材料力学第7章 弯曲变形ppt课件

1、 材料力学 出版社 科技分社 材料力学 出版社 科技分社 xfdxdwtan xfw wfx平面弯曲时，梁的轴线在纵向对称平面内弯曲成一条平面曲线，这条曲线称为梁的挠曲线。横截面形心在横向沿y轴方向的位移w称为挠度。挠曲线方程或挠度方程：梁的横截面与变形前横截面的夹角 称为梁的转角。小变形梁可近似为转角方程 7.1 7.1 梁的弯曲变形梁的弯曲变形 材料力学 出版社 科技分社 EIM1 1M xxEI 32211wxw 3221M xwEIw EIxMdxwd227.2 7.2 梁的挠曲线近似微分方程梁的挠曲线近似微分方程由纯弯曲梁的曲率与弯矩的关系：曲线曲率计算公式由曲率-弯矩的符号关系：小

2、变形梁的近似微分方程： 材料力学 出版社 科技分社 xMwEI 7.3 积分法求梁的位移积分法求梁的位移 CdxxMwEIEI EIwM x dx dx Cx D 对于等截面直梁一次积分得转角方程二次积分得挠曲线方程C、D积分常数，由梁上知的挠度或转角确定，这些知的挠度或转角称为边境条件。 材料力学 出版社 科技分社 以图示简支梁为例以图示悬臂梁为例 0,00,0ABxwwxlww l 0,0000AAxwww 材料力学 出版社 科技分社 例题7.1：图示一弯曲刚度为EI的悬臂梁，在自在端受一集中力F的作用，试求梁的挠曲线方程和转角方程，并确定其最大挠度和最大转角。 ( )1M xF lx 2

3、EIwM xF lx 22313211426EIwFlxFxCEIwFlxFxCxD 解：建立图示坐标系，弯矩方程为 挠曲线近似微分方程两次积分，得 材料力学 出版社 科技分社 0000 xxww， 252FlxFxwEIEI222max22x lFlFlFlEIEIEI333max263x lFlFlFlwwEIEIEI由悬臂梁的边境条件 得积分常数 0,0CD转角方程挠曲线方程 23626FlxFxwEIEI最大转角最大挠度 材料力学 出版社 科技分社 例题7.2：图示弯曲刚度为EI的简支梁，受集度为q的均布荷载作用，试求梁的挠曲线方程和转角方程，并确定其最大挠度和最大转角。2ABqlFF

4、 211(1)22M xqlxqx 211222EIwqxqlx 解：由平衡方程得支座反力建立坐标系，得梁的弯矩方程为 梁挠曲线近似微分方程 材料力学 出版社 科技分社 324311(3)6411(4)2412EIwqxqlxCEIwqxqlxCxD 000 xx lww，31C024qlD，两次积分得：由简支梁的边境条件： 得积分常数 材料力学 出版社 科技分社 24max5384lxqlwwEI3max24ABqlEI 323(46)(5)24qwxlxlEI梁的转角方程323(2)(6)24qxwxlxlEI梁的挠曲线方程最大转角最大挠度 材料力学 出版社 科技分社 例题7.3：图示弯曲

5、刚度为EI的简支梁，在C点受集中力F作用，试求梁的挠曲线方程和转角方程，并确定其最大挠度和最大转角。解：梁的两支座支反力 ABFbFaFFll 1FbMxxl1FbEIwxl 2112FbEIwxCl AC段0 x a:弯矩方程：挠曲线近似微分方程：31116FbEIwxC xDl 积分一次：积分二次： 材料力学 出版社 科技分社 CB段a x l:12弯矩方程：挠曲线近似微分方程：积分一次：积分二次： 2FbMxxF xal2FbEIwxF xal 222222FbFEIwxxaCl 3322266FbFEIwxxaC xDl 材料力学 出版社 科技分社 由C点处的光滑延续条件： 1212x

6、 ax ax ax awwww1212,CCDD由梁的边境条件： 1200 ,0 xx lww2212120 ,6FbDDCClbl 材料力学 出版社 科技分社 22211123FbwxlblEI22216FbxwxlblEI332226FblwxxalbxlEIb222222123FblwxxalblEIb得梁AC段转角方程和挠曲线位移方程 得梁CB段转角方程和挠曲线位移方程 材料力学 出版社 科技分社 120,66ABxx lFab lbFab lalEIlEI max=6BFab lalEI221233a ablbx显然，最大转角能够发生在左、右两支座处的截面，其值分别为 当 ab 时，

7、B支座处截面的转角绝对值为最大 简支梁的最大挠度应在dw/dx=0处，由 得10w 当 ab 时，那么有x1 a，由此可知最大挠度位于AC之间。 材料力学 出版社 科技分社 1322max19 3x xFbwwlblEI最大挠度值22123448lCxFbwwlbEI跨中挠度值 可以证明，当集中载荷从简支梁跨中向梁端挪动时，最大挠度与跨中挠 度之比值不断增大。当b值趋于零时，那么比值wmax/wC1.0265，即最大挠度值与跨中挠度值最大相差不超越2.65%。 工程中，无论遭到什么荷载作用，只需简支梁的挠曲线上无拐点，其最大挠度均都可用梁跨中点处的挠度替代，其准确度足可满足工程的计算要求。 材

8、料力学 出版社 科技分社 7.4 叠加法求梁的变形叠加法求梁的变形 在上述条件下，假设梁受多个荷载同时作用，其任一横截面的挠度和转角等于各荷载单独作用下同一截面挠度和转角的叠加和，此为梁变形计算的叠加原理。 梁在小变形条件下，其弯矩与荷载成线性关系，在线弹性范围内，挠曲线的曲率与弯矩成正比，当挠度很小时，曲率与挠度也成线性关系。 材料力学 出版社 科技分社 例题7.4：示简支梁，其上作用有集中力F和集度为q的均布荷载，求A截面处的点转角和梁中点C的点挠度。 解：均布荷载解：均布荷载q单独作用时：单独作用时：EIqlqA243EIqlwqC38454， 集中力F单独作用时：EIFlFA162EI

9、FlwFC483， qlFEIlqAFAA2348234548384CFCqCFlqlwwwEIEI将相应的位移叠加，即得 材料力学 出版社 科技分社 例题7.5：图示悬臂梁，其上作用有集中力F，求自在端点C处的挠度和转角。 EIFaB22EIFawB33，alEIFaEIFaalwwBBC2323EIFaBC22解：梁上解：梁上BC段未受力的作段未受力的作用，这段梁只发生位移，用，这段梁只发生位移，没有变形，坚持为直线。没有变形，坚持为直线。B点的转角和挠度分别为由叠加原理 材料力学 出版社 科技分社 例题7.6：悬臂梁接受荷载如图示。求挠度的最大值。 EIqaEIaqwC441282432

10、22486724CBBqaqawwaaEIEIqaEI 4124124CCCqawwwEI解：将荷载分解为图示解：将荷载分解为图示b b和和c c两种均布荷载的叠加。在两种均布荷载的叠加。在b b荷载作用下荷载作用下 在c荷载作用下 叠加 材料力学 出版社 科技分社 .1梁的刚度条件梁的刚度条件 为了保证梁在荷载作用下有足够的刚度，按梁的用途，可选择梁的挠度或梁的转角为梁的刚度允许条件。对于选择挠度，通常用答应的挠度与跨长之比值 作为规范 。lf在土建工程中 112501000fl在机械工程中 11500010000fl梁的答应转角 的值普通限制在0.0050.001rad 范

11、围内。 材料力学 出版社 科技分社 3max3394453845 4 10 N/m6m384200 10 Pa0.34 10 m10.0016400wqllEIfl 例题7.7：接受均布荷载的简支梁，梁截面采用22号工字钢，知：l=6m，q=4kN/m，梁的答应挠度与跨长之比值为 f / l =1/400 ,弹性模量E=200GPa，试校核梁的刚度。解：由附录解：由附录型钢表，查型钢表，查得得22号工字钢的轴惯性矩号工字钢的轴惯性矩为为 440.34 10 mzI满足刚度要求。 材料力学 出版社 科技分社 例题7.8：一圆木简支梁受均布荷载如图示。知：q=2kN/m，l=4m，E=10GPa，

12、 =10MPa，f /l= 1/200；试求梁截面所需直径d。 223max112 10 N/m4m4kN m88Mql 323dMWMmaxzmaxmax 3max3363232 4 10 N m0.160m10 10 PaMd 解：解： 1根据正应力强度根据正应力强度条件选择截面尺寸。条件选择截面尺寸。正应力强度条件所需横截面的直径 简支梁的最大弯矩为 材料力学 出版社 科技分社 2根据由刚度条件选择截面尺寸 简支梁的最大挠度值 44max45538438464qlqlwdEIE由刚度条件 max1200wfll所需横截面的直径为 33344964 52 10 N/m(4m)64 5200

13、0.162m38438410 10 PaqlldEf 综合思索取梁的截面直径： d162mm 材料力学 出版社 科技分社 7.5.2 提高梁的刚度的措施提高梁的刚度的措施 1增大梁的弯曲刚度EI 2调整跨长和改动构造 为了增大钢梁的弯曲刚度，梁的横截面应采用使截面面积尽能够分布在距中性轴较远的外形，以增大截面对于中性轴的惯性矩Iz， 材料力学 出版社 科技分社 所谓改动构造来提高梁的刚度在这里是指添加梁的支座约束使静定梁成为超静定梁。 材料力学 出版社 科技分社 7.6 简单超静定梁的解法简单超静定梁的解法假设梁的未知约束反力的数目多于可列出的独立静力学平衡方程的数目，仅凭静力学平衡条件不能完

14、全确定一切未知约束反力，这类梁称为超静定梁。 材料力学 出版社 科技分社 0Cw0( )CFqCCwwa44525( )38424qCqlqlwbEIEI以图示的简支梁为例，阐明其解法. 解除超静定梁的多余约束C，用约束反力FC替代；由此得到的静定梁称为原超静定梁的静定基。 变形相容性条件或332( )486CFCCCFlF lwcEIEI q引起的C处挠度FC引起的C处挠度 材料力学 出版社 科技分社 3450246CF lqlEIEI54CFql33,88ABFqlFql将关系式b(c)代入a,得 解得多余约束反力为 根据静定基的平衡条件，求得梁端的支座约束力为梁的剪力和弯矩图如下图 材料

15、力学 出版社 科技分社 例题7.9：求图示超静定梁B支座的约束反力。解：解除解：解除B处的约束，处的约束，以约束反力以约束反力FB替代替代变形相容条件22332222833BmBBFBBmamawEIEIFaF awEIEI 0BFmBBBwww查附录得 材料力学 出版社 科技分社 328203BF amaEIEIamFB43将得到的上述挠度代入变形相容条件,即得补充方程 解得负号表示支座B处的约束力实践方向与假设相反 材料力学 出版社 科技分社 例题7.10：图示构造，梁AB的 EI 为一常数，BC杆的EA为一常数，求B处的约束反力。解：解：1选择静定基，解选择静定基，解除除B处的约束，以约束反力处的约束，以约束反力FBC替代替代2变形相容条件 BCFqBBBBCwwwl 4;8qBqlwEI3;3BCFBCBF lwEI BC BCBCF llEA3由梁与拉压杆的变形计算 材料力学 出版社 科技分社 3483BCBC BCF lF lqlEIEIEA4383BCBCqlFllIAEI4将变形计算式代入相容条件得补充方程解得 材料力学 出版社 科技分社 本章小结本章小结 1梁的位移用挠度w和转角 两个根本量表示,且 ;xw x2由挠曲线近似微分方程 xMwEI 经过积分运算计算梁的挠度和转角