高中数学选修4-4-柱坐标系与球坐标系简介

1、3 3、极坐标与直角坐标的互化公式极坐标与直角坐标的互化公式复习复习1、极坐标系的四要素、极坐标系的四要素2 2、点与其极坐标一一对应的条件、点与其极坐标一一对应的条件极点；极轴；长度单位；角度单位极点；极轴；长度单位；角度单位及它的正方向。及它的正方向。) 0(tan,222 xxyyx sin,cos yx)2 , 0, 0 3.半径为半径为a的圆的圆心坐标为的圆的圆心坐标为 a0)的的圆的方程圆的方程1,C a12 cos().(3)a1、半径为、半径为a,圆心坐标为圆心坐标为(a,0)(a0)的圆的的圆的极坐标方程极坐标方程2 cos .(1)a2、以极点为圆心，、以极点为圆心，r为半

2、径的圆的极坐标为半径的圆的极坐标方程方程.(2)r4、以、以 为圆心，为圆心，r为半径的圆的极坐标方为半径的圆的极坐标方程程11, 2221112cos()0.(4)r 直线的几种极坐标方程直线的几种极坐标方程1、过极点、过极点2、过某个定点垂直于极轴、过某个定点垂直于极轴4、过某个定点、过某个定点 ，且与极轴成的角度，且与极轴成的角度a3、过某个定点平行于极轴、过某个定点平行于极轴ox AMMox Alo oxMP 1 1 A)(0Rcosa sin a11sin()sin()11(,) Q(x,y)xyozP空间直角坐标系下一点的坐标表示空间直角坐标系下一点的坐标表示：P(x , y ,

3、z)思考：思考：在一个圆形体育场内，如在一个圆形体育场内，如何确定看台上某个座位的位置？何确定看台上某个座位的位置？探究（一）：探究（一）：柱坐标系柱坐标系 思考思考1 1：有一个圆形体育场，自正东方向有一个圆形体育场，自正东方向起，按逆时针方向等分为十二个扇形区起，按逆时针方向等分为十二个扇形区域，顺次记为一区，二区域，顺次记为一区，二区十二区，十二区，那么每个座位票是如何设定的？那么每个座位票是如何设定的？ 第几区，第几排，第几座第几区，第几排，第几座. . 思考思考2 2：设体育场第一排与体育场中心设体育场第一排与体育场中心O O的距离为的距离为300m300m，前后相邻两排的间距都，前

4、后相邻两排的间距都为为1m1m，每层看台的高度为，每层看台的高度为0.6m0.6m，那么第，那么第九区第三排正中的位置九区第三排正中的位置A A与体育场中心与体育场中心O O的水平距离为多少的水平距离为多少m m？从正东方向到位置？从正东方向到位置A A的水平旋转角是多少？位置的水平旋转角是多少？位置A A距地面的距地面的高度为多少高度为多少m m？ 302m302m， ，1.8m1.8m1712思考思考3 3：根据坐标思想，可以用数组根据坐标思想，可以用数组(302(302， ，1.8)1.8)表示点表示点A A的准确位置，那的准确位置，那么这个空间坐标系是如何建立的？么这个空间坐标系是如何

5、建立的？1712x xO Oz z在水平面内建立极坐标系在水平面内建立极坐标系OxOx，过极点，过极点O O作水平面的垂作水平面的垂线线 Oz.Oz.柱坐标系柱坐标系 建立空间直角坐标系建立空间直角坐标系Oxyz. .设设P( (x, ,y, ,z) )是空间任意一点，它在是空间任意一点，它在Oxy平面上的射影为平面上的射影为Q，Q点的极坐标为点的极坐标为( (, ) )，则，则P的位置可用的位置可用有序数组有序数组( (, z) )表示，表示， ( (, z) )叫做点叫做点P的的柱坐标柱坐标. .QP(x , y , z)P(, z)(,)xyzo柱坐标与空间直角坐标的互化柱坐标与空间直角

6、坐标的互化x= cosy= sinz= z(1)(1)柱坐标转化为直角坐标柱坐标转化为直角坐标柱坐标与空间直角坐标的互化柱坐标与空间直角坐标的互化(2)(2)直角坐标转化为柱坐标直角坐标转化为柱坐标222tan(0)xyyxxzz1.1.设设P点的柱坐标为点的柱坐标为 ，求它的直角坐标求它的直角坐标. . 2.2.设设M点的直角坐标为点的直角坐标为 求它的柱坐标求它的柱坐标. . 练习练习( 1,3,3)(2,7)6(3,1,7)4(2,3)3思考：思考：点点P的柱坐标为的柱坐标为( (, z) )，(1)(1)当当为常数时，点为常数时，点P的轨迹是的轨迹是_(2)(2)当当为常数时，点为常数

7、时，点P的轨迹是的轨迹是_(3)(3)当当z为常数时，为常数时，点点P的轨迹是的轨迹是_圆柱面圆柱面半平面半平面平面平面xyzoP(, z)(,)Q1.1.柱坐标系学习目标：柱坐标系学习目标：(1)(1)理解柱坐标三个分量的几何意义；理解柱坐标三个分量的几何意义；(2)(2)掌握柱坐标与空间直角坐标的互化掌握柱坐标与空间直角坐标的互化. .2.2.柱坐标与空间直角坐标的互化柱坐标与空间直角坐标的互化cossinxyzz(1)(1)柱坐标转化为直角坐标柱坐标转化为直角坐标(2)(2)直角坐标转化为柱坐标直角坐标转化为柱坐标222tanxyyxzz思考：思考：u某市的经纬度：某市的经纬度：北纬北纬

8、4242，东经，东经119119. .地球的纬度地球的纬度地球的纬度与经度：地球的纬度与经度：球坐标系球坐标系 建立空间直角坐标系建立空间直角坐标系Oxyz. .设设P( (x, ,y, ,z) )是空间任意一点，记是空间任意一点，记| |OP|=|=r, ,OP与与Oz轴正向所夹的角为轴正向所夹的角为j. .点点P在在Oxy平面上的射影为平面上的射影为Q，Ox轴按轴按逆时针方向旋转到逆时针方向旋转到OQ时所转过的最小时所转过的最小正角为正角为.则则P的位置可用有序数组的位置可用有序数组(r, j,)表示，表示， (r, j ,)叫做点叫做点P的球坐标的球坐标. . 球坐标系球坐标系xyzoQ

9、P(r, j ,)jPr0r 020jP(r, j ,)将球坐标转化为直角坐标：将球坐标转化为直角坐标：sincossinsincosxryrzrjjjxyoQP(r, j ,)jrz0r 0j021.1.设设Q点的球坐标为点的球坐标为 ，求它的直角坐标求它的直角坐标. . 练习练习33(2,)44( 1,1,2)2.2.设设M点的直角坐标为点的直角坐标为 ，那么它的球坐标是那么它的球坐标是 练习练习( 1,1,2 ).(2,)44A5.(2,)44B5.(2,)44C3.(2,)44D思考：思考：点点P的球坐标为的球坐标为(r, j ,) ，(1)(1)当当r为常数时，点为常数时，点P的轨迹是的轨迹是_(2)(2)当当 j为常数时，点为常数时，点P的轨迹是的轨迹是_(3)(3)当当为常数时，为常数时，点点P的轨迹是的轨迹是_球面球面圆锥面或平面圆锥面或平面半平面半平面xyzoQP(r, j ,)