221用样本的频率分布估计总体分布

1、2.2 用样本估计总体 2.2.1 用样本的频率分布估计总体分布 1. 1. 通过实例体会分布的意义和作用通过实例体会分布的意义和作用. . 2.2.在表示样本数据的过程中，学会列频率分布表，画频率在表示样本数据的过程中，学会列频率分布表，画频率 分布直方图、频率折线图和茎叶图分布直方图、频率折线图和茎叶图. .( (重点重点) ) 3.3.通过实例体会频率分布直方图、频率折线图、茎叶图的通过实例体会频率分布直方图、频率折线图、茎叶图的 各自特征，从而恰当地选择上述方法分析样本的分布，准各自特征，从而恰当地选择上述方法分析样本的分布，准 确地做出总体估计确地做出总体估计. . ( (难点难点)

2、 ) 我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出. 20002000年全国主要城市中缺水情况排在前年全国主要城市中缺水情况排在前1010位的城市位的城市 某市政府为了节约生活用水，计划在本市试行居某市政府为了节约生活用水，计划在本市试行居 民生活用水定额管理，即确定一个居民月用水量标准民生活用水定额管理，即确定一个居民月用水量标准 a , a , 用水量不超过用水量不超过a a的部分按平价收费，超过的部分按平价收费，超过a a的部分的部分 按议价收费按议价收费. . (1)(1)如果希望大部分居民的日常生活不受影响，那如果希望大部分

3、居民的日常生活不受影响，那 么标准么标准a a定为多少比较合理呢？定为多少比较合理呢？ (2)为了较合理地确定这个标准，你认为需要做为了较合理地确定这个标准，你认为需要做 哪些工作？哪些工作？ 通过抽样，我们获得了通过抽样，我们获得了100100位居民某年的月平均用水量位居民某年的月平均用水量( (单位：单位： t) t) ，如下表：，如下表： 3.1 2.5 2.0 2.0 1.5 1.0 1.6 1.8 1.9 1.6 3.1 2.5 2.0 2.0 1.5 1.0 1.6 1.8 1.9 1.6 3.4 2.6 2.2 2.2 1.5 1.2 0.2 0.4 0.3 0.4 3.4 2.

4、6 2.2 2.2 1.5 1.2 0.2 0.4 0.3 0.4 3.2 2.7 2.3 2.1 1.6 1.2 3.7 1.5 0.5 3.8 3.2 2.7 2.3 2.1 1.6 1.2 3.7 1.5 0.5 3.8 3.3 2.8 2.3 2.2 1.7 1.3 3.6 1.7 0.6 4.1 3.3 2.8 2.3 2.2 1.7 1.3 3.6 1.7 0.6 4.1 3.2 2.9 2.4 2.3 1.8 1.4 3.5 1.9 0.8 4.3 3.2 2.9 2.4 2.3 1.8 1.4 3.5 1.9 0.8 4.3 3.0 2.9 2.4 2.4 1.9 1.3 1.

5、4 1.8 0.7 2.0 3.0 2.9 2.4 2.4 1.9 1.3 1.4 1.8 0.7 2.0 2.5 2.8 2.3 2.3 1.8 1.3 1.3 1.6 0.9 2.3 2.5 2.8 2.3 2.3 1.8 1.3 1.3 1.6 0.9 2.3 2.6 2.7 2.4 2.1 1.7 1.4 1.2 1.5 0.5 2.4 2.6 2.7 2.4 2.1 1.7 1.4 1.2 1.5 0.5 2.4 2.5 2.6 2.3 2.1 1.6 1.0 1.0 1.7 0.8 2.4 2.5 2.6 2.3 2.1 1.6 1.0 1.0 1.7 0.8 2.4 2.8 2.

6、5 2.2 2.0 1.5 1.0 1.2 1.8 0.6 2.2 2.8 2.5 2.2 2.0 1.5 1.0 1.2 1.8 0.6 2.2 这些数字告诉我们什么信息？这些数字告诉我们什么信息？ 很容易发现的是一个居民月平均用水量的最小值时很容易发现的是一个居民月平均用水量的最小值时 0.2t0.2t，最大值是，最大值是4.3t4.3t，其他在，其他在0.2t0.2t4.3t4.3t之间之间. . 分析数据的一种基本方法是用图将它们画出来，或分析数据的一种基本方法是用图将它们画出来，或 者用紧凑的表格改变数据的排列方式者用紧凑的表格改变数据的排列方式. .初中我们曾经学过初中我们曾经学过

7、 频数分布图和频数分布表，这使我们能够清楚地知道数频数分布图和频数分布表，这使我们能够清楚地知道数 据分布在各个小组的个数据分布在各个小组的个数. . 下面将要学习的频率分布表和频率分布图，则是从各个小下面将要学习的频率分布表和频率分布图，则是从各个小 组数据在样本容量中所占比例大小的角度，来表示数据分组数据在样本容量中所占比例大小的角度，来表示数据分 布的规律布的规律. . 它可以使我们看到整个样本数据的它可以使我们看到整个样本数据的频率分布频率分布情况情况. . 频率分布表和频率分布直方图频率分布表和频率分布直方图 （1 1）求极差（一组数据中的最大值与最小值的差）求极差（一组数据中的最大

8、值与最小值的差）. . 例如，例如，4.3-0.2=4.14.3-0.2=4.1，说明样本数据的变化范围是，说明样本数据的变化范围是4.1(t). 4.1(t). （2 2）决定组距与组数）决定组距与组数. . 设设k=k=极差组距，若极差组距，若k k为整数，则组数为整数，则组数=k=k，否则，组数，否则，组数 =k+1. =k+1. 为方便其间，组距的选择应力求为方便其间，组距的选择应力求“取整取整”. .在本问题中，如在本问题中，如 果取组距为果取组距为0.50.5（t)t)，那么，那么 组数组数= =极差组距极差组距=4.1 =4.1 0.5=8.20.5=8.2， 因此可以将数据分为

9、因此可以将数据分为9 9组，这个组数是比较合适的，于是取组，这个组数是比较合适的，于是取 组距为组距为0.50.5，组数为，组数为9. 9. （3 3）将数据分组）将数据分组. . 以组距为以组距为0.50.5将数据分组时，可以分成以下将数据分组时，可以分成以下9 9组：组： 0,0.5),0.5,1),0,0.5),0.5,1),4,4.5. ,4,4.5. （4 4）列频率分布表）列频率分布表. . 计算各小组的频率，作出下面的计算各小组的频率，作出下面的频率分布表频率分布表. .（频数（频数= = 样本数据落在各小组内的个数样本数据落在各小组内的个数, ,频率频率= =频数样本容量）频数

10、样本容量） 分组分组 频数累计频数累计 频数频数 频率频率 频率频率/ /组距组距 列频率分布表列频率分布表: : 频率分布表一般频率分布表一般 分分“分组分组”， “频数累计频数累计” （可省），（可省），“频频 数数”，“频率频率”, , “频率频率/ /组距组距” 五列，最后一行五列，最后一行 是合计是合计 频数频数 频率频率= = 样本容量样本容量 0,0.5) 0.5,1) 1,1.5) 1.5,2) 2,2.5) 2.5,3) 3,3.5) 3.5,4) 4,4.5 合计合计 4 8 15 22 25 14 6 4 2 0.04 0.08 0.15 0.22 0.25 0.14 0

11、.06 0.04 0.08 0.08 0.16 0.16 0.30 0.30 0.44 0.44 0.50 0.50 0.28 0.28 0.12 0.12 0.08 0.08 0.02 1.00 0.04 0.04 100 注意频数的合计应是样本容量，频率合计应是注意频数的合计应是样本容量，频率合计应是1. 1. (5)(5)画频率分布直方图画频率分布直方图. . 根据频率分布表可以得到如图所示的频率分布直方图根据频率分布表可以得到如图所示的频率分布直方图: : 频率频率/组距组距 0.50 0.40 0.30 0.20 0.10 月均用月均用 水量水量/t O 0.5 1 1.5 2 2.

12、5 3 3.5 4 4.5 频率分布是指一个样本数据在各个小范围内所占比例的大频率分布是指一个样本数据在各个小范围内所占比例的大 小小. .一般用频率分布直方图来反映样本的频率分布一般用频率分布直方图来反映样本的频率分布. . 提升总结：频率分布直方图提升总结：频率分布直方图 第一步：第一步：画平面直角坐标系画平面直角坐标系. . 第二步：第二步：在横轴上均匀标出各组分点，在纵轴上标出单在横轴上均匀标出各组分点，在纵轴上标出单 位长度位长度. . 第三步：第三步：以组距为宽，各组的频率与组距的商为高，分以组距为宽，各组的频率与组距的商为高，分 别画出各组对应的小长方形别画出各组对应的小长方形.

13、 . 频率频率/组距组距 宽度：组距宽度：组距 0.5 0.5 0.4 0.4 0.3 0.3 0.2 0.2 0.1 0.1 O 频率频率 高度：高度： 组距组距 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 月均用水量月均用水量/t 各组的频率在图中哪里显示出来？各组的频率在图中哪里显示出来？ 各小长方形的面积各小长方形的面积= =频率频率. . 各小长方体的面积之和是否为定值？各小长方体的面积之和是否为定值？ 各小长方形的面积之和为各小长方形的面积之和为1. 1. 频率频率/组距组距 0.5 0.5 0.4 0.4 0.3

14、 0.3 0.2 0.2 0.1 0.1 O 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 月均用水量月均用水量/t 你能根据上述频率分布直方图指出居民月均用水量的你能根据上述频率分布直方图指出居民月均用水量的 一些数据特点吗？一些数据特点吗？ （1 1）居民月均用水量的分布是呈）居民月均用水量的分布是呈“山峰山峰”状的，而且是状的，而且是 “单峰单峰”的；的； （2 2）大部分居民的月均用水量集中在一个中间值附近，）大部分居民的月均用水量集中在一个中间值附近， 只有少数居民的月均用水量很多或很少；只有少数居民的月均用水量很多或

15、很少； （3 3）居民月均用水量的分布有一定的对称性）居民月均用水量的分布有一定的对称性. . 频率分布直方图非常直观地表明了样本数据的分布情况，频率分布直方图非常直观地表明了样本数据的分布情况， 使我们能够看到频率分布表中看不太清楚的数据模式，但使我们能够看到频率分布表中看不太清楚的数据模式，但 原始数据不能在图中表示出来原始数据不能在图中表示出来. . 如果市政府希望如果市政府希望85%85%左右的居民每月的用水量不超过左右的居民每月的用水量不超过 标准，根据上述频率分布表，你对制定居民月用水量标准标准，根据上述频率分布表，你对制定居民月用水量标准 （即（即a a的取值）有何建议？的取值）

16、有何建议？ 88%88%的居民在的居民在3t3t以下，标准可定为以下，标准可定为3t. 3t. 在实际中，取在实际中，取a=3ta=3t一定能保证一定能保证85%85%以上的居民用水不超标以上的居民用水不超标 吗？吗？ 在实践中，对统计结论是需要进行评价的在实践中，对统计结论是需要进行评价的. . 频率分布直方图如下频率分布直方图如下： 频率频率/组距组距 连接频率分布直方图中各连接频率分布直方图中各 小长方形上端的中点小长方形上端的中点, ,得到得到 频率分布折线图频率分布折线图. . 0.50 0.40 0.30 0.20 0.10 o 月均用水量月均用水量/t /t 0.5 1 1.5

17、2 2.5 3 3.5 4 4.5 利用样本频率分布对总体分布进行相应估计利用样本频率分布对总体分布进行相应估计: : （1 1）上例的样本容量为）上例的样本容量为100100，如果增至，如果增至1 0001 000，其频率，其频率 分布直方图的情况会有什么变化？假如增至分布直方图的情况会有什么变化？假如增至10 00010 000呢？呢？ （2 2）样本容量越大，这种估计越精确）样本容量越大，这种估计越精确. . （3 3）当样本容量无限增大，组距无限缩小，那么频率）当样本容量无限增大，组距无限缩小，那么频率 分布直方图就会无限接近于一条光滑曲线分布直方图就会无限接近于一条光滑曲线总体密度总

18、体密度 曲线曲线. . 总体密度曲线总体密度曲线 频率频率/组距组距 月均用月均用 水量水量/t o a b （图中阴影部分的面积，表示总体在某个区间（图中阴影部分的面积，表示总体在某个区间 (a, b) (a, b) 内取值的百分比）内取值的百分比）. . 总体密度曲线总体密度曲线 总体密度曲线反映了总体在各个范围内取值的百分总体密度曲线反映了总体在各个范围内取值的百分 比比,精确地反映了总体的分布规律，是研究总体分布的工精确地反映了总体的分布规律，是研究总体分布的工 具具. 用样本频率分布直方图去估计相应的总体分布时，用样本频率分布直方图去估计相应的总体分布时， 一般样本容量越大，频率分布

19、直方图就会无限接近总体一般样本容量越大，频率分布直方图就会无限接近总体 密度曲线，就越精确地反映了总体的分布规律，即越精密度曲线，就越精确地反映了总体的分布规律，即越精 确地反映了总体在各个范围内取值的百分比确地反映了总体在各个范围内取值的百分比. 茎叶图茎叶图 某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的原始记录某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的原始记录 如下：如下： 甲运动员得分：甲运动员得分： 13,51,23,8,26,38,16,33,14,28,39; 13,51,23,8,26,38,16,33,14,28,39; 乙运动员得分：乙运动员得分： 49,24,12,31,50,3

20、1,44,36,15,37,25,36,39. 49,24,12,31,50,31,44,36,15,37,25,36,39. 茎叶图茎叶图 甲甲 茎是指中间茎是指中间 的一列数，的一列数， 乙乙 8 4 6 3 3 6 8 3 8 9 1 0 1 2 5 叶就是从茎的叶就是从茎的 旁边生长出来旁边生长出来 的数，表示得的数，表示得 分的个位数字分的个位数字 表示得分的表示得分的 十位数字十位数字 2 3 5 4 1 6 1 6 7 9 4 5 4 9 0 从运动员的成绩的分布来看，乙运动员的成绩更好；从运动员的成绩的分布来看，乙运动员的成绩更好； 从叶在茎上的分布情况来看，乙运动员的得分更集

21、中于从叶在茎上的分布情况来看，乙运动员的得分更集中于 峰值附近，说明乙运动员的发挥更稳定峰值附近，说明乙运动员的发挥更稳定. . 茎叶图的优、缺点：茎叶图的优、缺点： 在样本数据较少时，用茎叶图表示数据的效果较好在样本数据较少时，用茎叶图表示数据的效果较好 . .它不但它不但 可以保留所有信息，而且可以随时纪录，这对数据的纪录和表可以保留所有信息，而且可以随时纪录，这对数据的纪录和表 示都能带来方便示都能带来方便 . . 但当样本数据较多时，茎叶图就显得不太方便但当样本数据较多时，茎叶图就显得不太方便 . .因为每一个因为每一个 数据都要在茎叶图中占据一个空间，如果数据很多，枝叶就会数据都要在

22、茎叶图中占据一个空间，如果数据很多，枝叶就会 很长很长. . 1.1.将样本容量为将样本容量为100100的数据按从大到小的顺序分为的数据按从大到小的顺序分为8 8组如下表：组如下表： 组号组号 频数频数 1 1 10 10 2 2 13 13 3 3 14 14 4 4 14 14 5 5 15 15 6 6 13 13 7 7 12 12 8 8 9 9 ） 则第三组的频率为（则第三组的频率为（ (A)0.14 (B)1/14 (C)0.03 (D)3/14 (A)0.14 (B)1/14 (C)0.03 (D)3/14 2.2.将一个容量为将一个容量为5050的样本数据分组后的样本数据分

23、组后, ,组距和频数如下组距和频数如下: : 12.512.5，15.515.5），；），；15.515.5，18.518.5），），8 8；18.518.5，21.521.5），）， 9 9；21.521.5，24.524.5），），1111；24.524.5，27.527.5），），1 1； 27.527.5，30.530.5），），6 6；30.530.5，33.533.5，3 3 则估计小于或等于则估计小于或等于3030的数据大约占总体的（的数据大约占总体的（ ） (A)(A) (B)(B) (C)(C) (D) (D) 3.3.某地区为了了解知识分子的年龄结构，随机抽样某地区为了了解

24、知识分子的年龄结构，随机抽样5050名，其名，其 年龄分别如下：年龄分别如下： 4242，3838，2929，3636，4141，4343，5454，4343，3434，4444，4040，5959，3939， 4242，4444，5050，3737，4444，4545，2929，4848，4545，5353，4848，3737，2828， 4646，5050，3737，4444，4242，3939，5151，5252，6262，4747，5959，4646，4545， 6767，5353，4949，6565，4747，5454，6363，5757，4343，4646，58. 58. (1)(1)列出样本频率分布表；列出样本频率分布表； (2)(2)画出频率分布直方图；画出频率分布直方图； (3)(3)估计年龄在估计年龄在3232岁岁5252岁的知识分子所占的比例约是多少岁的知识分子所占的比例约是多少. . 【解析】【解析】(1)(1)极差为极差为67-28=3967-28=39，取组距为，取组距为5 5，分为，分为8 8组组. . 样本频率分布表：样本频率分布表