离心率的五种求法

1、螈离心率的五种求法膅离心率是圆锥曲线中的一个重要的几何性质，在高考中频繁出现賺椭圆的离心率0 : e : 1，双曲线的离心率 e 1，抛物线的离心率 e = 1.芈直接求出a, c，求解e袅已知标准方程或a,c易求时，可利用离心率公式 e=c来求解。a2蚂例1.过双曲线C: X2 -岂=1（b 0）的左顶点A作斜率为1的直线I，若I与双曲线M的两条渐近线分别相交 b于点B C,且|AB|=|BC|，则双曲线 M的离心率是（）罿 A. .10莈分析：这里的a =1, .b2 1，故关键是求出b2，即可利用定义求解。芅解：易知A （-1 , 0）,则直线I的方程为y二x（b 1，b 1） 1。直线

2、与两条渐近线 y = -bx和y = bx的交点分别为B莄二、变用公式C（丄，丄），又 |AB|=|BC| , b -1 b -1可解得b2 =9，则c = -10故有_ 10，从而选aA。ce =a1-b2（椭圆），整体求出e1+3（双曲线），e=Eaax2羂例2.已知双曲线2ab2=1（a a 0 b = 0）的一条渐近线方程为y = 4 x，则双曲线的离心率为（）3545蒈 A. 5B.4C.-334蚆分析：本题已知 b = 4，不能直接求出-3a、c,可用整体代入套用公式。螂解：因为双曲线的一条渐近线方程为y=4X，所以匕，则3一1 . (4)2 = 5，从而选 A。2 2Xy螁1.设

3、双曲线 2 =1 (a 0,b 0)的渐近线与抛物线y=xab相切，则该双曲线的离心率等于(C)蒈 A. ,.3 B.2C. ,5 D. , 6肇解：由题双曲线2 2笃一打=1 a 0, b 0的一条渐近线方程为a bbX，代入抛物线方程整理得aax?bx a = 0，因渐近线与抛物线相切，所以b?4a?二0 ,=4=5即$ 一42幵 pa薄2.过双曲线a2 2X 首=1(a 0,b 0)的右顶点A作斜率为-1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点 b分别为B,C 若A肯J BC，则双曲线的离心率是()2蒀 A . 2 B. 、3c. 5d. .10薇答案：C蒈【解析】对于 A a,0，则直

4、线方程为x y - a = 0,直线与两渐近线的交点为B, C,a2abia +b a + b 丿) , BC=( 2 b2,ab aba -b2a2babEAB门aba +b2a2buur urn 222羂因止匕 2AB 二 BC,. 4a2 二 b2，即=4，. e 二a=,1 4 = . 51 ：2 2薃3.过椭圆 笃爲=1（ a b 0）的左焦点Fi作x轴的垂线交椭圆于点 P，F2为右焦点，若.FiPF2=60，a b则椭圆的离心率为（），再由 F1PF2 =60 有 3ba蚅【解析】因为P（ -c, 一 a_ 2 = 3，故选 B33= 2a，即瞪寻从而可得a 3蚄三、构造a、c的齐

5、次式，解出 e节根据题设条件， 方程，从而解得离心率借助a、b、c之间的关系，构造a、e。c的关系（特别是齐二次式），进而得到关于e的一元2x螇例3.已知椭圆 a22占=1（ a b 0）的左焦点为F , buur uur交y轴于点P .若AP =2PB，则椭圆的离心率是（）右顶点为 A，点B在椭圆上，且 BF _ x轴，直线 AB肆 A.-B.-C 丄 D.-2232uuruur1蒆【解析】对于椭圆，因为 AP = 2PB，贝U OA = 2OF二a = 2c二e = 2肁1.设Fi和F2为双曲线双曲线的离心率为（）2 2xy22ab（ a 0,b . 0）的两个焦点若Fi, F2 , P（

6、0,2b）是正三角形的三个顶点35袇 A B. 2C.D. 3蒇【解析】由 tan -有 3cc2 b2 rc2 b2 i-4c2b2 cL 2 =4b2 =4(c2 - a2),则 e=c =2,故选 B.6 2b 3a袄2.双曲线虚轴的一个端点为 M，两个焦点为F1、F2, . RMF2 =120，则双曲线的离心率为（）袀 a.3BCD233羇解：如图所示，不妨设 M 0,b , Fc,0 , F2 c,0，则袈 MF1 = MF2+ b，又 F1F 2c,薅在 F1MF2中，由余弦定理，得MF1 + MF?2 -|越22|MF1 mf2cos _ F1MF21.3袃即一12肇b2 二 c

7、2 -a2,2-a2c2 - a22 .22-3a 2c , - - e羄3.设厶ABC是等腰三角形， ABC =120，则以A B为焦点且过点C的双曲线的离心率为（B）B.C. 1.2D. 1,3蚁4.设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为 B ,如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为()肇 A.、2b. 3 c.-3 -D. -2 22 2莅解析：选D.不妨设双曲线的焦点在x轴上，设其方程为：$% =1(a . 0,b . 0)，a b螅则一个焦点为F(c,O), B(O,b)莀一条渐近线斜率为：b，直线FB的斜率为:a.b2 二 ac.5 12c 蒁 c -a

8、一ac = O，解得 e = a螆5.设椭圆的两个焦点分别为Fi、F2,过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P,若：F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是(D)A 0,b0 ）的两个焦点， A和B是以O为圆心，以 ORF2AB是等边三角形，则双曲线的离心率为（）莃A _3B.5*2D. 31IAF2F .3c,.2a -1)c ,焦距）的点，且匕F2羁 6.解析：连接 AFi，/ AF2Fi=30, |AFi|=c ,螀双曲线的离心率为13，选D。2 2蚅9.设F1、F2分别是椭圆 笃，爲=1 （ a b 0）的左、右焦点，P是其右准线上纵坐标为i 3c （ c为半a b=F2P，则椭圆的离

9、心率是（）22螀10.设双曲线 冷一与=1（ 0 a : b）的半焦距为c，直线L过a,0 , 0,b两点已知原点到直线的距离a b为c，则双曲线的离心率为（）43螀A. 2B. . 3 C. 2D. 一33肆解：由已知，直线L的方程为bx ay - ab =0，由点到直线的距离公式，得aba2 b23c,4薃又c2=a2 b2, 4ab =*；3c2,两边平方,得 16a2 c2 - a2 =3c4，整理得3e4 -16e216 = 0 ,2螃得e242=4 或 e ，又 0 ： a ： b , e32 c 2 a2 e =4 , e = 2，故选 A2与=1 （ a 0,b 0） bMF1

10、的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（）2x 袀11.知F1、F2是双曲线a的两焦点，以线段F1F2为边作正三角形，若边蒇 A. 4 2 3 B. .3 - 1D. . 3 1孑即P（一I，芄解：如图，设MFj的中点为P，Q ORP =60, PF1 二c,. xP 二2薁把P点坐标代人 双曲线方程，有 二4a 4b羀化简得e48e2=0解得e=1，.3或e=1-、.（舍），故选D袇四、第二定义法螂由圆锥曲线的统一定义（或称第二定义）知离心率 于条件含有焦半径的圆锥曲线问题。e是动点到焦点的距离 与相应准线的距离 比，特别适用莀例4：设椭圆 冷_爲=1 ( a 0,b . 0)的右焦点为Fi，

11、右准线为h，若过Fi且垂直于x轴的弦的长等于点a b尺到l1的距离，则椭圆的离心率是 L肀解：如图所示，AB是过Fi且垂直于x轴的弦,肄 AD丄li于D , AD为Fi到准线li的距离，根据椭圆的第二定义,AFi| 2ABie =AD|AD|2蒄1.在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为i，则该椭圆的离心率为()聿-.2i、2聿A .2 BCD -224AF2I 2 2 J2膀解：e =r =AD| i 2蒅2在给定双曲线中，过焦点垂直于实轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为 -，则该双曲线的离心率为2()袂 A2 8. 2D2.22膂五、构建关于e的不等式，求e的

12、取值范围艿i .已知双曲线2 x2 a2-占(a 0, b 0 )的右焦点为b2F，若过点F且倾斜角为600的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是()祎 a1,2 B i,2 C 2,二 D 2,:薄2椭圆X2 y2a bMN 则该椭圆离心率的取值范围是(F2，两条准线与x轴的交点分别为)N，若C.一2,1D.2 2荿1.双曲线一22 - 1(a 0,b 0)的右焦点为F,若过点a b一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率e2,选 CF且倾斜角为60的直线与双曲线的右支有且只有-3，离心率e2=C2aa2 ,2a b2 a2 2芇2.椭圆2 12 =1(a b 0)的焦点为Fi, F2，两条准线与x轴的交点分别为 a b2aM , N，若 | MN |=2-,c|FiF22c,2MN 2 F1F2 ,