《等差数列的前n项和》（优质课比赛课件）

1、2.3 2.3 等差数列的等差数列的 前前n n项和项和2010年衡阳市高中数学优秀课授课比赛年衡阳市高中数学优秀课授课比赛上页上页下页下页高斯（高斯（gauss,17771855），），德国著名数学家，他研究的内德国著名数学家，他研究的内容涉及数学的各个领域，是历容涉及数学的各个领域，是历史上最伟大的数学家之一，被史上最伟大的数学家之一，被誉为誉为“数学王子数学王子”.上页上页下页下页 有一次，老师与高斯去买铅笔，在商店发有一次，老师与高斯去买铅笔，在商店发现了一个堆放铅笔的现了一个堆放铅笔的v形架，形架，v形架的最下面一层放形架的最下面一层放一支铅笔，往上每一层一支铅笔，往上每一层都比它下

2、面一层多放一都比它下面一层多放一支，最上面一层放支，最上面一层放100支支.老师问：高斯，你知道这老师问：高斯，你知道这个个v形架上共放着多少支铅笔吗？形架上共放着多少支铅笔吗？创设情景创设情景问题就是：问题就是：计算计算1 2 3 99 100上页上页下页下页高斯的算法高斯的算法计算：计算： 1 2 3 99 100 高斯算法的高明之处在于他发现这高斯算法的高明之处在于他发现这100100个数可以分为个数可以分为5050组：组： 第一个数与最后一个数一组；第一个数与最后一个数一组； 第二个数与倒数第二个数一组；第二个数与倒数第二个数一组； 第三个数与倒数第三个数一组，第三个数与倒数第三个数一

3、组， 每组数的和均相等，都等于每组数的和均相等，都等于101101，5050个个101101就等于就等于50505050了。高斯算法将加法问题了。高斯算法将加法问题转化为乘法运算，迅速准确得到了结果转化为乘法运算，迅速准确得到了结果. .首尾首尾配对配对相加相加法法中间的一中间的一组数是什组数是什么呢？么呢？上页上页下页下页 若若v形架的的最下面一层放一支铅笔，往上每形架的的最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层一层都比它下面一层多放一支，最上面多放一支，最上面一层有很多支铅笔，一层有很多支铅笔，老师说有老师说有n支。问：支。问：这个这个v形架上共放形架上共放着多少支铅笔？着多少支铅笔

4、？ 创设情景创设情景问题就是：问题就是：1 2 3 (n-1) n若用首尾配对相加法，需要分类讨论若用首尾配对相加法，需要分类讨论.三角形三角形平行四平行四边形边形上页上页下页下页nn) 1(321计算：2) 1() 1(321nnnnn (n-1) (n-2) 2 1倒序相加法倒序相加法 那么，对一般的等差数列，如何求它的前前n项和项和呢？前前n项和项和) 1() 1(3212nnnn分析：这分析：这其实是求其实是求一个具体一个具体的等差数的等差数列前列前n项项和和.上页上页下页下页123nnsaaaa12()nnsn aa 1213212nnnnnsaaaaaaaa121321nnnnaa

5、aaaaaa又问题分析问题分析已知等差数列已知等差数列 an 的首项为的首项为a1，项数项数是是n，第第n项为项为如何才能将如何才能将等式的右边等式的右边化简？化简？121nnnnsaaaa1()2nnn aas即上页上页下页下页已知等差数列已知等差数列 an 的首项为的首项为a1，项数项数是是n，第第n项为项为111121aadadand21nnnnaadadand11()2(),2nnnnn aasn aas即2ns1naa1naa1naa 1naa123nnsaaaa121nnnnsaaaa又各项组成新各项组成新的等差数列的等差数列倒序相加法倒序相加法上页上页下页下页求和公式求和公式1(

6、)2nnn aas等差数列的前等差数列的前n项和的公式：项和的公式：思考：（思考：（1）公式的文字语言；）公式的文字语言；11 ,naand由于1(1)2nn nsnad故（2）公式的特点；）公式的特点；不含不含d可知三可知三求一求一1(1)2nn nsnad上页上页下页下页公式的记忆公式的记忆我们可结合梯形的面积公式来记忆等差数我们可结合梯形的面积公式来记忆等差数列前列前 n 项和公式项和公式.na1an1()2nnn aas上页上页下页下页公式的记忆公式的记忆我们可结合梯形的面积公式来记忆等差数我们可结合梯形的面积公式来记忆等差数列前列前 n 项和公式项和公式.a1(n-1)dna1an将

7、图形分割成一个平行四边形和一个三角形将图形分割成一个平行四边形和一个三角形.1(1)2nn nsnad上页上页下页下页公式应用公式应用 根据下列各题中的条件，求相应的等差数列an的sn ： （1）a1=5，an=95，n=10 （2）a1=100，d=2，n=505002550 1()12nnn aas解：10 (595)2500 1(1)22nn nsnad解：50 (50 1)50 100-222550上页上页下页下页例例1 1、计算、计算（1 1） 5+6+7+79+80（2 2） 1+3+5+1+3+5+ +（2 2n-1-1）（3 3）1-2+3-4+5-6+1-2+3-4+5-6+

8、 +（2 2n-1-1）-2-2n-n例题讲解例题讲解n2 135+ 21n2 解：22nn2n 135+ 212+4+6+2nn3 解：原式21nn n1212nnn 3230提示：提示：n=76法二：法二：1212222nnnn上页上页下页下页例题讲解例题讲解 例例2 2、20002000年年1111月月1414日教育部下发了日教育部下发了关于在关于在中小学实施中小学实施“校校通校校通”工程的通知工程的通知，某市据此提出，某市据此提出了实施了实施“校校通校校通”工程的总目标：从工程的总目标：从20012001年起用年起用1010年年的时间，在全市中小学建成不同标准的校园网。据测的时间，在全

9、市中小学建成不同标准的校园网。据测算，算，20012001年该市用于年该市用于“校校通校校通”工程的经费为工程的经费为500500万万元。为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金元。为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上一年增加都比上一年增加5050万元。那么，从万元。那么，从20012001年起的未来年起的未来1010年内，该市在年内，该市在“校校通校校通”工程中的总投入是多少？工程中的总投入是多少？分析：找关键句；分析：找关键句；求什么，如何求；求什么，如何求；解：由题意，该市在解：由题意，该市在“校校通校校通”工程中每年投入工程中每年投入的资金构成等差数列的资金构成等差数列a

10、n，且，且a1=500,d=50,n=10.故，该市在未来故，该市在未来10年内的总投入为：年内的总投入为：101010 110 5005072502s万元答答上页上页下页下页变式练习变式练习 一个屋顶的某一斜面成等腰梯形，最一个屋顶的某一斜面成等腰梯形，最上面一层铺瓦片上面一层铺瓦片21块，往下每一层多铺块，往下每一层多铺1块，斜面上铺了块，斜面上铺了19层，共铺瓦片多少块？层，共铺瓦片多少块？解：由题意，该屋顶斜面每层所铺的瓦解：由题意，该屋顶斜面每层所铺的瓦片数构成等差数列片数构成等差数列an，且，且a1=21，d=1，n=19.于是，屋顶斜面共铺瓦片：于是，屋顶斜面共铺瓦片：19191

11、9 119 2115702s 块答：屋顶斜面共铺瓦片答：屋顶斜面共铺瓦片570块块.上页上页下页下页例题讲解例题讲解例例3、已知一个等差数列的前、已知一个等差数列的前10项的和是项的和是310，前，前20项的和是项的和是1220，由此可以确定，由此可以确定求其前求其前n项和的公式吗？项和的公式吗？解：由于解：由于s10310，s201220，将它们代，将它们代入公式入公式1(1)2nn nsnad可得可得111045310201901220adad146ad于是，所以所以2(1)46 32nn nsnnn 上页上页下页下页例题讲解例题讲解例例3、已知一个等差数列的前、已知一个等差数列的前10项

12、的和是项的和是310，前，前20项的和是项的和是1220，由此可以确定，由此可以确定求其前求其前n项和的公式吗？项和的公式吗？1101011010()310622aasaa1202012020()12201222aasaa201060aa1060d6d14a 21132nn nsa ndnn（）另解： 两式相减得上页上页下页下页课堂练习课堂练习答案答案: 27练习练习1、练习练习2、等差数列10，6，2，2，的前_项的和为54？ na在等差数列中，120,54,999,.nnaasn求答案答案: n=9，或，或n=-3（舍去）（舍去）14,541042n ndn 提示：20+549992n提示：仍是仍是知三知三求一求一上页上页下页下页课堂小结课堂小结 1 1等差数列前等差数列前n n项和的公式；项和的公式； 2 2等差数列前等差数列前n n项和公式的推导方法项和公式的推导方法倒序相加法；倒序相加法； 3. 3.公式的应用公式的应用( (知三求一知三求一) )；上页上页下页下页（两个）（两个）1()2nnn aas1(1)2nn nsnad上页上页下页下页上页上页下页下页 教材p46 a组2、5 到网上