概率论与数理统计第一章(1)ppt课件

1、一、条件概率一、条件概率二、乘法定理二、乘法定理三、全概率公式与贝叶斯公式三、全概率公式与贝叶斯公式四、小结四、小结第五节条件概率第五节条件概率 将一枚硬币抛掷两次将一枚硬币抛掷两次 ,察看其出现正反察看其出现正反两面的情况两面的情况,设事件设事件 A为为 “至少有一次为正面至少有一次为正面,事件事件B为为“两次掷出同一面两次掷出同一面. 如今来求知事件如今来求知事件A 曾经发生的条件下事件曾经发生的条件下事件 B 发生的概率发生的概率.分析分析. , , , TTTHHTHHS .2142)( BP事件事件A 曾经发生的条件下事件曾经发生的条件下事件B 发生的概率发生的概率,记为记为),(A

2、BP31)( ABP则则).(BP 4341 )()(APABP . , 为为反反面面为为正正面面设设TH1. 引例引例一、条件概率一、条件概率,TTHHBTHHTHHA )()()(BPABPBAP 同理可得同理可得为事件为事件 B 发生的条件下事件发生的条件下事件 A 发生的条件概率发生的条件概率.)()()(, 0)(,条件概率条件概率发生的发生的发生的条件下事件发生的条件下事件为在事件为在事件称称且且是两个事件是两个事件设设BAAPABPABPAPBA 2. 定义定义);()()()( ) 3(212121BAAPBAPBAPBAAP ).(1)( )4(BAPBAP ; 0)(, 1

3、)(: )2( BPBSP规规范范性性则有则有件件是两两不相容的事是两两不相容的事设设可列可加性可列可加性, , ,: )5(21BB. )(11 iiiiABPABP3. 性质性质; 0)(: )1( ABP非负性非负性4.条件概率的计算条件概率的计算1.公式法公式法2.缩减样本空间法：在条件缩减样本空间法：在条件 缩减得新的样缩减得新的样本空间本空间 ,再进一步在新样本空间下计算再进一步在新样本空间下计算 ,从而得从而得 .例：抛例：抛2颗骰子，知两颗骰子点数之和为颗骰子，知两颗骰子点数之和为7，求其中求其中1颗骰子为颗骰子为1点的概率用两种方点的概率用两种方法法.AAS( )P B(/)

4、P B A解：法解：法1 设设 =2颗骰子的点数和为颗骰子的点数和为7 =有1颗骰子的点数为1点 对应的样本空间为 =(1,6),(6,1),(2,5)(5,2),(3,4),(4,3) ABAAS61()6*6621()6*618()1/181(/)()1/ 63P AP ABP ABP BAP A法法2 2 缩减样本空间法缩减样本空间法条件条件 对应的样本空间为对应的样本空间为 在新的样本空间下在新的样本空间下 A(1,6),(6,1),(2,5),(5,2),(3,4),(4,3)AS 21( )63P B ).()()()()(112221112121APAAPAAAAPAAAAPAA

5、APnnnnn 则则有有且且, 0)(121 nAAAP, 2,21 nnAAAn个个事事件件为为设设推推广广则则有有且且为为事事件件设设, 0)(, ABPCBA).()()()(APABPABCPABCP ).()()(, 0)(APABPABPAP 则则有有设设二、二、 乘法定理乘法定理例例1 1 一盒子装有一盒子装有4 4 只产品只产品, , 其中有其中有3 3 只一等品、只一等品、1 1只二等品只二等品. . 从中取产品两次从中取产品两次, , 每次任取一只每次任取一只, , 作作不放回抽样不放回抽样. . 设事件设事件A A为为“第一次取到的是一等品第一次取到的是一等品 、事件事件

6、B B 为为“第二次取到的是一等品试求条件概率第二次取到的是一等品试求条件概率 P(B|A).P(B|A).解解.4;3, 2, 1,号为二等品号为二等品为一等品为一等品将产品编号将产品编号则试验的样本空间为则试验的样本空间为号产品号产品号、第号、第别取到第别取到第表示第一次、第二次分表示第一次、第二次分以以,),(jiji),3 , 4(),2 , 4(),1 , 4(, )4 , 2(),3 , 2(),1 , 2(),4 , 1(),3 , 1(),2 , 1( S),4 , 3(),2 , 3(),1 , 3(),4 , 2(),3 , 2(),1 , 2(),4 , 1(),3 ,

7、1(),2 , 1( A),2 , 3(),1 , 3(),3 , 2(),1 , 2(),3 , 1(),2 , 1( AB由条件概率的公式得由条件概率的公式得)()()(APABPABP 129126 .32 例例2 2 某种动物由出生算起活某种动物由出生算起活2020岁以上的概率为岁以上的概率为0.8, 0.8, 活到活到2525岁以上的概率为岁以上的概率为0.4, 0.4, 假设如今有一个假设如今有一个2020岁的这种动物岁的这种动物, , 问它能活到问它能活到2525岁以上的概率是岁以上的概率是多少多少? ? 设设 A 表示表示“ 能活能活 20 岁以上岁以上 的事件，的事件，B 表

8、示表示 “ 能活能活 25 岁以上的事件岁以上的事件,那么有那么有NoImage, 8 . 0)( AP因为因为.)()()(APABPABP , 4 . 0)( BP),()(BPABP .218 . 04 . 0 )()()(APABPABP 所以所以解解例例3 3 五个阄五个阄, , 其中两个阄内写着其中两个阄内写着“有有字，字， 三个阄内不写字三个阄内不写字 ，五人依次抓取，五人依次抓取, ,问各人抓到问各人抓到“有字阄的概率能否一样有字阄的概率能否一样? ?解解. 5 , 4 , 3 , 2 , 1 i那么有那么有,52)(1 AP)()(22SAPAP )(112AAAP 抓阄能否

9、与次序有关抓阄能否与次序有关? ,人人抓抓到到有有字字阄阄”的的事事件件表表示示“第第设设iAi)()()(212121333AAAAAAAPSAPAP )()()(321321321AAAPAAAPAAAP 42534152 ,52 )()()()(121121AAPAPAAPAP )(2121AAAAP )()(2121AAPAAP )()()(213121AAAPAAPAP )()()(213121AAAPAAPAP )()()(213121AAAPAAPAP 324253314253314352 ,52 依此类推依此类推.52)()(54 APAP故抓阄与次序无关故抓阄与次序无关.摸球

10、实验摸球实验.,.到白球的概率到白球的概率球且第三、四次取球且第三、四次取试求第一、二次取到红试求第一、二次取到红四次四次若在袋中连续取球若在袋中连续取球的球的球与所取出的那只球同色与所取出的那只球同色只只并再放入并再放入观察其颜色然后放回观察其颜色然后放回任取一只球任取一只球每次自袋中每次自袋中只白球只白球只红球、只红球、设袋中装有设袋中装有atr 解解次取到红球”次取到红球”“第“第为事件为事件设设iiAi)4 , 3 , 2 , 1( .43四次取到白球四次取到白球为事件第三为事件第三则则、A、A例例4 4因此所求概率为因此所求概率为)(4321AAAAP)()()()(11221332

11、14APAAPAAAPAAAAP .23trratraratrtatrat 此模型被波利亚用来作为描画传染病的数学模型此模型被波利亚用来作为描画传染病的数学模型.例例5 5 设某光学仪器厂制造的透镜设某光学仪器厂制造的透镜, , 第一次落下第一次落下时突破的概率为时突破的概率为1/2,1/2,假设第一次落下未突破假设第一次落下未突破, , 第第二次落下突破的概率为二次落下突破的概率为7/10 , 7/10 , 假设前两次落下假设前两次落下未突破未突破, , 第三次落下突破的概率为第三次落下突破的概率为9/10.9/10.试求透试求透镜落下三次而未突破的概率镜落下三次而未突破的概率. .解解以以

12、B B 表示事件表示事件“透镜落下三次而未突破透镜落下三次而未突破. .,321AAAB 因因为为)()(321AAAPBP 所所以以)()()(112213APAAPAAAP )211)(1071)(1091( .2003 ,)3 , 2 , 1(次次落落下下打打破破透透镜镜第第表表示示事事件件以以iiAi .,.)ii(;, 2, 1,) i (,212121的一个划分的一个划分为样本空间为样本空间则称则称若若的一组事件的一组事件为为的样本空间的样本空间为试验为试验设设定义定义SBBBSBBBnjijiBBEBBBESnnjin 1. 样本空间的划分样本空间的划分1B2B3B1 nBnB三

13、、全概率公式与贝叶斯公式三、全概率公式与贝叶斯公式2. 全概率公式全概率公式全概率公式全概率公式)()()()()()()(), 2, 1(0)(,221121nninBPBAPBPBAPBPBAPAPniBPSBBBEASE 则则且且的的一一个个划划分分为为的的事事件件为为的的样样本本空空间间为为设设试试验验定定理理 jiBB由由 )(jiABAB)()()()(21nABPABPABPAP 图示图示A1B2B3B1 nBnB证明证明)(21nBBBAASA .21nABABAB ).()()()()()(2211nnBPBAPBPBAPBPBAP 化整为零化整为零各个击破各个击破1.,.i

14、iiiiP ABP BP A B事件A的发生有各种可能的原因B 如果A是由B 所引起 则A发生的概率为每一个原因都可能导致A发生 故A发生的概率是各原因引起A发生的概率的总和 即全概率公式关于全概率公式的了解与阐明： 2.,.iiiiBAP AP A BP B是导致事件A发生的一种可能途径 对于不同的途径B发生的概率各不相同 而采取哪个途径都是随机的故A的概率应是各的一种加权平均 其权为 3可以笼统的把全概率公式看成“由缘由推结果，每个缘由对结果的发生有一定的“作用那结果发生的能够性与各种缘由的“作用大小有关，全概率公式表达了它们之间的关系A1A2A3BA1BA2BA3B例例6 6 有一批同一

15、型号的产品，知其中由一厂有一批同一型号的产品，知其中由一厂消费的占消费的占 30% 30% ，二厂消费的占，二厂消费的占 50% 50% ，三厂消，三厂消费的占费的占 20%20%，又知这三个厂的产品次品率分别，又知这三个厂的产品次品率分别为为2% 2% ， 1%1%，1%1%，问从这批产品中任取一件是，问从这批产品中任取一件是次品的概率是多少次品的概率是多少? ?设事件设事件 A 为为“任取一件为次品任取一件为次品,. 3, 2, 1,”“ iiBi厂厂的的产产品品任任取取一一件件为为为为事事件件,321SBBB 解解. 3 , 2 , 1, jiBBji由全概率公式得由全概率公式得, 2

16、. 0)(, 5 . 0)(, 3 . 0)(321 BPBPBPS30%20%50%2%1%1%).()()()()()()(332211BPBAPBPBAPBPBAPAP .013. 02 . 001. 05 . 001. 03 . 002. 0 ,01. 0)(,01. 0)(,02. 0)(321 BAPBAPBAP)()()()()()()(332211BPBAPBPBAPBPBAPAP 故故例例7 7 设如下图的信道模型。以概率设如下图的信道模型。以概率p p输入符号输入符号“ 0 0 ,1-p,1-p输入输入“1 1。输出信号也为。输出信号也为“ 0 0 ，“ 1 1 。但。但信

17、道有干扰信道有干扰, ,误码率为误码率为 求输出信号中为求输出信号中为“0 0 的概率的概率? ?P(B)=P(A1B+A2B) =P(A1B)+P(A2B) =P(A1)P(B |A1)+P(A2)P(B |A2) =p(1-)+(1-p)解：解：设：设： A1 =输入的信号为输入的信号为“0 A2 =输入的信号为输入的信号为“1 B =输出的信号为输出的信号为“00101XY1-1-称此为贝叶斯公式称此为贝叶斯公式., 2 , 1,)()()()()(), 2 , 1(, 0)(, 0)(,.121niBPBAPBPBAPABPniBPAPSBBBEASEnjjjiiiin 则则且且的的一

18、一个个划划分分为为的的事事件件为为的的样样本本空空间间为为设设试试验验定定理理 3. 贝叶斯公式贝叶斯公式贝叶斯资料贝叶斯资料证明证明)()()(APABPABPii ,)()()()(1 njjjiiBPBAPBPBAP., 2 , 1ni 600:120010030025015020035050100(1),;(2)三三个个电电池池生生产产车车间间同同时时生生产产普普通通电电池池和和高高性性能能电电池池，一一小小时时总总产产量量为为只只各各车车间间的的产产量量如如下下表表 车车间间 普普通通电电池池 高高性性能能电电池池 共共计计产产量量 某某一一小小时时因因出出了了差差错错没没有有在在电

19、电池池上上加加上上车车间间标标签签就就放放入入了了仓仓库库在在仓仓库库中中随随机机地地取取一一只只电电池池 求求它它是是高高性性能能电电池池的的概概率率若若随随机机地地取取一一只只电电池池，已已知知它它是是高高性性能能电电池池，求求它它是是1,2,3 1,2,3 车车间间生生产产的的概概率率各各是是多多少少. .例例8 8由贝叶斯公式得由贝叶斯公式得 612/112/1)()()()(212/14/1)()()()(312/16/1)()()()(333222111 APBAPBPABPAPBAPBPABPAPBAPBPABP以上结果阐明，这只高性能电池来自以上结果阐明，这只高性能电池来自2车

20、间的能车间的能够性最大够性最大.解：设解：设A表示取到的是一只高性能电池，表示取到的是一只高性能电池，Bi表示表示取到的电池是第取到的电池是第i个车间消费的，个车间消费的，i=1,2,3.易知易知B1，B2，B3是是S的一个划分，且有的一个划分，且有21100504320015031300100616001003160020021600300321321 )()()()()()(BAPBAPBAPBPBPBP612131432131332211 )()()()()()()(BPBAPBPBAPBPBAPAP由由全全概概率率公公式式得得?,.%95,.%55,%98,概概率率是是多多少少机机器器

21、调调整整得得良良好好的的品品时时早早上上第第一一件件产产品品是是合合格格试试求求已已知知某某日日机机器器调调整整良良好好的的概概率率为为时时每每天天早早上上机机器器开开动动其其合合格格率率为为种种故故障障时时而而当当机机器器发发生生某某产产品品的的合合格格率率为为良良好好时时当当机机器器调调整整得得明明对对以以往往数数据据分分析析结结果果表表解解,“产品合格”“产品合格”为事件为事件设设 A.“机器调整良好”“机器调整良好”为事件为事件B则有则有,55. 0)(,98. 0)( BAPBAP例例9 9,05. 0)(,95. 0)( BPBP 由贝叶斯公式得所求概率为由贝叶斯公式得所求概率为)

22、()()()()()()(BPBAPBPBAPBPBAPABP 05. 055. 095. 098. 095. 098. 0 .97. 0 .97. 0,整良好的概率为整良好的概率为此时机器调此时机器调是合格品时是合格品时即当生产出第一件产品即当生产出第一件产品上题中概率上题中概率 0.95 是由以往的数据分析得到的是由以往的数据分析得到的, 叫叫做先验概率做先验概率.而在得到信息之后再重新加以修正的概率而在得到信息之后再重新加以修正的概率 0.97叫做后验概率叫做后验概率.先验概率与后验概率先验概率与后验概率).(,005. 0)(,005. 0,.95. 0)(,95. 0)(,:,ACP

23、CPCAPCAPCA试求试求即即的概率为的概率为设被试验的人患有癌症设被试验的人患有癌症进行普查进行普查现在对自然人群现在对自然人群有有则则有癌症”有癌症”表示事件“被诊断者患表示事件“被诊断者患以以为阳性”为阳性”表示事件“试验反应表示事件“试验反应若以若以验具有如下的效果验具有如下的效果某种诊断癌症的试某种诊断癌症的试根据以往的临床记录根据以往的临床记录 解解,95. 0)( CAP因因为为,995. 0)(,005. 0)( CPCP例例1010,05. 0)(1)( CAPCAP由贝叶斯公式得所求概率为由贝叶斯公式得所求概率为)()()()()()()(CPCAPCPCAPCPCAPACP .087. 0 即平均即平均1000个具有阳性反响的人中大约只需个具有阳性反响的人中大约只需87人人患有癌症患有癌症.1.条件概率条件概率)()()(APABPABP 全概率公式全概率公式贝叶斯公式贝叶斯公式四、小结四、小结)()()()()()()(2211nnBPBAPBPBAPBPBAPAP niBPBAPBPBAPABPnjjjiii, 2, 1,)()()()()(1 )()()(APABPABP 乘法定理乘法定理.)()(,)(,)(,.,)(,)(大大比比一般来说一般来说中基本事件数中基本事件数中基本事件数中基本事件数中基本事件