多项式长除法精讲精练

1、多项式长除法是代数中的一种算法，用一个同次或低次的多项式去除另 一个多项式。是常见算数技巧长除法的一个推广版本。它可以很容易地手 算，因为它将一个相对复杂的除法问题分解成更小的一些问题。例计算写成以下这种形式:r3 一 12龙2 + Cte 42x - 3然后商和余数可以这样计算：1. 将分子的第一项除以分母的最高次项（即次数最高的项，此处为小。 结果写在横线之上& - %二X2x 一 3)龙3 I2x2 + Or - 422. 将分母乘以刚得到结果（最终商的第一项），乘积写在分子前两项之X2x 3)t3 12a:2 + Or 42 x3 3以3. 从分子的相应项中减去刚得到的乘积（注意减一个

2、负项相当于加一个 正项），结果写在下面。（/ 一 12/） 一 （/ - 3/） = -12Y + 3Y = - 9劝然后，将分子的下一项“拿下来”。X2x 3）t3 12t2 + 0 r 42疋二3*9x2 + Ox4重复前三步，只是现在用的是刚写作分子的那两项x2 9x 3）t3 12x2 + Or 429t2 + Ox9” + 27工-425.重复第四步。这次没什么可以“拿下来” 了。2 9龙 27x 3）t3 12t2 + dr 42 3护9龙12 + Ox一9乞2 + 27乞-4227工 + 81-123横线之上的多项式即为商，而剩下的（-123）就是余数。疋12护42x 3=x21

3、23x 3如加）算数的长除法可以看做以上算法的一个特殊情形，即所有X被替换为10 的情形。除法变换使用多项式长除法可以将一个多项式写成 除数-商的形式(经常很有用)。 考虑多项式P3, D3 (3)的次数(乃的次数)。然后，对某个商 多项式0(0和余数多项式R3 (G?)的系数(力的系数),P(x) = Dx)Qx) + R(x).这种变换叫做除法变换，是从算数等式dividend = divisor x quotient + rniainder 工 得至|J 的。应用:多项式的因式分解有时某个多项式的一或多个根已知，可能是使用rational root theorem 得到的。如果一个n次多

4、项式P(x)的一个根r己知，那么P(x)可以 使用多项式长除法因式分解为(x-JQ(x)的形式，其中Q(x)是一个 n-1次的多项式。简单来说,Q(x)就是长除法的商，而又知r是P(x)的 一个根、余式必定为零。相似地，如果不止一个根是已知的，比如已知r和s这两个，那么可以 先从P(x)中除掉线性因子x-r得到Q(x),再从Q(x)中除掉x-s,以 此类推。或者可以一次性地除掉二次因子x2-(r+s)x+rso 使用这种方法，有时超过四次的多项式的所有根都可以求得，虽然这并不 总是可能的。例如，如果rational root theorem可以用来求得一个五 次方程的一个(比例)根，它就可以被

5、除掉以得到一个四次商式；然后使 用四次方程求根的显式公式求得剩余的根。寻找多项式的切线多项式长除法可以用来在给定点上查找给定多项式的切线方程。旦如果 R(x)是P(x)/(x-r)2的余式一一也即，除以x2-2rx+r2那么在x=r 处P(x)的切线方程是y二R(x),不论r是否是P(x)的根。2 一元多项式及整除性下面主要讨论带余除法，最大公因式，互素的性质，因式分解，重根 判定，求有理根的方法。学习本章应掌握：求最大公因式，求有理根的方法。定义4设卩是一个数域，x是一个文字，形式表达式% + atl_xxnX + + ()(1)其中是数域P中的数，是非负整数) 称为数域P上的一元多项式，通

6、常记为/。务称为R次项的系数。例如：加十+5x是多项式曲)+宀才不是多项式，因为-1不是非负整数。定义5如果数域P上多项式/，&()同次项系数都相等，称/与 g(x)相等记为:/W 二 g(x)一个多项式里可以人员添上系数为0的项，约定1=*定义6在(1)中如果“”工,称为多项式/(/)= %” +加+勺的次数， 记为审或次/。零多项式不定义次数。下面给岀多项式加法与乘法：nmf(x) = V a.x1 = V b.x设 幺台 是数域P是的多项式。如 工0 规定f(x)g(x) = (aibi)x,Io其中仇i+i = =0r=iCk =你 +孤-4 +5収易验证多项式加法与乘法满足下列算律：

7、1 加法交换律：/(x) + g(x) = g(x) + /(x)2 加法结合律：/(x)+ g(x)+(x) = /(x) + g(x) + (x)3乘法殳换律4。乘法结合律5乘法对加法的分配律 关于多项式次数，我们有定理2设/，/WHO,是数域P上的两个多项式，/(x)H0,g(x)H0则(1) 当 /(X)+ g(QH 0 时d(f(x)+ g(x) h(x) I g(x),则 h(x) I (f(x) g(x);C) 若 /(x) I g(x),则对 V/z(x) e Fx有 f (x) I g(x)h(x)；特别 f(x)f2(x) , fMfn(x)AneN);D) 由 B、C 若

8、 /a)lgj(x),a = l,2,.,“)，则对V%(x)wFx,(i = 1,2,“),有/(x)lf gQMCv);J-lE) 零次多项式整除任一多项式；F) 对 f(x) e Fx,有 cf(x)l/(x),ceF,c*O;特别 /(x) I f(x):(1) 本章讨论不涉及分式，有时用加表示非零多项式巩切整除门兀)所得g(x)的商，即若 f (x) = (x)A(x)时，用h(x) og(x)(2) 因在数域中，一般不绝对唯一(可差常数因子)。(3) 整数整除不同。G) 若/(x)Ir(x)、 g(x)l/(x),贝0 /(x) = c(x),ceF,cOo以上性质由定义容易证明，

9、下面仅证G)：由条件 3w(x),v(x) G Fx,使得(1 ) g(x) = f(x)u(x) , fx) = g(x(x)则有(2 ) f(x) = f(x)u(x)v(x) o f(x) = 0 ,由(1)得 g(x) = 0=/(A：) = g(x);若 /(x)hO,则由(2) 及消去律得M(x)v(x)= 1，于是 a(M(x)v(x)=o,从而 a(M(A-)= o, a(v(x)=o；这样“,咻) 是F中非零常数。注：1)由A、F、G知“整除关系”是一种“等价关系”；2)B、C提供了证明f(x)g(x)的两个思路:一、要证/(x) I g(x),若能将g(x) 表不为冏(x)

10、g2(x),而 /(x)lgj(x)a = l,2);二、要证/(x)lg(x),若能将 g(x)表不 为 g|(X)g2(X)而 /(大)1血(劝或 /(X)Ij?2(A)O3)为理解概念、性质，注意如下问题：A) 010 (因对 Vf()e Fx,有 0 = 0/(x);B) 零多项式是否整除任意多项式若 /(x) = o,由 A) 0l/(x);若 /(x)h0,对 Vg(x)wFx,0*g(x) = 0H/(x),.0l/(x)o (可知零多项式仅能整除零多项式)C) 任意多项式/是否整除零多项式v 30 G Fx, 使 0 = 0-/(x), /. f(x) 10 oD) 性质 B

11、之逆是否成立即若 h(x)(f(x)+g(x),是否 h(x) I f(x) h(x) I g(x) o (不 真。$11: h(x) = 0,/ (x) H 0, g (x) = -f (x)E) 性质C之逆是否成M即若f(x) I g(x)h(x),是否f(x) I g(x)或f(x) I h(x) o (不真。 女口： f (x) = (x-2)(x-3),g(x) = x-2,h(x) = x-3 )2、带余除法引渝：中学代数里，用长除法求一个多项式去除另一个多项式得商 式及余式。即对/(x),g(x)H0,求(x),心)使f (x) = g(x)q(x) + r(x),其中 r(x)

12、 = 0 或 (r(x) aQ(x)第三步：消/；的首项；为此商y X2-2 ,作差得心)=3U-7o( v d(r(x)d(g(x) = m ,fx) = aoxn + a+ + a_jX + ang(x) = b0. + %严 + + bm_x + bing(Q h +站心+化丿+妇I f(x) = y +/心+ + / + “ I色严” 2J“屮+辿L .严+込严令 /；(x) =f(x)-g(x)色严若 aa(x),设 /,(x) =6/I0xn +alh_()x+alh n nA,t/10 0),同样消 /首项, 作/心)-竝对殂得/,(x) = f(x)-朋)也宀,且/,(%)具有

13、性质:或者/,(x) = 0或 者 a(/2(x)决(伽)a(/2(x ， 即/, y.(x), .的次数是递减的，而少(/)是有限数，因此有限步(R步) 后可得这样一个多项式齐(V)= A-1(X)-他也W(仏。为尼I(X)首项系数),而fk (x) = 0或者6(/心) 0。(&(功o这样得一串等式:/(x) g(x)色=ZWAM g(x)色=/,(%)尼心)g(x)止川宀=人(对把这些等式加起来得：/(x)= g(x)(色X +色心+经1卄)+拆(切,于是有 九 bo瓜q(x)=幺疋+血炉w +.+经1严宀,r(x) = fk (x)满足要求。九 瓜%= f(x)-g(x)色严(3)讨论

14、。上述结论叙述为：定理 2. 2. 1 (带余除法)设 /(x),g(x)eFx,且 g(x)HO,则(1) 37(x), r(x) e Fx使得 f(x) = g(x)q(x)+r(A)；( *) 其中心)=0 或 5(r(x) au(A-),由上述讨论可得成立。 (2)唯一性：假设还有 q(x),r(x) e Fx使得 f(x) = x)7/(x) + r(x),且 7(x) = 0 或 d(r(x)d(g(x),上式与(* )式相减得：g(x)q(x)-q(x) = r(x) - r(x)。若 r(x) - r(x) 0 ,贝lj q(x) - q(x) 0(-.- g (x) / 0)

15、,此时3(g(x)S(x)-冷)0(功,而 a(；(x)-r(x)a(x),矛盾；因此；(x)-r(x) = 0 (即 r(x) = r(x),又 g(x)H0,所以(j(x) - qx) = 0 ,即 q(x) = q(x) o注：(1)定理的证明过程给出了求商式与余式的方法，实质为作长除 法的过程。(2) 注意定理唯一性的条件是在r(x) = 0或o(r(x) dg(x)下。(3) 定理的理论意义及作用在下面讨论多项式的整除性及最大公因式 时有重大作用。注: 设 /(x),g(x)wFx ；( 1 ) g(x) = 0,g(x)l/(x)o/(x) = 0 ;( 2 )g(x) H o,

16、g(x) I f(x) g(x)除 f(x)的余式为 Oo事实上：(1)由定义及零多项式的特征显然；(2 )若 g(x) H 0,由 r(x) e Fx使得 f (x) = g(x)q(x)+r(x),因此 g(x) I /(x) o r(x) = 0。 问题:设F,万是两个数域,且尸pF,显然Fx Fx,若f(xlg(x)eFx, 且g(x)I/(x)(在Fx内)；问题在Fx内是否g(x)I/(x)(下答)推论2:设只戸是两个数域，且FF ,若f(x)g(x)eFx,且在Fx内 g(x)I f(x),则在Fx内g(x) I f(x) o (即多项式的整除性不随数域的扩大而改 变。)证明:若

17、g(x) = o,因在 Fx内 g(x) I f(x),所以 /(x) H 0,故在 Fx内显然 g(x) I f(x)。 (因0仅整除0)若 g(x)H0, 则在 Fx内 31(x),r(x)eFx使得 f(x) = g(x)q(x)+r(x), 且 心)工0 , a(r(x)(g(x);而 q(x r(x) e Fx c Fx,即上式在 Fx内仍成立，于是由心) 的唯一性及推论1得在Fx内g(x)l fx) o例1:当 m、p,q 适合什么条件时：x2 + mx - II a3 + px + q o解：(法一)作带余除法x1 +皿一1 2 +0+ px + qx-mX +IWC-x-mx1

18、 +(p + l)x + q-iwc -nrx + ma(p + -nr)x + q-m由扌隹论 1: x2 + mx-11 x3 + px + gO (p + -in2)x + q-m = 0. + + =O,g_2 = 0nq = 2,p = _l_； 故 当 q = m. p = nr 时,v2 +/HX-1I+ px + q o(法二)(待定系数法)由整除的定义：x2 +mx-lx3 + px + qO Bx+c x3 + px + q = (x2 -nvc-l)(x + c)由多项式相等定义 得：m + c = 0, cm-1 = p,q = _c n q = m, p = - m o 例 2：证明：xl f(x) oxi/(%);(“ N)。证明: 勿(x)使得 /(x) = xq(x),:.fk (x) = xkqk (x) n x I fk (x) on)(反证法)若xl/(x),由推论1 31(x),reFx使得f(x) = xq(x) + r , 且 心 0 ; 于是fk (x) = xq(x) + r)k = xkqk (/) + + C；xq(x)严 + rk=xxkqk (x)