专题课件5点的复合运动

1、1 2 前一章我们研究点和刚体的运动，一般都是以地面为参考 体的。然而在实际问题中，还常常要在相对于地面运动着的参 考系上观察和研究物体的运动。例如，从行驶的汽车上观看飞 机的运动等，坐在行驶的火车内看下雨的雨点是向后斜落的等。 为什么在不同的坐标系或参考体上观察物体的运动会有不 同的结果呢？我们说事物都是相互联系着的。下面我们就将研 究参考体与观察物体运动之间的联系。为了便于研究，下面先 来介绍有关的概念。 第五章第五章 点的复合运动点的复合运动 （或称点的合成运动） 3 5-15-1绝对运动、相对运动、牵连运动绝对运动、相对运动、牵连运动 一坐标系：一坐标系： 1.静坐标系（静系）静坐标系

2、（静系）：固结于地面上的坐标系。 2.动坐标系（动系）动坐标系（动系）：固结于相对于地面运动物体上的坐标系。 铅铅 直直 下下 降降 4 三三种运动、速度、加速度。三三种运动、速度、加速度。 绝对运动绝对运动：动点相对于静系的运动。 相对运动相对运动：动点相对于动系的运动。 例如：M点相对于飞机机身的运动。 牵连运动牵连运动：动系相对于静系的运动 例如：直升飞机相对于地面的运动。 动点相对于静系的速度与加速度称为动点相对于静系的速度与加速度称为绝对速度绝对速度 与与绝对加速度绝对加速度 动点相对于动系的速度和加速度称为动点相对于动系的速度和加速度称为相对速度相对速度 与与相对加速度相对加速度

3、牵连运动中牵连运动中,牵连点的速度和加速度称为牵连点的速度和加速度称为牵连速度牵连速度与与牵连加速度牵连加速度 aa ev ea rv ra av 牵连点牵连点：在某瞬时，动系上与动点相重合的点。 点的运动 刚体的运动 二动点二动点：所研究的点（运动着的点）。 不是随便一点，而是在该瞬时动系上与动点重合的那一点。 注意： 是动系上某点的速度、加速度； ee a ,v 5 下面举例说明以上各概念：下面举例说明以上各概念： 动点：动点： 动系：动系： 静系：静系： AB杆上A点 固结于凸轮上 固结在地面上 四动点、动系的选择原则：四动点、动系的选择原则： （1）动点相对动系要有运动（即动点、动系不

4、能在一个物体上 ） （2）动点相对运动轨迹要明显 （3）动系的运动要简单（已知或可求） 一般：动点必须是始终与动系接触的那一点，如杆的端点、 销钉、滑块、套筒等机构的连接点。特殊情况为圆心。 6 相对运动相对运动： 牵连运动牵连运动： 曲线（圆弧） 直线平动 绝对运动绝对运动： 直线 7 evrva v绝对速度绝对速度 ： 相对速度相对速度 ： 牵连速度牵连速度 ： 8 绝对加速度：绝对加速度： 相对加速度：相对加速度： 牵连加速度：牵连加速度： aa ea ra 9 动点：圆盘上的销钉动点：圆盘上的销钉A 动系：摆杆动系：摆杆OA 静系：机架静系：机架 绝对运动：曲线（圆周）绝对运动：曲线（

5、圆周） 相对运动：直线相对运动：直线 牵连运动：定轴转动牵连运动：定轴转动 动点：动点：A1（在（在OA1 摆杆上摆杆上) 动系：圆盘动系：圆盘 静系：机架静系：机架 绝对运动：曲线（圆弧）绝对运动：曲线（圆弧） 相对运动：曲线相对运动：曲线 牵连运动：定轴转动牵连运动：定轴转动 10 若动点若动点A在偏心轮上时在偏心轮上时 动点：A(在AB杆上) A（在偏心轮上） 动系：偏心轮AB杆 静系：地面地面 绝对运动：直线圆周（红色虚线） 相对运动：圆周（曲线）曲线（未知） 牵连运动：定轴转动平动 注注 要指明动点应在哪个 物体上， 但不能选在 动系上。 11 5-5-点的速度合成定理点的速度合成定

6、理 速度合成定理 将建立动点的绝对 速度，相对速度和 牵连速度之间的关 系。 tt+t M M 也可看成： M M1 M M1M MM 绝对轨迹 相对轨迹 M MM1M 绝对位移 相对位移M M1 牵连位移 12 1 MMMM 1M M 由图： 将两边同除以t，并取t 0时的极限： t MM t MM t MM ttt 1 0 1 00 limlimlim 13 rea vvv a v e v r v 即在任一瞬时动点的绝对速度等于其牵连速度与相对速度的即在任一瞬时动点的绝对速度等于其牵连速度与相对速度的 矢量和，这就是点的速度合成定理。矢量和，这就是点的速度合成定理。 14 点的速度合成定理

7、是瞬时矢量式，共包括大小方向 六个元 素，已知任意四个元素，就能求出其他两个。 在速度平行四边形中， 一定夹在 与 之间。 无论牵连运动为何种 运动，此定理都成立。 a v e v r v *例例1 桥式吊车 已知： 小车水平运行，速度为v1， 物块A相对小车垂直上升 的速度为v2。求物块A的运 行速度。 15 作出速度平四边形作出速度平四边形如图示，则物块的速度大小和方向为 2 2 2 1 22 vvvvvv reaA 1 2 1 tg v v 由速度合成定理：由速度合成定理： rea vvv 解解：选取动点动点: 物块A 动系动系: 小车 静系静系: 地面 相对运动: 直线; 相对速度vr

8、 =v2 方向 牵连运动: 平动; 牵连速度ve=v1 方向 绝对运动: 曲线; 绝对速度va 的大小,方向待 求 16 解题步骤： （1）选取动点、动系 动系可以用文字说明（如本题），也可以在所选物体 上画出xo y ，静系可以不叙述。 （2）分析三种运动 （3）分析三种速度 （4）由 作速度平行四边形 注意： 要位于 与 之间 （5）由速度平行四边形求解 rea vvv a v e v r v 17 2 2 2 2 2 1 111 22 2 22 2 22 1 , sin,sin lr r lr r lr AO v AOv lr r vv lr r e e ae 又 （ ） 例例2 曲柄摆

9、杆机构 已知已知：OA= r , , OO1=l图示瞬时OAOO1 求求：摆杆O1B角速度1 由速度合成定理 作出速度平行四边形 如图示。 rea vvv 解解：动点：套筒A，动系：固结在摆杆 O1B上。 绝对速度va = r 方向 OA与一致 相对速度vr = ? 方位：O1B 牵连速度ve = ? 方位O1B 18 由速度合成定理 ， 作出速度平行四边形 如图示。 解：解：动点取直杆上A点，动系固结于圆盘， 静系固结于基座。 （翻页请看动画） )( 3 32 3 32 30 0 evetgvv ABea *例例3 圆盘凸轮机构 已知：已知：OCe , , （匀角速度） 图示瞬时, OCCA

10、 且 O,A,B三点共线。 求：求：从动杆AB的速度。 eR3 rea vvv 绝对速度 va = ? 待求，方位AB 相对速度 vr = ? 未知，方位CA 牵连速度 ve =OA=2e, 方向 OA如图 19 20 分析分析：相接触的两个物体的接触点位置都随时间而变化， 因此两物体的接触点都不宜选为动点，否则相对运动的分析 就会很困难。这种情况下，需选择满足上述两条原则的非接 触点为动点。 *例例 已知: 凸轮半径r , 图示时 杆OA靠在凸轮上。 求：杆OA的角速度。 ;30 ,v 21 解: 取凸轮上C点为动点动点, 动系动系固结于OA杆上, 静系静系固结于基座。 绝对运动: 直线运动

11、, 绝对速度: 相对运动: 直线运动, 相对速度: 牵连运动: 定轴转动, 牵连速度: , 方向vva OCOCve方位待求 , , ? 方位 , ? r vOA 如图示。根据速度合成定理, rea vvv作出速度平行四边形 r v v rr ve 6 3 3 3 2 1 2 vvv ae 3 3 tg （） ,2 sin r r OCv e 又 22 5-35-3点的加速度合成定理点的加速度合成定理 reavvv 由于牵连运动为平动，故 由速度合成定理 , OeOe aavv r k dt dz j dt dy i dt dx v而 k dt dz j dt dy i dt dx vv Oa

12、 对t求导： 2 2 2 2 2 2 k dt zd j dt yd i dt xd dt vd dt vd a Oa a 设有一动点M按一定规律沿着固连于动系Oxyz 的曲线AB 运动, 而曲线AB同时又随同动系Oxyz 相对静系Oxyz平动。 一、牵连运动为平动时点的加速度合成定理一、牵连运动为平动时点的加速度合成定理 23 0 , 0 , 0 dt zd dt yd dt i d (其中为动系坐标的单位矢量，因为动系为平动，故它 们的方向不变，是常矢量，所以 ） , , kji rea aaa 牵连运动为平动时点的加速度合成定理 即当牵连运动为平动时，动点的绝对加速度等于牵连加速度 与相

13、对加速度的矢量和。 , 2 2 2 2 2 2 k dt zd j dt yd i dt xd aaa dt vd reO O 又 n aaa n rr n ee n aa aaaaaa 一般式可写为： 24 解解：取杆AB上的A点为动点， 动系固连在凸轮上。 例例5 已知：凸轮半径 求： =60o时, 顶杆AB的加速度。 oo avR, 请看动画 25 由 , rea vvv作速度平行四边形如图示： 0 o 0e r v 3 2 60sin v sin v v （1）求 r v：va = ? , 方位：AB ； a v ：ve=v0 , 方向 ： 。 e v ：vr = ? , 方位CA;

14、r v 26 （2）求 aAB aa ：aa =?, 方位：AB，指向：假设 ar =? 方位CA 方向：AC ：ae=a0 , 方向： R v R v a r n r 3 4 2 0 2 a a e a :ar 指向：假设 注意：不同于速 度，加速度的指 向一般为假设 加速度图要与速度图分开画 27 因牵连运动为平动牵连运动为平动，故有 n reaaaaa r 将上式向n轴投影，得 n rea aaacossin 60sin/ ) 3 4 60cos(sin/ )cos( 2 0 0 R v aaaa n rea 得) 3 8 ( 3 3 2 0 0 R v aaa aAB 注意加速度矢量方

15、程的投影是等式两端的投影，与静平 衡方程的投影关系不同 n 28 上一节我们证明了牵连运动为平动时的点的加速度合成定 理，那么当牵连运动为转动时，上述的加速度合成定理是否还 适用呢？下面我们来分析一特例。 二、牵连运动为转动时点的加速度合成定理二、牵连运动为转动时点的加速度合成定理 设一圆盘以匀角速度 绕定轴顺 时针转动，盘上圆槽内有一点M以大 小不变的速度 vr 沿槽作圆周运动，那 么M点相对于静系的绝对加速度应是 多少呢？ 1.牵连运动为转动时的加速度合成定理与牵连运动为平动时牵连运动为转动时的加速度合成定理与牵连运动为平动时 有何不同？有何不同？ 29 R v av r rr 2 , 常

16、数有 相对运动相对运动为匀速圆周运动， （方向如图） 由速度合成定理可得出 常数 rrea vRvvv 选点选点M为动点，动系固结与圆盘上为动点，动系固结与圆盘上， 则M点的牵连运动牵连运动为匀速转动 RaRv ee 2 ,（方向如图） 即绝对运动绝对运动也为匀速圆周运动，所以 方向指向圆心点 rrer rra a vaav R v R R )vR( R v a 22 2 2 22 30 分析上式： 还多出一项2 vr 。 可见，当牵连运动为转动时，动点的绝对加速度并不当牵连运动为转动时，动点的绝对加速度并不 等于牵连加速度等于牵连加速度 和相对加速度的矢量和。和相对加速度的矢量和。那么他们

17、之间的关系是什么呢？ 2 vr 又是怎样出现的呢？它是什么 呢？下面我们就来讨论这些问题，推证牵连运动为转动时点 的加速度合成定理。 eara aa , , / 2 2 RaRva err 2.牵连运动为转动时的加速度合成定理牵连运动为转动时的加速度合成定理 31 2.牵连运动为转动时的加速度合成定理牵连运动为转动时的加速度合成定理 (1)动系：Oxyz；静系：Oxyz， 动系以、绕z轴转动，动点M相 对于动系沿AB运动。 动点的相对速度及相对加速度 k dt dz j dt dy i dt dx vr 2 2 2 2 2 2 k dt zd j dt yd i dt xd ar 动系绕z轴转

18、动，动系上与动点重合的点的速度、加速度即 牵连速度、牵连加速度：由公式（4-2-13）（4-2-14） eee vrarv, 32 (2)由速度合成定理 得 rea vvv dt vd dt vd dt vd a rea a （*） dt rd r dt d dt rd dt vd e ) ( dt oord r ) ( a vr dt rd r rere vavvr r v是牵连速度受相对运动的影响而对时间的变化率 33 ) (k dt dz j dt dy i dt dx dt d dt vd r dt kd dt dz dt j d dt dy dt i d dt dx k dt zd

19、j dt yd i dt xd 2 2 2 2 2 2 dt kd dt dz dt j d dt dy dt i d dt dx ar 是 矢端的速度，所以 可以看成是矢径 的端点速 度，由于 随同动系绕z轴转动，因此 端点的速度可按式 （4-2-13）得 dt rd dt kd r k k k 34 k dt kd , j dt j d i dt i d 同理 rrr r vak dt dz j dt dy i dt dx a dt vd ) ( 是相对速度受牵连运动的影响而对时间的变化率 r v 于是，由（*）： crea aaaa则 rrea vaaa2 科氏加速度令 rC va2 3

20、5 所以，当牵连运动为转动时，加速度合成定理加速度合成定理为 crea aaaa 当牵连运动为转动时，动点的绝对加速度等于它的牵连加速 度，相对加速度和科氏加速度三者的矢量和。 rc va2 c n rr n ee n aa aaaaaaa 一般式 3.科氏加速度科氏加速度 这是由于牵连运动为转动时，牵连运动会改变相对速度 的方向而引起相对速度的变化，相对运动会改变牵连点而引 起牵连速度的变化。 牵连运动（即动系） 的角速度 36 大小： sinva rc 2 方向：按右手法则确定 rcr o vav290），时（当 01800 cr oo av/），时（或当 4. 存在的实例存在的实例 c

21、a 在北半球,沿经线(南 北)流动的河流的右 岸易被冲刷(如苏联 的伏尔加河),铁路的 右轨磨损厉害，在 南半球则相反。 r v 对于平面机构：aC=2vr ，方向： 将 绕动系方向转900即得 37 解解: 动点: AB杆上A点； 动系: 凸轮 ; 静系: 地面。 （1）求vAB 例例6 已知：凸轮机构以匀 绕O轴转动， 图示瞬时OA= r ，A点曲率半径 , 已知。 求：该瞬时顶杆 AB的速度和加速度。 a v： va=? , 方位：AB e v ：ve= r ， 方向OA， r v ： vr=? 方向n 38 nrvaa r n rr : ,cos/: 222 2 方向 ，指向：假设方位

22、：AB?aa aa , : n?ar方位 ;OA:raaaa n ee ee , , 0 : 2 方向 相反。指向与方位 22: 2 n,n: ,cos/rvaa rcc )(tg tgrvvv eaAB cos/ cos/rvv er 根据 reavvv 作出速度平行四边形 （2）求aAB 指向：假设 39 由牵连运动为转动时的加速度合成定牵连运动为转动时的加速度合成定 理理 c n rrea aaaaa 作出加速度矢量图加速度矢量图如图示 c n rea aaaacoscos cos/ )sec2/seccos( 22222 rrraa aAB )sec2/sec1 ( 232 rr 向

23、n 轴投影： 40 )v/ac 22 ( 0 练习练习 矩形板ABCD以匀角速度 绕固定 轴 z 转动，点M1和点M2分别沿板的对角线 BD和边线CD运动，在图示位置时相对于板 的速度分别为 和 ，计算点M1 、 M2的 科氏加速度大小, 并图示方向。 1v2v 点M2 的科氏加速度 sinvac 11 2 解解：点M1的科氏加速度 垂直板面向里。 1c a 41 解： rc va 2 2 rcr vav 22 2 rea vvv根据做出速度平行四边形 )cos(sin),sin(cos 11 rvvrvv arae 11 2 2 cos sin)sin( cos sin )sin( r r

24、AO ve r cos )sin( va rc 2 12 22 2 方向：与 相同。 e v 练习练习 曲柄摆杆机构 已知：O1Ar , , , 1; 取O1A杆上A点为动点，动系固结O2B 上，试计算动点A的科氏加速度。 42 reavvv reaaaa 点的合成运动习题课点的合成运动习题课 一概念及公式一概念及公式 1. 一点、二系、三运动 2. 速度合成定理 3. 加速度合成定理 牵连运动为平动时 牵连运动为转动时 )2( rCCrea vaaaaa 43 二解题步骤二解题步骤 1. 选择动点、动系、静系。 2. 分析三种运动：绝对运动、相对运动和牵连运动。 3. 作速度分析, 画出速度

25、平行四边形,求出有关未知量 (速度, 角速度）。 4. 作加速度分析，画出加速度矢量图，求出有关的加速度、 角加速度未知量。 44 二解题技巧二解题技巧 1. 恰当地选择动点恰当地选择动点.动系和静系动系和静系, 应满足选择原则应满足选择原则.，具体地有： 两个不相关的动点，求二者的相对速度。 根据题意, 选择其中之一为动点, 动系为固结于另一点的平动 坐标系。 运动刚体上有一动点，点作复杂运动。 该点取为动点，动系固结于运动刚体上。 机构传动, 传动特点是在一个刚体上存在一个不变的接触点, 相对于另一个刚体运动。 导杆滑块机构：典型方法是动系固结于导杆，取滑块为动点。 凸轮挺杆机构：典型方法

26、是动系固结与凸轮，取挺杆上与凸轮 接触点为动点。 45 特殊问题, 特点是相接触两个物体的接触点位置都随时间而 变化. 此时, 这两个物体的接触点都不宜选为动点，应选择满 足前述的选择原则的非接触点为动点。 2. 速度问题速度问题, 一般采用几何法求解简便, 即作出速度平行四边形； 加速度问题加速度问题, 往往超过三个矢量, 一般采用解析（投影）法求 解，投影轴的选取依解题简便的要求而定。 46 四注意问题四注意问题 1. 牵连速度及加速度是牵连点的速度及加速度。 2. 牵连转动时作加速度分析不要丢掉 ，正确分析和计算。 3. 加速度矢量方程的投影是等式两端的投影，与静平衡方程 的投影式不同。

27、 4. 圆周运动时， 非圆周运动时， ( 为曲率半径) C a RRvan 22 / 22 / van C a 47 已知已知: OAl , ，, ;求求： = 45 o 时小车的速度与加速度 解解： 动点：套筒动点：套筒A; 动系：固结在滑杆上（平动）动系：固结在滑杆上（平动）; 静系：固结在机架上。静系：固结在机架上。 绝对运动：圆周运动， 相对运动：直线运动， 牵连运动：平动； )( OAlv a 方向 )( ),( 2 OAOlaOAla n aa 指向沿方向 铅直方向 ? ? rrav ., ? ?待求量水平方向 eeav *例例1 曲柄滑杆机构曲柄滑杆机构 请看动画请看动画 48

28、小车的速度小车的速度： evv 根据速度合成定理根据速度合成定理 作出速度平行四边形作出速度平行四边形, 如图示如图示 reavvv )(coscos llvv ae 2 2 45 将上式向x轴投影： e n aa aaa sincos 4545 2sin cosllae ，方向如图示l )( 2 2 2 小车的加速度小车的加速度： eaa 根据牵连平动的加速度合成定理根据牵连平动的加速度合成定理 re n aaaaaa 作出速度矢量图如图示作出速度矢量图如图示。 49 *例例2 摇杆机构,已知h，BC的 ，求 求: OA杆的 , 。 解解：动点动点: BC上的销钉上的销钉D ; 动系动系:

29、固结于固结于OA。 绝对运动：直线运动， 相对运动：直线运动，沿OA 线 牵连运动：定轴转动， aavv aa, ?, rrav OODaOAODa n ee 指向 ?;?, 2 OAODve?, sinsin,coscosvvvvvv arae h v h vODve 2 cos ) cos /(cos/ （） （1）求：根据作出速度平行四边形,如图示。 reavvv a ,v 50 sinv h cosv va , h cosv ) h cosv ( cos h a rc n e 2 32 2 2 22 （*） 将（*）式向 轴投影： cea aaa cos cos sincos2 cos

30、 22 a h v aaa ace 22 2 2 cos2sincos h a h v OD ae （） （2）求）求 由由牵连运动为转动的加速度合成定理 cr n eea aaaaa 51 *例例3 曲柄滑块机构，曲柄滑块机构， 解解（1）以以O1A、BCD对象，对象，动点动点:O1A上上A点点; 动系动系:BCD。 绝对运动：圆周运动; 相对运动：直线运动; 牵连运动：平动; ，水平方向 AOrva 11 , BCvr /?, ? e v 已知：已知： h; 图示瞬时 ; 求求: 该瞬时 杆的2 。 EOAO 21 / EO2 , 11rAO 52 根据根据 作出速度平行四边形作出速度平行

31、四边形 reavvv （2）以）以BCD、O2E为对象为对象 动点：动点：BCD上上F点点 动系：固结于动系：固结于O2E上，上， 绝对运动：直线运动，绝对运动：直线运动， 相对运动：直线运动，相对运动：直线运动， 牵连运动：定轴转动牵连运动：定轴转动， )(sin 1 rv Fa )(/ ?, 2EOvFr )( ?, 2EOvFe sinsin 1 rvv ae 根据根据作出速度平行四边形作出速度平行四边形 FrFeFa vvv 2 11sinsinsinsinrrvvFaFe sin/, 222hFOFOveF又 3 1 2 1 2 2 sin sin sin h r h r FO ve

32、F ）（ 53 解解: 取凸轮上取凸轮上C点为动点，点为动点， 动系固结于动系固结于OA杆上，杆上， 绝对运动: 直线运动， 相对运动: 直线运动， 牵连运动: 定轴转动， aavv aa , OAav rr / ? ?,方位 OCve方位 ?, 已知已知：凸轮半径为R，图示瞬时O、C 在一条铅直线上; 已知; 求求: 该瞬时OA杆的角速度和角加速度。 av、 分析: 由于接触点在两个物体上的位 置均是变化的，因此不宜选接触点为 动点。 例例4 凸轮机构凸轮机构 ; ? 2 OCOCa n e 方向 ?, OCae 方位 OC 请看动画请看动画 54 sin sin/ ;, 0 R v R v

33、 OC v vvvv e aer ）( 作出速度平行四边形,知 根据 reavvv 作出加速度矢量图 02 ,sin)sin( sin 2 2 rc n e va R v R vR a 投影至 轴： sincoscos n eea aaa tg n eae aaa 2 222 sinsin sin/ /sin R v R a R Rva OC ae 转向由上式符号决定，0则，0 则 根据 Cr n eea aaaaa 55 （请看动画） 例例5 刨床机构刨床机构 已知已知: 主动轮O转速n=30 r/min OA=150mm , 图示瞬时, OAOO1 求求: O1D 杆的 1、1 和滑块B的

34、 。 BB av , 56 其中m/s 15. 0 30 15. 0 n OAva rad/s 5 515.0 503.0 m/s 503.0sin 1 1 AO v vv e ae ）( 解解（1）轮）轮O、O1D为研究对象为研究对象 动点：轮动点：轮O上上A点，动系：点，动系：O1D 根据作速度平行四边形作速度平行四边形 。 reavvv m/s 506. 0cos ) 5 5 sin , 5 52 (cos ar vv 57 作加速度矢量图作加速度矢量图 rCa vaa 1 2 2 15. 0 222 m/s 5 518. 0 506. 0 5 2 5 52 15. 0 e a 22 2 11 rad/s 25 6 515.0 1 5 518.0 / AOa e ）( （2）以滑块）以滑块B及及O1D为研究对象为研究对象 动点动点:销钉销钉B; 动系动系: O1D。 根据根据 Cr n eea aaaaa （*） 将（*）式向轴投影： Cea aa