空间向量之建立空间直角坐标系的方法及技巧

1、百度文库让每个人平等地提升口我空间向量之 建立空间直角坐标系的方法及技巧一、利用共顶点的互相垂直的三条棱构建直角坐标系例1已知宜四棱柱ABCD-AiBDi中，AAi = 2,底而ABCD是直角梯形，ZA为直角, AB/CD. AB=4 AD=2, DC=h求异而直线BC与DC所成角的余弦值.解析：如图1，以D为坐标原点，分别以04、DC、DD所在直线为x、y、z轴建立空间直 角坐标系，则 Cl ( 0 , L 2)、B (2, 4, 0 ),A BC* = (-2,-3,2), CD = (O,-1,O).设EC】与CD所成的角为二. 利用线面垂宜关系构建宜角坐标系例2如图2,在三棱柱ABC-

2、A/G中，丄侧而BBCC, E为棱CC】上异于C、0的5角的正切值.解析：如图2,以B为原点，分别以B、所在直线为y轴、z轴，过B点垂直于平而AB的直线为X轴建立空间直角坐标系.由于 BC=1, BB=2, AB=/2 9 ABCC= -.在三棱柱ABCABiG 中，有B( 0,0,0 )、A( 0 , 0 , /2 )、冏(0 2 0,-,0由EA丄得丑画=0,即f * 小 I a、7 Z,2一“,02 /2 丿即=丄或 = 2 （舍去）.故E 迺丄,0 .2 2 2 2 /由已知有E4丄EBBA丄EB；,故二而角A-EBi-Ai的平而角&的大小为向MB,A与的夹角.因 B|A = B4 =

3、 (0,0的)，EA =故 cos 0 =网|牍三. 利用面面垂直关系构建直角坐标系例3如图3,在四棱锥V-ABCD中，底而ABCD是正方形，侧而是正三角形，平而V ( 0 , 0 , /3 ), :. AB= ( 0 , 2, 0 ), VA= (1, 0 , -/3 ).由 ABVA = (0,2,0)1,0, - V3) = 0 ,得AB丄也.又AB丄AD.从而与平而内两条相交直线1久AD都垂直，.I AB丄平而也0设E为的中点，叫弓。,A EBDV = -,2,-(1,0“) = 0, (2 2丿又EA丄匕 因此ZAEB是所求二而角的平而角.故所求二而角的余弦值为孚.四. 利用正棱锥的

4、中心与高所在直线构建直角坐标系例4已知正四棱锥V-ABCD中，E为VC中点,正四棱锥底面边长为加，高为力.(1) 求ZDEB的余弦值：(2) 若BE丄VC,求ZDEB的余弦值.解析：(1)如图4,以V在平面AC的射影0为坐标原点建立空间直角坐标系,英中Ox/BC.Oy/AB,则由 AB=2a. OV=h,有 B ( e 0 )、C (乜， 0 D (“ 0 )、V (0. 0,h)、a a h9 9 2 2 2丿/ttfBE DE 6a +h2，COS，_阴网I0/ + /F，即5=黑当（2）因为E是VC的中点，又BE丄VC,所以丽丑。，即卜討-匕汴一S2 2 2船A?即cosZ = -l五.

5、 利用图形中的对称关系建立坐标系图形中虽没有明显交于一点的三条直线，但有一左对称关系（如正三棱柱、正四棱柱等），利用 自身对称性可建立空间直角坐标系.例5已知两个正四棱锥P-ABCD与Q-ABCD的髙都为2, AB=4（1）证明：P0丄平而ABCDx（2）求异而直线A0与PB所成的角:（3）求点P到平面QAD的距离.（2）由题设知，ABCD是正方形，且AC丄BD.由（1）, P0丄平而ABCD,故可分别以直线CA9 DB、QP 为 x , y ,轴建立空间直角坐标系（如图1 ）,易得AQ = (-2返0, - 2),丙=(0,2返 - 2), cos =AQPBRR所求异而直线所成的角是arcc碍.(3)由(2)知.点(0, 2血0),正=(一2血一275；0),恋=(0,0,4)设n= (x, y, z)是平而QAD的一个法向量，贝A0 = O,輕 Qy+z = 0,tfAD = 0,取x=l,得x+y = 0,W = (b-L-V2).