 k 3，故选 A.4. 解析 1 AF b 1a， DE a221b，设DH DE，则 DH1 a1b， AH ADDH a211 2 b， AH与AF共线且 a、b 不共线， 1 211122 2 4 ， AH a b.5 5 51，5. 解析 a b (3,1 n) ， | a b| 92n 1 2n22n10，10. 解析 A、B、C共线，AC，AB共线，根

8、据向量共线的条件知存在实数 使得AC AB，1 1即 a2b（ 1ab），由于 a， b不共线，根据平面向量基本定理得，消去 2得 12 1. 1 111. 解析 OFOBBFOB3OA，OEOAAEOA3OB，33 4 4 33333相加得 OE OF （ OA OB） OC， OC OE OF， .3 3 4444212. 解析 根据AB AC BC 0知，角 A的内角平分线与BC边垂直，说明三角形是等腰又 ab2n， |ab| ab， n22n10n2，解之得 n3，故选 D.6. 解析设 BC边中点为 D，则AP（AB AC） AP（2 AD） 2| AP| |AD| cos PAD2

9、| AD| 2 6.7. 解析 |ab|a|b|? a与 b方向相同，或 a、 b至少有一个为 0；而 a与 b共线包括 a 与 b 方向相反的情形， a、 b 都是非零向量，故选 B.8. 解析 由条件知 |a| 5，| b| 2 5，ab（1，2），|ab| 5，（ab）c 552， 5 5cos2，其中 为 ab与 c 的夹角， 60.aba，ab 与 a 方向相反， a 与 c 的夹角为 120.9. 解析 x2y22x2y10，即（x1） 2（y1） 21，画出不等式组表示的平面区域如图， OAOBxy，设 x yt ，则当直线 yx 平移到经过点 C时，t 取最大值，故这样的点 B

10、 有 1 个，即 C 点AB AC 1三角形，根据数量积的定义及 2可知 A120. 故三角形是等腰非等边的三角形| AB| | AC|21 2 2 213. 解析 ab | a| |b|cos60 21 21，|a2b|2|a| 24|b|24ab44 41 12，| a2b|2 3.314. 解析 a，b为钝角， ab3（2）460，2，当 a与 b方向3相反时， 3， f（1）得 f （ m2） f （3） ， f （ x）在1 ， ）上为减函数， m23， m1， m0， 0 m1.1 1 516. 解析 ab， sin cos40， sin2 2，又 ab sin cos，4 ，(a

11、b)c， m(sin5cos) 20，5m 2 sin cos 2(sin cos) 2 1sin2 21， sin cos 22， m 522.边 cb，c1.综上 c2或 c1.17.解析2 3 1 1(1) f(x) ab cos x 3sin xcos x 2 sin2 x 2cos2 x 2 sin2x620. 解 析 (1) ab cos 32xx3xxcos 2 sin 2 sin 2 cos2x， | a b|12.3xx 2cos 2 cos2 3xx 2sin 2 sin 23xx3x x22 cos 2 cos2 sin 2sin 222cos2xx0， ，当 x3 时，

12、 f ( x) max121 122|cos x| ，x 2 ， cos x0， | ab| 2cosx.(2)由 (1) 知x 3，a21， 23 ，b 21， 23 ，设向量 a与 b夹角为 ，则 cosab| a| |b|21(2) f(x)ab| ab| cos2 x2cos x 2cos x2cosx12 cosx223212 1，11 2， 3 . 因此，两向量 a 与 b 的夹角为 3 .18. 解析 （1） 解： e 2，可设双曲线方程为x2y2，过 （4， 10） 点， 16 10 ，即 6，双曲线方程为 x y 6.（2） 证明： F1（2 3， 0） ， F2（2 3，0

13、），MF1（ 32 3， m） ， MF2 （ 32 3，m)，MF1 MF2 3 m2，又 M点在双曲线上， 9m26，即 m230，MF1MF20，即MF1MF2.19. 解析 (1) mn， mn 0， 4sin Bsi n2 42B cos2 B 2 0， 2 22sin B1 cos 2B cos2B20，2sin B2sin2B12sin2B20，sin B21， 0B0，由 2k 2x 2k 得， k xk ，kZ.26236函数 y f （ x）的单调递增区间是 k 3 ，k 6( kZ)(2) x 2，时， 2x6 76 ，13，6 ，sin 2x 6 1，12当 a0 时，f(x) 2ab 2a12a b，a b，得，当 ab，此时 B6 ， 方法一：由余弦定理得： b a c 2accos B， c 3c2 0， c2 或 c1.方法二：由正弦定理得 sinb