电磁场与电磁波总复习.doc

1、一、 单项选择题1两个矢量的矢量积（叉乘）满足以下运算规律（B）A.交换律 ABBAB.分配率A(BC) ABACC. 结合率D.以上均不满足2. 下面不是矢量的是（C）A. 标量的梯度B.矢量的旋度C. 矢量的 散度D.两个矢量的叉乘3. 下面表述正确的为 （ B）A.矢量场的散度结果为一矢量场B.标量场的梯度结果为一矢量C. 矢量场的旋度结果为一标量场D.标量场的梯度结果为一标量4.矢量场的散度在直角坐标下的表示形式为（D）( 具有方向性， 最值方向)AAAABAxexAyeyAzezxyzxyzC A exA eyA ezDAxAyzxyAxyzz5.散度定理的表达式为（A）体积分化为面

2、积分A.A dsVAdVB.A dsVA dVssC.AdsVA dVD.A dsVA dVss6.斯托克斯定理的表达式为（B）面积分化为线积分A.?A dl()B.?A dl()dssA dssALLC.?()D.?()AdlAdsA dlAdsssLL7.下列表达式成立的是（C）两个恒等式g(A)0 ，(u) 0A.Ads()dV； B.g(u)0 ；VAsC.g(A)0 ；D.(gu)08.下面关于亥姆霍兹定理的描述，正确的是（A）（注：只知道散度或旋度，是不能全面反映场的性质的）A. 研究一个矢量场，必须研究它的散度和旋度，才能确定该矢量场的性质。B. 研究一个矢量场，只要研究它的散度

3、就可确定该矢量场的性质。C. 研究一个矢量场，只要研究它的旋度就可确定该矢量场的性质。D. 研究一个矢量场，只要研究它的梯度就可确定该矢量场的性质。二、 判断题 ( 正确的在括号中打“”，错误的打“”。)1. 描绘物理状态空间分布的标量函数和矢量函数，在时间为一定值的情况下，它们是唯一的。 ( )2.矢量场在闭合路径上的环流和在闭合面上的通量都是标量。( )3.空间内标量值相等的点集合形成的曲面称为等值面。( )4.标量场的梯度运算和矢量场的旋度运算都是矢量。( )5.矢量场在闭合路径上的环流是标量，矢量场在闭合面上的通量是矢量。( )标量6. 梯度的方向是等值面的 切线方向。 ( )法线方向

4、三、 计算题1某二维标量函数uy22x , 求（1）标量函数梯度u ; （ 2）求梯度在正 x 方向的投影。解：（ 1）标量函数的梯度是uuux exy ey2ex2 yey（ 2）梯度在正 x 方向的投影u ex( 2ex2 yey ) ex22已知某二维标量场u(x, y)x2y2 ，求（ 1）标量函数的梯度； （ 2）求出通过点(1,1) 处梯度的大小。解：（ 1）标量函数的梯度是uuux exy ey2xex 2 yey（ 2）任意点处的梯度大小为u2x2y2在点1,1 处梯度的大小为：u223已知矢量 Aex x eyxyz ezxy2 z ，（1）求出其散度； （ 2）求出其旋度解

5、：（ 1）矢量的散度是AAxA yA z1 xzxy2xyz（ 2）矢量的旋度是exeyezAxyzex (2 xyzxy) ey ( y2 z) ez yzxxyzxy2 z4矢量函数Ax2exyeyxez , 试求（ 1）正方形，且正方形的中心在坐标原点，试求该矢量解：（ 1）AA xA yA z2x1xyz（ 2）矢量 A 穿过此正方形的通量S AdezdSS( x2exyeyS S A蜒?11SxdSxdxdy 0x 1y 1?A ; （ 2）若在 xy 平面上有一边长为2 的A 穿过此正方形的通量。xez ) ez dS一选择题（每题 2 分，共20 分）1. 毕奥沙伐尔定律（ C

6、）( 提示该定律没有考虑磁化介质，是在真空中，0 )A. 在任何媒质情况下都能应用B.在单一媒质中就能应用C. 必须在线性，均匀各向同性媒质中应用。2.一金属圆线圈在均匀磁场中运动，以下几种情况中，能产生感应电流的（C ）A. 线圈沿垂直于磁场的方向平行移动B. 线圈以自身某一直径为轴转动，转轴与磁场方向平行C.线圈以自身某一直径为轴转动，转轴与磁场方向垂直（提示B S ,磁场或面积变化会导致磁通变化）3 .如图所示，半径为a 的圆线圈处于变化的均匀磁场中，线圈平面与B 垂直。已知B3t 22t 1 ，则线圈中 感应电场强度 Ei的大小和方向为（C ）（提示?Ei dlBdS , ）tlSA.

7、2(3t1)a2 ，逆时针方向B.(3t1)a ，顺时针方向C.(3t1)a ，逆时针方向4.比较位移电流与传导电流，下列陈述中，不正确的是（A）A.位移电流与传导电流一样，也是电荷的定向运动 （提示位移电流是假想电流，为了支持电容中环路定理的连续提出的，实际是电场的微分量）B. 位移电流与传导电流一样，也能产生涡旋磁场C. 位移电流与传导电不同，它不产生焦耳热损耗5.根据恒定磁场中磁感应强度B 、磁场强度 H 与磁化强度 M 的定义可知，在各向同性媒uvuuvvvv质中:（ A ）( BH , B与 H 的方向一定一致 ,B0HM , B与M 之间不确定同异)A. B 与 H 的方向一定一致

8、， M 的方向可能与 H 一致，也可能与 H 相反 B. B 、 M 的方向可能与 H 一致，也可能与 H 相反C. 磁场强度的方向总是使外磁场加强。6.恒定电流场基本方程的微分形式说明它是（A）A. 有散无旋场B.无散无旋场C.无散有旋场7.试确定静电场表达式Eex 3yey (3 x2 z) ez( cyz) 中，常数 c 的值是（ A ）（ 提示E0，可以解出 ）A.c2B.c 3C.c28.已知电场中一个闭合面上的电通密度，电位移矢量D 的通量不等于零，则意味着该面内（ A）（提示 ?s DdSq 0 ）A. 一定存在自由电荷B.一定不存在自由电荷C.不能确定vv9. 电位移表达式 D

9、E（ C ）（提示在非均匀介质中不是常数，见课本54）A. 在各种媒质中适用B.在各向异性的介质中适用C. 在各向同性的、线性的均匀的介质中适用vvv10. 磁感应强度表达式 B0 HM（ A ） （提示任何磁介质，磁极矩极化只有和B 同向或反向，见课本58）A. 在各种磁介质中适用B.只在各向异性的磁介质中适用C. 只在各向同性的、线性的均匀的磁介质中适用二、计算题（每题10 分，共 80 分）1真空中均匀带电球体，其电荷密度为，半径为 a 。试求（ 1）球内任一点的电场强度；（2） 球外任一点的电位移矢量。解：（ 1）作半径为r 的高斯球面，在高斯球面上电位移矢量的大小不 变 ，（ 2分

10、） 根 据 高 斯 定 理 ， 在 ra 区 域 ， 有?s D dSqD 4 r 24r 3（2 分）3uvD3r er（1 分）Druv电场强度为E3 0er （ 2 分）0（2）当 ra 时，作半径为r 的高斯球面，根据高斯定理，有D 4 r 24a 3（2 分）3a3uvD2er（3 分）3r2在真空中，有一均匀带电的长度为L 的细杆，其电荷线密度为。求在其横坐标延长线上距杆端为 d 的一点 P 处的电场强度EP 。uur解：将细杆分解为无数个线元，每个线元都会产生各自的电场强度，方向都沿ex 。在离左端长度为 x 处取线元 dx ，它的点电荷为dqdx ，在轴线 P 点产生的电场是d

11、E1dquur1dxuur40 ( L d x)2 ex40 ( L d x)2ex （ 5 分）uur由电场的叠加，合电场只有e 分量，得到xuur1dxEdEex 40( L d x) 2uur1d( L d x)uur( 11exex4) （5分）4 0( L d x)20 d L d3. 一个球壳体的内半径、外半径分别为a 和 b ，壳体中均匀分布着电荷，电荷密度为。试求离球心为r处的电场强度。解：电荷体密度为：q（2 分）4 (b3 a3 )3由高斯定理：?s E(r )dSq（ 2分）0在 0ra 区域内， q10， E10 ， （2分）在 arb 区域内，q24(r 3a3 )3

12、，?s E2 ( r ) dS004(r 3a3 )E2 4 r23，0E2(r 3a3 )uv（ 2分）得到30r 2er在 br 区域，?E3 (r ) dSq ，s0E3 4 r 2 q，0E3(b3a3 )uv（2 分）得到3 0r2er4设半径为 a 的无限长圆柱内均匀地流动着强度为I 的电流，设柱外为自由空间，求柱内离轴心 r 任一点处的磁场强度；柱外离轴心r 任一点处的磁感应强度。解：由电流的柱对称性可知，柱内离轴心r 任一点处的磁场强度大小处处相等，方向为沿柱，在 ra 区域 ， 由安培环路定律：面切向 evvr22 I?H dl 2 rH(3分 )ca整理可得柱内离轴心vr

13、任一点处的磁场强度?r2I(ra )(2分 )Hea2柱外离轴心 r 任一点处的磁感应强度也大小处处相等，方向为沿柱面切向e? ，在r a 区域，培环路定律：v v?B dl2 rB0 I(3分 )c整理可得柱内离轴心r 任一点处的磁感应强度?0 I（ ra ）(2分)B er25设无限长直导线与矩形回路共面， （如图所示），（1）判断通过矩形回路中的磁感应强度的方向（在图中标出） ；（ 2）设矩形回路的法向为穿出纸面，求通过矩形回路中的磁通量。解：建立如图坐标 ,通过矩形回路中的磁感应强度的方向为穿入纸面，即为ey? 方向。（ 5 分）在 xoz 平面上离直导线距离为x 处的磁感应强度可由下

14、式求出：?B dl0 Icz即：uv0 I（2 分）Bey2 x在 x 处取面积元 dSadx ，通过矩形回路的磁通量vvd b0 I0Ia lndadxxBdSSx d 2 x2d b（3 分）6有一半径为 R 的圆电流 I ， 求：（ 1）其圆心处的磁感应强度uvB0 ？（ 2）在过圆心的垂线上、与圆心相距为uvH的一点 P，其 B？解：（ 1）在圆环上取电流微元IdlIRd，由毕奥萨伐尔定律，在圆心O 产生的磁感应0 IdluvuvIdl强度eo0（ 3分）dB4 (R2H 2 )ez4 (R2H 2 )圆心处的总磁感应强度uv0 Idluv20 IRduv0 I（ 2分）B0dBez

15、4 R2ez4 R2ez2R0（ 2）如图，由毕奥萨伐尔定律，在圆轴线上 P 点产生的磁感应强度，在 x 0 区域，uuvuvuvdB40IdleP0Idl ( ez sinex cos) （1分）( R2H2) 4(R2H 2 )在 x0 区域，uuvuvuvIdl)dB0eP0Idl ( ez sinex cos分）4( R2H2) 4(R2H 2 )（ 1由对称性，在整个区域磁感应强度没有x 向分量，只有 z 向的分量，B dBuv0 Idlsinez4 (R2H2)uv20IRdRezH 2 )(R2H 2 )04 (R2uv20 IRez（3 分）H2) (R22(R2H 2 )7.

16、 正弦交流电压源 u U m sin( t ) 连接到平行板电容器的两个极板上，如图所示。(1) 证明电容器两极板间的位移电流与连接导线中的传导电流相等；(2)求导线附近距离连接导线为r 处的磁场强度。解：(1)导线中的传导电流为icdqC du = C d U m sin( t) C U m cos( t) （ 2 分）dtdtdtu忽略边缘效应时，间距为d 的两平行板之间的电场为 E，d则DEU m sin(t )d则极板间的位移电流为rrD dSU midJddScos( t) S0 CU m cos( t)ic（3 分）SStd式中的 S0 为极板的面积，而S0C 为平行板电容器的电容

17、。d( 2 ) 以 r为半径作闭合曲线，由于连接导线本身的轴对称性，使得沿闭合线的磁场相等，故rr?c H gdl2 rH（2 分）穿过闭合线的只有导线中的传导电流，故得2rHCU m cos(t)rrr CU mcos( t )（3分）He Her2r8.0、0)的电介质中，若已知电场强度矢量在无源(Jrrkz) V/m，式中的 Em 为振幅、为角频率、 k 为相位常数。 试确定 k 与Eex Em cos( t之间所满足的关系。解：由麦克斯韦方程组可知uvuvuuvuuvuvuuvBtE(exxeyyezz) exExuuvExuuvzEm cos( tkz)uuvtkz)eyzeyeyk

18、Em sin(， （3分）对时间 t积分，得uvuvuuv kEmBcos(tkz) ， （ 2 分）Bdteytuvuuvuuvuuv kEmcos( tkz) ， （ 1 分）B =HHeyuvuvuvuuvDEDexEm cos(tkz) ，（ 1 分）以上场矢量都满足麦克斯韦方程，将H 和 D代入式uuvuuvuvuuvexeyezuuvuuv k2 EmH ysin(tkz) ，HxyzexzexH xH yH zuvvDxv和DEmsin(tkz) ，textexuuvuvD 得到 k22由H。（3分）t一选择题1.下面说法正确的是（C）A. 静电场 和恒定 磁场 都是矢量场，在

19、本质上 也是相同的。（注：一个为散度场，一个为旋度场）B.泊松方程和拉普拉斯方程都适用于有源 区域。C由恒定电流产生的磁场称为恒定磁场，恒定磁场是无散场，因此，它可用磁矢位函数的旋度来表示。2. 下面说法错误的是（ C ）A. 一般说来，电场和磁场是共存于同一空间的，但在静止和恒定的情况下，电场和磁场可以独立进行分析。B. 按统一规则绘制出的力线可以确定矢量场中各点矢量的方向，还可以根据力线的疏密判别出各处矢量的大小及变化趋势。C.泊松方程和拉普拉斯方程都适用于有源区域。（注：拉普拉斯方程适用于无源区域）3.电源以外 恒定电场 基本方程的积分形式是（A）AC?E dl0,?JdS0B ?E d

20、l 0 , ?J dS 0?E dl0,?JdSdq / dt4.静电场中电位为零处的电场强度（C）（注：电位的零点可以任意选，有意义的是电位差值）A. 一定为零B.一定不为零C.不能确定5.若要增大两线圈之间的互感，可以采用以下措施（A ） ( 注：互感与电流无关 )A. 增加两线圈的匝数B.增加两线圈的电流C. 增加其中一个线圈的电流6. 两个载流线圈的自感分别为L1 和 L2 ，互感为 M 。分别通有电流I 1 和 I 2 ，则系统的储能为（ C）A.1212122Wm2L1I12 L2I2B.Wm2 ( L1I1L2I 2MI1I2)C.1221212Wm2( L1I1L2I22MI

21、1I 2 ) （注： C是 Wm2L1I12L2I 2 MI 1I 2 的变形）7. 镜像法的理论根据是（ A ）A.场的唯一性定理B.库仑定律C.迭加原理8.对于像电荷，下列说法正确的是（B）A. 像电荷是虚拟电荷，必须置于所求区域之内B. 像电荷是虚拟电荷，必须置于所求区域之外C. 像电荷是真实电荷，必须置于所求区域之内9对于处于静电平衡状态的导体，下列说法不正确的是（C）A.导体为等位体B.导体内部电场为0C. 导体内部可能存在感应电荷（如果有，就不会平衡了）10. 如图所示两个平行通以同向的载流线圈，所受的电流力使两线圈间的距离而（ B）A.扩大B.缩小C.不变（注：电流产生的场同向，

22、类似磁铁的相异的两极相吸）二、计算题（每题14 分，共 70 分）1.电荷 q 均匀分布在内半径为a , 外半径为 b 的球壳形区域内，如图2 示( 电荷分布在阴影部分) 。0ra(1)求arb各区域内的电场强度；rb(2)若以 r处为电位参考点0，计算球心r0 的电位。图 1解： (1)电荷体密度为：q4 (b3 a3 )3由高斯定律：?EgdSVdV可得， （球面总面积S4r2）s00ra 区域内， E10( 里面没有包含电荷 )（ 3分）433v13( ra )v1( r 3a3 )（3 分）arb 区域内， E2er40r 2 4(b33qer4 0 r 2(b3a3)q3a)v1rb

23、区域内， E32 q（3 分）er40rabE3 gdr(2)(0)()E1 gdraE2 gdrb（2 分）0bqb 133) drq1(b223(1 1式中，E2 gdr3a3)r2 ( ra40 (b33a) a)a4 0 (baa) 2a bE3 gdrb 4q2 dr4q(1 )(1)4q0bb0r0b因此，q122311q（3分）(0)40 (b3a3 ) 2(ba)a( ab )40b2 同轴长导线的内导体半径为a ，外导体半径为b ( 外导体厚度可忽略不计) ，内、外导体间介质为真空，在其间加以直流电压U 0，如图2 示。(1) 求 r a处的电场强度；(2) 求 a r b

24、处的电位移矢量；(3) 求出同轴线单位长度的电容。图 2解：（ 1）在内、外导体间加以直流电压U 0，电势差存在于内导体外表面和外导体内表面之间，内导体为等势体，因此内部电压为0，即电场强度为E1 0（4分）( 内导体内部没有电荷，如果有，在电压作用下，会被吸附到内导体的外表面)（2）假设单位长度上内导线表面的电荷为q ，当 ra 时，作半径为 r 的高斯球面，根据高斯定理，有?DdSqsD 2rqDquv2rer （ 2 分）E2quv（1 分）2er0 r由U 0agbgbqqbE1 drE2 dra 2dr2 0ln0a0 ra得到20U 0（2 分）qln ba因此uvD0U 0（1

25、分）err ln ba（3）同轴线单位长度的电容Cq20（4 分）U 0blna3同轴长电缆的内导体半径为r，外导体半径为R(外导体厚度可忽略不计 ) ，中间充塞两层同心介质：第一层为1 ，其半径为 r ；第二层为2 ，如图3 示 ( 图中同轴长电缆中的斜线表示区分不同的介质) 。在电缆内外柱面间加以直流电压 U 。求： (1)电缆内从 r至 R 各区域的场强E 。(2)单位长度电缆的电容。 (3) 单位长度电缆中 ( 填充介质部分) 的电场能。图 3解：（ 1）假设单位长度上内导线表面的电荷为q ，当r 时，作半径为的高斯球面 ( 注：这里是半径，因为 r已经被作为常数用了) ，根据高斯定理

26、，有?s D dSqD 2qquuvDe （ 2 分）2E1quuv(e21E2quuv(e22rr ),r R )由r Rr qRqUE1gdE2 gd2 1ddrr rr 22q1r 1lnR2(ln)1r2r 得到q2 U（3 分）1 lnR )( 1 ln r 1r2r 因此 E1Uuuv( rr ), （1 分）1 lne(r 1ln R ) 11r2r E2Uuuv( r R) （1分）1 lne(r 1ln R ) 21r2r （2）同轴线单位长度的电容q2（3 分）C1r 1U(Rlnrln)12r (3) 单位长度电缆中 ( 填充介质部分 ) 的电场能W W11r 22 d1

27、R22 dW21E122E22rr 11U2 2 d12U2 2 d2r 1 r 1R2R1r 1Rrr (1 lnr2 ln r ) 1(1 lnr2 lnr ) 21U 2Rln r 1U 2Rln Rr 12rr 1ln2r 1 (lnrln)2 ( lnr)12r 12r 12U 2（4 分）ln r 21 lnRrr 另解：用 W1CU 2 计算，结果一样，建议用上计算，W1CU 2 需要证明。224在面积为 S 、相距为 d 的平板电容器里，填以厚度各为 d / 2 、介电常数各为r1 和 r 2的介质，如图 4 示 ( 图中平板电容器中的斜线表示区分不同的介质 ) 。将电容器两极板接到电压为U 0 的直流电源上。求：(1)电容器内介质 r1和介质 r 2的场强； (2) 电容器中的电场能量。图 4解 : 选取电容器上下板为高斯面，电场强度在两板区域，且垂直两板，假设上下板的