2020年中考数学基础题型提分讲练专题23以圆为背景的证明与计算

1、专题23以圆为背景的证明与计算考点分析DEL AB垂足为【例1】(2019 广东中考模拟)已知四边形ABCD是OO的内接四边形，AC是OO的直径,E.(1) 延长DE交OO于点F,延长DC, FB交于点P,如图1 .求证：PC=PB2 .右 AB=. 3 ,(2) 过点B作BGLAD垂足为 G, BG交DE于点H,且点O和点A都在DE的左侧，如图DH=1, / OHD=80，求/ BDE 的大小.【答案】(1)详见解析；(2)Z BDE=20 .【解析】(1)如图1,v AC是OO的直径，/ ABC=90 ,DEL AB/ DEA=90 ,/ DEAM ABC BC/ DF,/ F=M PBC

2、 四边形BCDF是圆内接四边形，/ F+M DCB=180 ,/ PCBM DCB=180 , M F=M PCB M PBCM PCB PC=PB(2)如图2,连接OD/AC是OO的直径，/ ADC=90 ,/ BGL AD/ AGB=90 ,/ ADCM AGB BG/ DC/ BC/ DE四边形DHBC是平行四边形， BC=DH=1在 Rt ABC 中，AB= 3 , tan / ACB=AB .3BC / ACB=60 ,1 BC=AC=OD2 DH=OP在等腰 DOH中，/ DOHWOHD=80 , / ODH=20 ,设 DE交 AC于 N,/ BC/ DE / ONHWACB=6

3、0 , / NOH=18 (/ ONHOHD =40, / DOCX DOH-Z NOH=40 ,/ OA=OD1/ OAD= / D0C=2 ,2/ CBDM OAD=20 ,/ BC/ DE/ BDEM CBD=20 .【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识点, 解决第(2)问，作出辅助线，求得/ ODH=20是解决本题的关键.【例2】(2019 -湖南中考真题) 如图，点A、B、C在半径为8的eO上，过点B作BD/AC，交OA延长线于点D .连接BC，且 BCA OAC 30 .(1)求证：BD是e O的切线；【答案】(1)见解析

4、；(2) 323323【解析】(1)证明：连接OB，交CA于E ,BOA 60 ,BCA OAC 30 ,AEO 90 ,即 OB AC , BD/ AC , DBE AEO 90 , BD是eO的切线；(2)解：，7 , D CAO 30 , r : -, BD 3OB 8 3 ,1 厂 6082厂 32S阴影 S BDO S扇形 aob 88332 - 32 3603【点睛】本题考查了平行线的性质，圆周角定理，扇形的面积，三角形的面积，解直角三角形等知识点的综合运用,题目比较好，难度适中.考点集训1. (2019 辽宁中考真题)如图，在ABC中， ACB 90 , CA CB，点O在 AB

5、C的内部,过B , C两点，交AB于点D，连接CO并延长交 AB于点G，以GD , GC为邻边作YGDEC .(1) 判断DE与e O的位置关系，并说明理由.(2) 若点B是DBC的中点，e O的半径为2,求？c的长.3【答案】(1) DE是e O的切线；理由见解析；(2) ?c的长 -【解析】(1) DE是eO的切线；理由：连接OD ,Q ACB 90 , CA CB ,ABC 45COD 2 ABC 90 ,Q四边形GDEC是平行四边形,DE / /CG ,EDO COD 180 ,EDO 90 ,OD DE ,DE是e O的切线；(2) 连接OB ,Q点B是DBC的中点，Bc Bd，BO

6、CBOD ,Q BOCBODCOD 360 ,?C的长135g23180 2 .【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，圆周角定理，平行四边形的性质，正确的识别图形是解题的关键.2. (2019 云南初三)如图，在Rt ABC中，/ C=9C , BE平分/ ABC交AC于点E,作EDLEB交AB于点D,O0是厶BED的外接圆.(1)求证：AC是OO的切线;【答案】（1）证明见解析;(2)BC=16 , AD=45 .57【解析】:丄 OBEM OEB / BE平分/ ABC/ OBEM CBE/ OEBM CBE O日 BC,又/ C=90 , / AEO=90，即 OEL AC AC为OO的

7、切线；(2)T EDLBE / BEDM C=90 ,又/ DBEM EBC5= 44= BC BD BE-，即BE BC BC16 ;5/ AEON C=90 ,/ A=Z A,AB If，即AD 2.5AD 5216,545解得：AD=一 .7点睛：本题主要考查切线的判定与性质，解题的关键是掌握切线的判定与性质及相似三角形的判定与性质.3. (2019 -连云港市新海实验中学初三月考)如图，四边形ABC曲接于O O对角线AC为OO的直径，过点C作AC的垂线交 AD的延长线于点 E,点F为CE的中点，连接 DB DC DF.(1) 求/ CDE的度数；(2) 求证：DF是O O的切线；C解：

8、(1)解:(2)证明见解析；(3) 2.(3)若 AC=2 5 DE 求 tan / ABD的值.对角线 AC为OO的直径,/ ADC=90 / EDC=90(2)证明：连接DO / EDC=90 , F 是 EC的中点, DF=FC / FDCM FCD / OD=O,/ OCDW ODC/ OCF=90 ,/ ODFM ODC乂 FDCM OCD乂 DCF=90 , DF是OO的切线；(3 )解：如图所示：可得/ ABDd ACD/ E+Z DCE=90，/ DCA# DCE=90 ,/ DCAZ E,又 tZ ADCZ CDE=90 ,DC DEAD DC DC=AD? DE AC=2

9、5 DE设 DE=x 贝U AC=2 5x,贝y AC - aD=ad? DE,期(2 5x) 2-AF=AD? x,整理得：AD+AD? x - 20x2=0,解得：AD=4x或-4.5x (负数舍去)，则 DC= (2 5x)2 (4x)2 2x，故 tan / ABD=tanZ ACD=2DC 2x4. (2019 江苏初三月考) 如图，已知AB是OO的直径，点C D在OO上，点E在OO夕卜，/ EACM D=60(1) 求/ ABC的度数；(2) 求证：AE是OO的切线;【解析】(1 )/ ABC与/D都是弧AC所对的圆周角,/ ABCM D=6C ;(2)T AB是OO的直径，/ B

10、AC=30 ,/ BAEK BACy EAC=30 +60 =90 即 BAL AE AE是OO的切线；(3) 如图，连接OC/ OB=O, / ABC=60 , OBC是等边三角形, OB=BC=,4 / BOC=60 ,/ AOC=120 ,120 R 120 g4 8劣弧AC的长为=-1801803【点睛】 本题考查了切线长定理及弧长公式，熟练掌握定理及公式是解题的关键5. (2019 江苏中考真题)如图， AB为O O的直径，C为O O上一点，D为？C的中点.过点 D作直线AC的垂线，垂足为E，连接OD .(1)求证：A DOB ;(2) DE与O O有怎样的位置关系？请说明理由.【答

11、案】(1)见解析；(2) DE与O O相切，理由见解析【解析】(1)连接OC ,QD为Be的中点,二 Cd Bd,1BOD BOC ,21Q BAC BOC ,2A DOB;DE与O O相切，理由如下:Q A DOB,AE/OD ,/ ODE/E=180 ,Q DE AE ,/ E=90,/ ODE=90 ,OD DE ,又TOD是半径，DE与O O相切.本题考查了直线与圆的位置关系，圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键.6. （2019 湖北初三）如图， AB为OO的直径，PD切OO于点C,与BA的延长线交于点 D, DELPO交PO延长线于点E,连接PB,/

12、 EDBd EPB(2)若PB=6, DB=8求0O的半径.【答案】证明见解析；(2) 3.【解析】(1) 证明：在 DEO 和APBO中，/ EDBM EPB / DOEM POB/ OBPM E=90,OB为圆的半径， PB为圆O的切线；(2) 解：在 Rt PBD中，PB=6 DB=8根据勾股定理得：PD=. 62一孑 10， PD与PB都为圆的切线， PC=PB=6 DC=PEPC=10-6=4 ,在 Rt CDO中，设 OC=r,则有 DO=8-r,根据勾股定理得：(8-r ) 2=r2+42,解得：r=3,则圆的半径为3.考点：切线的判定与性质.7. (2019 -广西中考模拟)如

13、图，以AB边为直径的O O经过点P, C是OO上一点，连结 PC交AB于点E,且/ ACP60, PA=PD(1) 试判断PD与O O的位置关系，并说明理由；(2) 若点C是弧AB的中点，已知 AB=4,求CH CP的值.【答案】（1） PD是O 0的切线证明见解析.（2） 8.【解析】连结 0P / ACP=60 ,/ AOP=120 OA=OP /-Z OAPM OPA=30 , v PA=PD/ PAOM D=30 ,/ OPD=90，/ PD 是OO 的切线.（2）连结 BC, / AB是OO 的直径，/ ACB=90，又 VC 为弧 AB 的中点，/ CABZ ABCZ APC=45

14、 ,C4 CE/ AB=4 AC=Abs in45 = .vZ C=Z C,Z CABZ APC CA0A CPA / 二，/ CP? CE=CA= 皿CP CA（-/-）2=8.考点：相似三角形的判定与性质；圆心角、弧、弦的关系；直线与圆的位置关系；探究型.& （2019 -湖南中考真题） 如图，点D在以AB为直径的O O上，AD平分 BAC , DC AC ,过点B作O O 的切线交AD的延长线于点E.（1）求证：直线 CD是O O的切线.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【解析】解：证明：连接0D,/ AD平分 BAC , CAD BAD,/ OA OD , Z BAD / AD

15、O , CAD ADO , AC/ OD ,/ CD AC , CD OD ,直线CD是OO的切线；连接BD/ BE是OO的切线，AB为OO的直径, ABE BDE 90 , CD AC , C BDE 90 , CAD BAE DBE ,ACDs BDE , CD ADDE BE，本题考查了相似三角形的判定和性质，角平分线的定义.圆周角定理，切线的判定和性质，正确的作出辅 助线是解题的关键.D,E，过点D作DF AC，垂足为点(1)求证：直线DF是e O的切线；(2)求证：BC2 4CFgAC ；CDF 15，求阴影部分的面积.(3)若eO的半径为4,【答案】(1)详见解析;解：(1 )如图

16、所示，连接OD ,(2)详见解析; AB AC ,ABCC ,而 OB OD , ODBABCC,/DF AC , CDFC 90 , CDFODB90,- ODF 90 ,直线DF是eO的切线；AC ,(2)连接 AD，则 AD BC，贝U AB则 DB DC -BC ,2CDF C 90 , C DAC 90 , CDFDCA,而 DFCADC 90 , VCFD sVCDA, CD2 * * CF ?AC，即 BC24CF gAC ；(3)连接OE ,CDF15 ,OAE30AOE120 ,C 75，OEA,SVOAE 1AE OEsin OEA21 2 OE cos2OEAOEsin

17、OEA 4.3 ,120阴影部分S扇形OAESVOAE36042 4.31634.3【点睛】关键在于做辅助线，这是这类题的难点本题主要考查圆的综合性知识，难度系数不大，应该熟练掌握,AC ,10. (2019 -江苏中考真题)如图， AB是OO的直径，AC与OO交于点F,弦AD平分 BAC , DE 垂足为E.OADCAD ,/ OA OD , OADODA, ODACAD , OD P AC , DE AC，即/ AED 90 ,ODE 90，即 DE OD, DE是OO的切线；(2)过O作OG AF于G AF 2AG , BAC 60 , OA 2,1 AG -OA 1 ,2 AF 2 ,

18、 AF OD ,四边形AODF是菱形， DF / OA , DF OA 2 ,EFD BAC 60 , EF -DF 1 .【点睛】本题考查切线的判定和性质、垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型.11. (2019 -天津中考真题) 已知PA , PB分别与eO相切于点A, B , APB 80 , C为eO上一点.图團(I)如图，求ACB的大小；(n)如图， AE为e O的直径，AE与BC相交于点D，若AB AD，求【答案】(I) ACB 50 ; (n) EAC 20 .【解析】解：(I)如图，连接OA, OB ./ PA PB是eO的切线， OA P

19、A , OB PB .即 OAP OBP 90 . APB 80 ,在四边形 OAPB 中， AOB 360 OAP OBP APB 100 .1在 eO 中， ACB AOB ,2EAC的大小.ACB 50 .(n)如图，连接CE . AE为eO的直径, ACE 90 .由（I）知， ACB 50 ,BCE ACE ACB 40 .BAEBCE40 .在 ABD中，ABAD ,ADBABD1(180BAE)702又 ADB是 ADC的一个外角，有 EAC ADB ACB ,二 EAC 20 .【点睛】本题考查的是切线的性质、圆周角定理、等腰三角形的性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题

20、的关键e D经过12.（2019 甘肃中考真题）如图，在 ABC中，AB AC, BAC 120，点D在BC边上, 点A和点B且与BC边相交于点E .（1）求证：AC是e D的切线；若CE 2 . 3，求e D的半径.【答案】（1）见解析；（2） 2.3【解析】（1）证明：连接AD ,/ AB AC, BAC 120B C 30 , AD BD , BAD B 30 , ADC 60 , DAC 180603090 , AC是e D的切线；解：连接AE ,/ AD DE, ADE 60 , VADE是等边三角形，AE DE, AED 60 , EAC AED C 30 , EAC C , AE CE 2,3 ,本题考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键.13. （2019 -湖北中考真题）如图，在 RtVABC中， ACB=90 , D为AB的中点，以CD为直径eO的分别交AC, BC于点E, F两点，过点F作FG AB于点G .1试判断FG与eO的位置关系，并说明理由.2 若 AC=3, CD=2.5,求 FG 的长.5【解析】(1 )相FG与e O切， 理由：如图，连接OF ,Q ACB=90 , D为AB的中点，CD= BD,DBC= DCB,QOF