统计量与抽样分布.doc

1、第六章 统计量及抽样分布概率论和数理统计都是研究随机现象规律性的数学分支。（1）概率论特点：先提出随机现象的数学模型，然后研究其特性和规律（2）数理统计：（3）I ）以概率论为理论前提，从实际观测或试验出发；II） 研究如何有效的收集、 整理和分析受到随机因素影响的数据， 并为之建立适当的 数学模型；III） 对其进行检验，在此基础上对所研究的问题作出推断和预测，为采取行动和决策 提供依据和建议。1 总体、样本与统计量一、总体与样本在实际问题中， 我们往往只能通过观察和试验来获取研究对象的信息， 但是， 如果要把全体研究对象逐个一一检查，常常是不必要或不可能的 .如：（ 1）对自动生产线上高速

2、生产的零件逐个检查， 要耗费很多的人力、 物力、财力及时间， 且非必要；（2）为考察某些产品如灯泡的寿命，横梁的耐冲击强度等而进行的破坏性试验，逐个检查 将使生产失去意义所以，实际问题中， 只能也只需通过测试部分对象的数据， 由此来推断全体研究对象的性质， 由部分推断总体。这是数理统计面对的基本问题。1、总体：研究对象的全体，如一批灯泡的寿命 具体：研究对象的某个或某几个特性的数量指标， 所有的可能取值所构成的集合。如，研究对象：一个城市的居民家庭； X ：人均收入； Y ：人均支出； Z ：人均居住面积，X X1,X2,L Xn.则三个总体： X,YX1,Y1 , X2,Y2 ,LX,Y,Z

3、X1,Y1,Z1 , X2,Y2,Z2 ,L通常我们学习研究对象的一个特性的数量指标，所有可能取值所构成的集合。如， X ：灯 泡寿命，总体 X x1, x2 ,L ，其中灯泡是研究对象，寿命是数量指标。2、个体：组成总体的每一个基本单元（集合中的元素）3、样 本 ： 从 总 体 中 随 机 地 抽 取 几 个 个 体 所 组 成 地 集 合 ， 称 为 总 体 地 一 个 样 本 ：Xi,X2,L Xn ,通常看为n维随机变量（1） 样本容量：样本中所含个体地个数 n， n 1,2,L 总体中个体元素个数（2） 样本值：Xi,X2,L Xn的一个观测，记为： Xi,X2丄Xn4、抽样：从总体

4、中抽取样本的过程。这里指随机抽样。目的：通过样本得到总体的相应情况。(1)简单随机抽样：数理统计最常用的抽样方法。满足特点：代表性：总体中每个个体被抽入样本的机会均等，即每个Xi (个体)与总体 X具有相同分布;独立性：样本中每个个体取什么值并不影响其它个体取什么值，即Xi,X2,L Xn相互独立。(2)简单随机样本：简称样本(指用简单抽样方法获得的样本)即：X,X2,L Xn为简单随机样本X1,X2,L Xn相互独立；X1,X2,L Xn与X具有相同的分布如，一批灯泡5万只，随机抽取1000只检查其寿命 Xi， i 1,2,L 1000，其中4只寿命低于规律值，为次品，总体 XX1,X2,L

5、 X50000，一个样本X1,X2,L X1000,样本的次品率为0.4%。可推断，总体的次品率为0.4%。(4) 这里可得到简单随机样本的方式：通常采用有放回地重复随机抽样：通常针对有限总体，尤其总体容量较小时；无放回 ：指无限总体或样本容量相对较少，如小于等于总体的5%时。5、样本X1, X2,LXn的联合密度函数pX1，X2丄Xnpx,pX2L pXn,其中：总体X是连续型随机变量，其密度函数为 p X。二、统计量1、统计量：设X1,X2,L Xn为取自总体X的一个样本，g X，X2丄Xn为一个连续函数，且不含未知参数，则称 g X1 ,X2,L Xn为统计量。如：总体X N , 2 ,

6、 X1, X2,L Xn为取自总体 X的一个样本，(1) 未知，已知，则含的不是；(2) 未知，未知，则含 或含 的不是；简单地讲：统计量满足 a)是样本X1, X2,L Xn的实值函数；b)样本观测值 X,X2丄Xn ?, 就可求出统计量的具体值。2、常用统计量设X1,X2,L Xn为取自总体X的一个样本，(1)样本均值:nXi（2）样本方差:2nX证明：（略）（3）样本均方差（标准差）1 Xi Xn 1 i iD X D X的信息。样本方差S2与均方差S都反映了总体波动的大小，即反映总体例1、从一批袋装食品中随机抽取6袋，测得其重量（单位：克），如下：462, 465，451,472, 4

7、59，448。求样本均值 X和样本方差S2。解：总体X :指这批食品的重量（各袋重量构成的集合）；样本 X1,X2,L X6是抽取6袋食品的重量样本值：（462 ,465,451 ,472 , 459, 448）为这次抽取6袋食品测得的重量(1)X6i1XiX1 X2 LX6462 465 L 4486459.5(2)S2Xi226XX22 L X62 6 X21 4622 4652 L 4482 6 459.579.55亠 2 1 2 2 、 2或 s2- 462 459.5465 459.5 L 448 459.579.55 2样本分布函数设X|, x2,L xn为取自总体 X的一组样本值

8、，可用频率分布表和直方图粗略地描述总体X地分布。一、频率分布表1、设总体X是离散型随机变量，X1,X2,L Xn是样本X1,X2,L Xn地一组样本值。X1 , X2,L Xn取到的值为62丄am ,且取到 印总丄am的个数分别为V1,v丄Vm ,（1）频数：a出现的次数（2） 频率：fi ,其中，n vi V2 L Vm，即n个数据中，取到ai值的频率、比例;n（3）频率分布表：可近似地反映（代替）总体 X的分布律X aia1a2LamPf1f2Lfm二、直方图当总体X是连续型随机变量时，可采用直方图来处理样本值。1、方法：* * *（1） 将样本值Xi,X2丄Xn从小到大排列，Xi ,X2

9、 L Xn 样本值落入区间 a,b x,* , Xn* ，a略小于x；，比x；通常多一位小数；b略小于x；，比x；通常多一位小数。（2） 将n个样本值的各个不同取值所在的区间a,b m 1等分m 1等分，使am的值落入分割的小区间中，a to ti t2 L tm tm 1 b，b a每一小区间长度：ti 1 ti, i 0,1 ,L mm 1大小，通常与样本容量对应，（3） 依次数出样本值落在区间ti,ti 1中的个数i， i 0,1 L mfi -为样本值落入区间ti,ti 1中的频率；n（4） 画出（频率）直方图：每个直方条：宽ti,ti 1 ，长 一ti 1 tifi, cI ,fit

10、j 1 tjS 小矩形 P tj x ti 1ti 1 ti（5）相应密度函数的大致曲线：光滑连接每条长方形上边中点。三、样本分布函数由样本的分布函数，推断（近似得出）总体 X的分布函数。作法：将一组来自总体 X的样本值x1, x2, L xn，从小到大排列x1x2 L xn0,x x1A*:,x1xx2n * * n越大，近似程度越好。Fn x一，x2 x x3 ， Fn x称样本分布函数通常nM 1,x x 3常用统计量的分布四种常用的统计量及其分布、X的分布1、定理：设 Xi,X2丄Xn是取自正态总体 X的样本。X N2，则有：样本均值xX N ， N 0,1n样本Xi,X2,L Xn独

11、立与X同分布，E Xi,D Xi1XX1 X2n1E X E X1n1D X D X1nL Xn也服从正态分布,X2X2L XnL Xn1 n n n例1、设总体X N12,4，抽取容量为16的样本。求样本平均值X的分布及p X 13解：X N 12,4，n 16(1) X N2 1,2 N 12,-，即X服从参数12,21的正态分布；44(2)P X 131P X 13113 12 彳F 1311121 0.9772 0.02282分布1定义：若随机变量 Xi,X2,L Xn相互独立，都服从同分布，Xi N 0,1 ,则称随机变量X Xi2 X22 LXn22服从自由度n的2分布，记：X 2

12、(n)(1)X 2(n)，X的密度函数图形分布的密度曲线是个对称的，其形状与自由度n有关，随自由度n的增大而渐趋于对称。(2)2 分布：已知自由度n，给定正数0,1 ,2由 分布表 临界值P X例2、设随机变量 X 2(20)，求下列情况下的k(1) P X k 0.05,解：n 20,0.05，查表：P X 31.410.05, k 31.41即临界值，则样本均值X和样本2、定理：设X1,X2,L Xn是取自总体 X的样本,2方差S相互独立，且n 1 S22三、t 分布1、定义：若随机变量2X N 0,1 , Y (n)，且X与Y相互独立，则称随机变量n的t分布，记为:T t n(1) t分

13、布的密度函数图形：对称，当自由度n增大，其曲线趋于标准正态分布曲线(2) t分布表：已知 X t n，给定正数0,1，自由度n查表 临界值tn P X t n例3、已知：X t 15，求下列情形中的k(1) P X k 0.05,解：n 15,0.05 k to.05(15) 1.75 ,即 P X 1.750.05*2两个定理(1)设Xi,X2,L Xn是取自正态总体 X N2的样本，则其中：X :样本均值；S样本均方差2(2 )设X和Si为总体X的样本均值和样本方差,2X N 1, 1，容量为 ni ；设Y和S22为总体Y的样本均值和样本方差,Y N 2, 22 ，容量为门2。且1222，则 TX Y 12n2 2四、F 分布1、定义：若X、丫相互独立，且2(nJ，2 / 、(门2)，则随机变量布为自由度为n1和n2的F 分布,记为： FF m, n2 。(1)密度函数图形(2)F分布表：已知：X，对给定0,1，自由度n1