华理高等数学8学分上39595

1、第六章第六章 积分法积分法6.1 不定积分的基本积分法不定积分的基本积分法6.2 定积分的基本积分法定积分的基本积分法 第一节第一节 不定积分的基本积分法不定积分的基本积分法1 不定积分的性质不定积分的性质2 不定积分的换元法不定积分的换元法3 不定积分的分部积分法不定积分的分部积分法4 几类特殊类型函数的积分几类特殊类型函数的积分任意常数任意常数积分号积分号被积函数被积函数不定积分的定义：不定积分的定义：在在区区间间I内内，CxFdxxf )()(被积表达式被积表达式积分变量积分变量函函数数)(xf的的带带有有任任意意常数项的原函数常数项的原函数称称为为)(xf在在区区间间I内内的的不定积分

2、不定积分，记为，记为 dxxf)(. .)()( xfxF ),()(xfdxxfdxd kkx )(1( Ckxkdx xx )1)(2(1Cxdxx 11 xx1|)|)(ln3( Cxdxx|ln1xxaaa )ln)(4( Caadxaxxlnxxee )(5( Cedxexx Cxxdxcossin)6( Cxxdxsincos)7( Cxdxtansec)8(2 Cxdxcotcsc)9(2 Cxxdxxsectansec)10( Cxxdxxcsccotcsc)11( Cxdxxarcsin11)12(2Cx arccosCxdxx arctan11)13(2Cxarc cot

3、Cchxshxdx)14( Cshxchxdx)15( dxxgxf)()()1(;)()( dxxgdxxf证证 dxxgdxxf)()( dxxgdxxf)()().()(xgxf 等式成立等式成立.（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）一 不定积分的性质不定积分的性质 dxxkf)()2(.)( dxxfk（k是是常常数数，)0 k例例1 1 求积分求积分解解.)1213(22dxxx dxxx)1213(22 dxxdxx 22112113xarctan3 xarcsin2 C 例例 求积分求积分解解.)1(122dxxxxx dxxxxx )

4、1(122dxxxxx )1()1(22dxxx 1112dxxdxx 1112.|lnarctanCxx 例例 求积分求积分解解.)1(21222dxxxx dxxxx )1(21222dxxxxx )1(12222dxxdxx 22111.arctan1Cxx 例例 求积分求积分解解.2cos11 dxx dxx2cos11 dxx1cos2112 dxx2cos121.tan21Cx 说明：说明： 以上几例中的被积函数都需要进行以上几例中的被积函数都需要进行恒等变形，才能使用基本积分表恒等变形，才能使用基本积分表.问题问题 xdx2cos,2sinCx 解决方法解决方法利用复合函数，设置

5、中间变量利用复合函数，设置中间变量.过程过程令令xt2 ,21dtdx xdx2cosdtt cos21Ct sin21.2sin21Cx 二二 不定积分的不定积分的第一换元法第一换元法（凑微分）（凑微分）设设)(uf具有原函数，具有原函数， dxxxf)()( duufxu)()( 第一类换元公式第一类换元公式（凑微分法凑微分法）)(xu 可可导导，则有换元公式则有换元公式定理定理1 1 )()(xdxf 注：注： xddxx 须凑出须凑出例例6 6 求求 .35cos dxx解解1、凑微分后直接利用积分公式、凑微分后直接利用积分公式 dxx35cos 3535cos51xdx uducos

6、51Cu sin51 Cx 35sin51注：一步一回头注：一步一回头例例7 7 求求.231dxx 解解dxx 231.23ln21Cx dxbaxf)( baxuduufa)(1一般地一般地)23(23121xdx 例例8 8 求求.)ln21(1dxxx 解解dxxx )ln21(1)(lnln211xdx )ln21(ln21121xdx .ln21ln21Cx 例例9 9 求求.)12(1002dxxx 解解dxxx 1002)12()12()12(211002 xdxx )12()12(11241211002 xdxx )12()12(11221241211002 xdxxx )1

7、2(128198 xdx )12(124199 xdx )12(1281100 xdx 971297181 x 981298141 x Cx 991299181 97127761 x 98123921 x Cx 99127921例例1111 求求解：解： dxexx121 xdex11Cex 1 dxexx121例例1212 求求解：解： dxxx)1(11 )(1122xdxCx arctan2 dxxx)1(11例例1313 求求.2sin xdx解解（一）（一） xdx2sin )2(2sin21xxd;2cos21Cx 解解（二）（二） xdx2sin xdxxcossin2 )(si

8、nsin2xxd ;sin2Cx 解解（三）（三） xdx2sin xdxxcossin2 )(coscos2xxd .cos2Cx 2、经三角变形后利用积分公式、经三角变形后利用积分公式例例1414 求求 xdx3sinxdxxsinsin2 Cxx 3cos31cosxdxcos)cos1(2 解：解： xdx3sin例例1515 求求 xdx3cosxdxxcoscos2 Cxx 3sin31sinxdxsin)sin1(2 解：解： xdx3cos例例1616 求求 xdxx32cossinxdxxxcoscossin22 Cxx 53sin51sin31xdxxsin)sin1(si

9、n22 解：解： xdxx32cossin为为小结：被积函数为小结：被积函数为xxcossin或或的奇次方；被积函数的奇次方；被积函数,cossin一一奇奇一一偶偶nmxxnm拆开拆开奇次项奇次项去凑去凑微分微分.xdx 2cos xdxn2sindxx 22cos1 xx2cos2121dxxn )(sin2dxxn)22cos1( xdxn2cosdxxn )(cos2dxxn)22cos1( )2(21xd 利用倍角公式降幂利用倍角公式降幂例例 求求解解.2cos3cos xdxx),cos()cos(21coscosBABABA ),5cos(cos212cos3cosxxxx dxx

10、xxdxx)5cos(cos212cos3cos.5sin101sin21Cxx 总结总结 xdxm 12sin)1(xdxxmsinsin2 )(cos)cos1(2xdxm)(sin)sin1(cos)2(212xdxxdxmm xdxxdxmm22cos,sin)3(利用倍角公式降幂利用倍角公式降幂 xdxxxdxxxdxx coscos,sinsin,cossin)4(利用积化和差公式利用积化和差公式例例1717 求求解：解： xdxx35sectan xdxxxxsectansectan24 xdxx35sectan xdxxsecsectan24 xdxxsecsec1sec222

11、 xdxxxsecsecsec2sec246Cxxx 357sec31sec51sec71例例1818 求求解解.cos11 dxx dxxcos11 dxxxxcos1cos1cos1 dxxx2cos1cos1 dxxx2sincos1 )(sinsin1sin122xdxdxx.sin1cotCxx 解解例例1919 设设 求求 .,cos)(sin22xxf )(xf令令xu2sin ,1cos2ux ,1)(uuf duuuf 1)(,212Cuu .21)(2Cxxxf 例例2020 求求.)1(3dxxx 解解dxxx 3)1(dxxx 3)1(11)1()1(1)1(132xd

12、xx 221)1(2111CxCx .)1(21112Cxx 3、经代数变形后利用积分公式、经代数变形后利用积分公式例例2121 求求.122dxxa 解解dxxa 221dxaxa 222111 axdaxa2111.arctan1Caxa 例例2222 求求.25812dxxx 解解dxxx 25812dxx 9)4(12dxx 13413122 341341312xdx.34arctan31Cx 例例2323 求求.11dxex 解解dxex 11dxeeexxx 11dxeexx 11dxeedxxx 1)1(11xxededx .)1ln(Cexx 例例2424 求求.)11(12d

13、xexxx 解解,1112xxx dxexxx 12)11()1(1xxdexx .1Cexx 例例2525 求求.12321dxxx 原式原式 dxxxxxxx 123212321232dxxdxx 12413241)12(1281)32(3281 xdxxdx .121213212133Cxx 解解例例 求求. )0(122 adxxa解解dxaxa 2)(111.arcsinCax dxxa 221)()(112axdax 例例2626 求求解解.2arcsin412dxxx dxxx 2arcsin41222arcsin2112xdxx )2(arcsin2arcsin1xdx .2a

14、rcsinlnCx 例例 求求.122dxax 解解dxaxax )(1Caxaxa |)|ln|(ln21dxaxaxa )11(21dxax 221Caxaxa |ln21 dxxsin1 xdxcsc dxxx2sinsin )(coscos112xdxxucos duu211 duuu111121Cuu |11|ln21.|cos1cos1|ln21Cxx .|tansec|lnsec CxxxdxCxx 22sin)cos1(ln21Cxx |sincos1|lnCxx |cotcsc|ln基基本本积积分分表表;|cos|lntan)16( Cxxdx;|sin|lncot)17( Cxxdx;|tansec|lnsec)18( Cxxxdx;|cotcsc|lncsc)19( Cxxxdx;arctan11)20(22Caxadxxa ;|ln211)21(22Caxaxadxax