指数与指数幂的运算20726

1、指数与指数幕的运算【学习目标】1. 理解分数指数的概念，掌握有理指数幕的运算性质(1) 理解n次方根，n次根式的概念及其性质，能根据性质进行相应的根式计算；(2) 能认识到分数指数是指数概念由整数向有理数的一次推广，了解它是根式的一种新的写法，能正确 进行根式与分数指数幕的互化；(3) 能利用有理指数运算性质简化根式运算2. 掌握无理指数幕的概念，将指数的取值范围推广到实数集；3. 通过指数范围的扩大， 我们要能理解运算的本质，认识到知识之间的联系和转化，认识到符号化思想的重要性，在抽象的符号或字母的运算中提高运算能力；4. 通过对根式与分数指数幕的关系的认识，能学会透过表面去认清事物的本质.

2、【要点梳理】要点一、整数指数幕的概念及运算性质1 整数指数幕的概念a =a a j JL a(n z )n个a0a 1 a = 01a n(a 7, n Z*)a2 运算法则m nm -n(1) a a a ；(2) am=amn ；m(3)=amjn m n, a=0 ；a(4)ab m =ambm.要点二、根式的概念和运算法则1 n次方根的定义：若xn=y(n N , n1, y R)，则x称为y的n次方根.n为奇数时，正数y的奇次方根有一个，是正数，记为 n y；负数y的奇次方根有一个，是负数，记为:y ；零的奇次方根为零，记为n 0 = 0；n为偶数时，正数y的偶次方根有两个，记为_n

3、 y ；负数没有偶次方根；零的偶次方根为零，记为n 0丄0.2 两个等式(1 )当 n1 且 n，N 时，n a =a ；a,( n为奇数)J a | (n为偶数)要点诠释： 要注意上述等式在形式上的联系与区别；尤其当根指数取偶数时， 开方后的结果必为非负数，可先 计算根式的结果关键取决于根指数的取值,写成|a|的形式，这样能避免出现错误.要点三、分数指数幕的概念和运算法则为避免讨论，我们约定*ma0, n, m N,且为既约分数，分数指数幕可如下定义:n1an =n. aman =(；a)m =n 畀要点四、有理数指数幕的运算1 有理数指数幕的运算性质a 0, b 0, ： J Q(1) a

4、a 1 =a：(2) (ay；(3) (ab)：二 a :b：;当a0, p为无理数时，ap是一个确定的实数，上述有理数指数幕的运算性质仍适用要点诠释：(1) 根式问题常利用指数幕的意义与运算性质，将根式转化为分数指数幕运算；(2) 根式运算中常出现乘方与开方并存，要注意两者的顺序何时可以交换、何时不能交换如4(_4)一(4 一4)2;2 1(3) 幕指数不能随便约分.如(虫)4 = ( 4)2 .2.指数幕的一般运算步骤有括号先算括号里的；无括号先做指数运算.负指数幕化为正指数幕的倒数.底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幕的形式表示

5、，便于用指 数运算性质.在化简运算中，也要注意公式：a2 b2=( a- b) (a+ b), (a b) 2= a2 2ab+ b2, (a b)3= a3 3a2b+ 3ab2 b3, a3 b3=( a b) (a2+ ab+ b2), a3 + b3=( a+ b) (a2 ab+ b2)的运用，能够 简化运算.【典型例题】类型一、根式例1.求下列各式的值：(1) 5 荷; 4 (-10)2 ；(3)4 (3 -二)4 ;(4). (a - b)2 .a b( ab)J_I【答案】-3 ； 10 ； x -3 ;0( a=b)ba ( ab)(4) (a b)2 =|a0(a=b)b-

6、a ( ab)【总结升华】(1)求偶次方根应注意,正数的偶次方根有两个,例如，4的平方根是_2，但不是,4 - ： 2.(2)根式运算中，经常会遇到开方与乘方两种运算并存的情况，应注意两者运算顺序是否可换，何时 可换.举一反三：【变式1】计算下列各式的值：(1) 3百；(2) 4 9 ； ( 3) 6(二-4)6 ； (4) 8(a-2)8 .【答案】(1) -2 ;( 2) 3;( 3) 4-二；(4) a_2(a-2).(2-a(a2)例 2.计算：(1).5 2一；6 ；7-43-、.6-4、；2 ;【答案】2、一 2; 2、2 .【解析】 对于(1)需把各项被开方数变为完全平方形式，然

7、后再利用根式运算性质求解对于(2),则应分子、分母同乘以分母的有理化因式(1)5 2、6、7 -4、3 - 一6-42=.(3)22.32 (2 + .22 -2 23 (.3)2 -22- 2 2 2 (.2)2=.(32)2,(2 - 二3)2 -，(2-*2)2=| .3 迈|+| 2-3-| 2-迈|3 .2+2 一、3-（2 一、.2）=2 ,2(2)1 12 1 .2-1721丄72+1(.2 1)c，2 -1)(,2-1)(.-2 1),2-1 2 1n次方，再解答，或者用整体思= 2、2【总结升华】对于多重根式的化简，一般是设法将被开方数化成完全如本例（2）中,想来解题.化简分

8、母含有根式的式子时， 将分子、分母同乘以分母的有理化因式即可,的分子、分母中同乘以*2 一1).举一反三:【变式1】化简：(1) .一3-2 2 3 (1- J2)34 (1- 一 2)4 ； 一 x2 -2x 1 -，x2 6x 9(| x | ： 3)【答案】（1）.2-1 ；（2）一“一2（一3 乂,(1Ex3).类型二、指数运算、化简、求值例3.用分数指数幕形式表示下列各式（式中(1) a2(2)a3 3 a2 ； (3) a . a5a2 ;11a3 ;【答案】【解析】先将根式写成分数指数幕的形式，再利用幕的运算性质化简即可.(1)a2-a = a2 a2 = a 2 = a2;1

9、23 蚩 11 a3 3a2 二a3 a3 二a 3 = a3 ；. 1 13 13(3)a a =(a a)2 =(a2)2 荷；)解法一：从里向外化为分数指数幕2 1+(x2 汗/ 2y=xy1).当所求根式含有多重根号高清课程：指数与指数运算例1【变式1】把下列根式用指数形式表示出来,并化简(1) 5 a 2a ；1 3【答案】(1) 2%帀;(2)【变式2】把下列根式化成分数指数幕:(2).a. a (a0)；(3)b3 3 b2 ；【答案】3a4 ;【解析】(1)6821137_龙;3a4 ；= 1例4.计算：1(x5)31二 x51(0.0081尸F(3护-3 (-)081一8丿7

10、3 3 -33 24 一63 14 33 393 25 4. (-36)2 6 (二 - 4)6 - 3 (3 _ 二)3 .【答案】3 ; 0; 21101Q=一=3；331 1 2 【解析】 原式= (0.3)/() 23 33(2) 原式=73 3 一 63 3 一23. 3 3 3 = 0 ；(3) 原式=-5+6+4-二-(3-二)=2 ;(3)根式化为分数指数幕注意：(1 )运算顺序(能否应用公式)；(2)指数为负先化正; 举一反三：【变式1】计算下列各式：1(1) (8)413 8a3b丄 73 (-7)080.25 4 2(3 2 3)6;62a8a3b 2(1-23b) 3a

11、. a23 ab 4b?a【答案】【解析】112 ； a.1()(一)(1)原式=8311 (23) 4 24 (23)13 1623(32 ) = 224 423 = 112 ;1 a?一 1ri1 火1(a3)2 2a3b3 (2b3)2 a3 2b3【变式2】计算下列各式：高清课程：指数与指数运算33 . 20- j 6 33-(1.03)0)33 -、22【答案】21 + dE4原式1a3 (a - 8b)1a31 1 1a 3 3 3 (a -8b)1 1(a)3-(2b3)3例3=a.【解析】原式=16+、6+5+2、6+色.6=21 + 1564例5.化简下列各式.2 15x 3

12、y2 y141【答案】 24y61 i，5廿1m2 ； 0.09m m21m2(0.027)127讥 + fVl25 丿乜丿0.5【解析】（1）即合并同类项的想法，常数与常数进行运算,母运算的理解要求较高，即能够认出分数指数的完全平方关系;2 15xy2同一子母的化为该子母的指数运算；（2）对子（3）具体数字的运算，学会如何简化运算_ 1 12 111 1 xHy2 宀-5x3y 人6=5 (4)： i 6I 5丿1=24x0y61=24y6 m ml 21m22m 2 mJ11 1122二 m2m2(0.027)3 - i 271125 丿一 27 59=(3 0.027)2=0.09-5

13、=0.093举一反三：【变式1】化简:3 xy2C xy)3 .57【答案】x6y61【解析】原式=xy2（x21 1y2)33 =(xy257x2 y2)3 =x6y6.注意：当n为偶数时，n a =| a k a(a 一 0)I-a(acO)【变式2】化简二一 Jx y-2-2x - y2 2_3x -y【答案】-2出xy【解析】应注意到x 3与X*之间的关系，对分子使用乘法公式进行因式分解,2 - 3y/V+2 - 3y+2 - 3X.-3X-3y!r3y3X+22(xy)予xy【总结升华】根式的化简结果应写为最简根式.(1)被开方数的指数与根指数互质；(2)被开方数分母为1，且不含非正

14、整数指数幕；(3)被开方数的每个因数的指数小于根指数.【变式3】化简下列式子：(1)(2) . 4,2 2.6.x2 2x 1 3 x3 - 3x2 3x -1【答案】22 . 6 ； 418 42 ； 2x(x -1)-2(-1)【解析】(1)原式二丢3)迈(32(32-讥.3 -1)23-2 -、4 -2.32(12 6 3).2 .63_ 迈(3、32 -(3一3)(3. 3)(2) (418 2)2 =(418)2 . 2418 42 (4 2)22418 22 -3 2 2462、2=4、2 2.6 0由平方根的定义得：.,42 2/6 =418 4 2；3 X3 -3x2 3x-1

15、 二 3 (x -1)3 =x -1x 1(x _ -1) X2 2x 1 =|x 1| 二I-X-1(X-1)x2 2x 13 x3 -3x22(x -1)高清课程：指数与指数运算1例6已知x21x 2 = 3，求例433x2 亠 x 2 - 3x2 X,3的值.x x -21【答案】-3【解析】 从已知条件中解出 x的值，然后代入求值，这种方法是不可取的，而应设法从整体寻求结果1 1与条件X2 x =3的联系，进而整体代入求值.1 1：x2 x2=3 , - x 2 x=9, - x x=72_22_2x 2 x =49, - x x =453311,x2_3 _(x2 +xP)(x_1+

16、xJ) _3x2 X，-247 _2=3 (7 -1) -3 _ 15 _ 145453【总结升华】对于“条件求值”问题一定要弄清已知与未知的联系，然后采用“整体代换”或“化简3 3后代换”方法求值本题的关键是先求X2 x 2及X2 x的值，然后整体代入.举一反三:【变式1】求值:已知x2 = 5，求的值；xb a 已知a0, b0 , 且a =b , b=9a，求a的值. 【答案】23 ； 43【解析】熟练掌握幕的运算是关键问题-_11X +1 由x2 X 25，两边同时平方得 X+2+X- =25，整理得：X+X- =23,则有23 ；X11a1(2)a0 , b0 ,又 ab=b,二(a

17、b)b =(ba)b= a = bb = a = (9a)98 1a9 = 99 = a8 = 32 = a = 4 3 .巩固练习一、选择题1.若 x ：1，则乙 1 -6x 9x2 等于()3A. 3x -1B. 1-3x C. (1-3x)2 D.非以上答案2.若 a = 3 (3 _ 二)3 , b= 4 (2 -二)4，则 a b 二()A.1B.5 C. -1D. 2二-53.计算4 2 1 23二2的结果是（）A.32B.16 C. 64D.1284.化简1 2 321 V 1 V1 +2 16A 人1+2 8 1 +2八1+2A，结果是（/ 1 、a/ 1 、411/ 1、A.

18、-1 -2忌B.1_2忌C. 1-2D.-1-2志2 丿 丿2 丿A.16aB. a8C. aD.5. 3帝4 6寿4等于（）6.若 a 1,b ： 0 ,且 ab a = 2 2，则 ab -a 的值等于(A. .6B.-2C.-2D.2、填空题7 37.计算4=.8.化简. b-(2 ；b -1)(1 ： b ：2) =9. (-2)10.若 a三、解答题11.计算：-2(1)12531丄2163433(2)23-0.0273 +500.00165112.计算下列各式：1(1) (0.064)刁一7 - 0041:叫(-2)3 _3 16 m | -0.01|2 ；(2)13.计算:1 1

19、a b-2a2 ba2 -b2X -1X +1 X -X32 1 1 1X331x31 x3 -1巩固练习一、选择题/ 1Af1Af1、( 1/ 1 1+2恵1+2市1+21+2 41 +2方J) 丿I) 丿1.化简，结果是A. 1 1 221 P32B.”1y11-2毛C.D.2.计算4 2 1 -2322的结果是(A.32B.16 C. 64D.1283.若 a 1,b : 0，且ab a=2、.2，则ab -a的值等于A. .6B.C.-2D.24.下列各式中错误的是(1a 5=1(a1)23 二 a b6 (a,b 0)A.B.D.5.A.6.2 1a5 a 3/ 11、/ 12、/ 12、