实用文档之不定积分求解方法及技巧小汇总

1、实用文档之”来定张今疝鮮方倣摘要：总结不左积分基本左义，性质和公式，求不定积分的几种基本方法和技 巧，列举个别典型例子，运用技巧解题。不定积分的概念与性质定义1如果F (x)是区间I上的可导函数，并且对任意的xeL有F(x)=f(x)dx则称F (x)是f(x)在区间I上的一个原函数。定理1 (原函数存在定理)如果函数f(x)在区间I上连续,那么f(x)在区间I 上一泄有原函数，即存在可导函数F (x),使得F (x) =f(x) (xel)简单的说就是，连续函数一定有原函数定理2设F (x)是f(x)在区间I上的一个原函数，则(1) F (x) +C也是f(x)在区间I上的原函数，其中C是任

2、意函数；(2) f (x)在I上的任意两个原函数之间只相差一个常数。定义2设F (x)是f(x)在区间I上的一个原函数，那么f(x)的全体原函数 F (x) +C称为f(x)在区间I上的不定积分，记为J f(x)d(x),即 J f(x)d(X)=F(X)+C其中记号J称为积分号，f(x)称为被积函数，f(x)d(x)称为被积表达式，X称为积分变量，C称为积分常数，性质 1 设函数 f(x)和 g(x)存在原函数，则f f(x) g(x)dx= j f(x)dx j g(x)dx.性质2设函数f(x)存在原函数，k为非零常数,则J kf(x)dx=kj f(x)dx.二. 换元积分法的定理如果

3、不左积分J g(x)dx不容易直接求岀，但被积函数可分解为g(x)=f(x)l 0 (x).做变量代换U二0(x),并注意到0 (X)dx二d0(x),则可将变量X的积分转化成 变量 U 的积分，于是有 j* g(x)dx二j* fe(x) 0(x)dx二j* f (u)du.如果J f(u)du可以积岀，则不左积分J g(x)dx的计算问题就解决了，这就是 第一类换元法。第一类换元法就是将复合函数的微分法反过来用来求不泄积 分。定理1设F(u)是f(u)的一个原函数，u=(x)可导，则有换元公式j f(x) cp (x)dx=j f(u)du=F(u)+C=F(x)+C.第一类换元法是通过变

4、量代换u二0(x),将积分j* f0(x) 0 (x)dx化为 J f(u)du.但有些积分需要用到形如X二0(t)的变量代换，将积分J f(x)dx 化为J f0(t) 0 (t).在求出后一积分之后，再以x=(P (t)的反函数 t二T(X)带回去，这就是第二类换元法.即j f (x)dx= | f 卩(t) 0(t)dtr叫为了保证上式成立，除被积函数应存在原函数之外，还应有原函数2 0 -*(X) 存在的条件，给岀下而的定理。定理2设X二0(t)是单调，可导的函数，并且0 (t) ho.又设f(t) (t)具有原函数 F ( t )，则 J f(x)dx= I* f (p (t) (P

5、，dt=F(t)+C=F (x)+C其中T (x)是x二0 (t)的反函数。三. 常用积分公式1基本积分公式-.U+1(1) f kdx=kx+C(k 是常数)：(2) f xdx二+C(uhT);JJu + 1(3)dx | =ln x | +C；dx7 =arctanx+C;1 + x，arcsinx-rC;cosxdx 二 sinx 乂;sinxdx二一cosx+C = f sec 2 xdx二tanx+C;COS X Jdx f夕，厂 = esc - xdx二一cotx+C; sin2% J(10) jsecxtanxdx=secx-rC;(11) J cscxcotxdx二-cscx

6、+C;(12) J exdx= ex+C;(13) J ax dx= e +C;仃4)shxdx二chx+C;(15) jchxdx二shx+Ctanxdx=-ln|cosx| +C;(16)(17) J cotxdx=ln |sinx| +C; secxdx=ln|secx+ tanx| +C;(19)cscxdx=ln |cscx-cot,v| +C;(18)(20)dxcr +jc二 4+c； a x + a(21) Jdx. x，,，=arcsin +C;(22),、=ln (x+ yjx2 +a2 +C; y/d2 +x2(23) J 代2.凑微分基本类型积分类型换元公式第一类换元积

7、分法l.| f(ax+b)dx- f (ax+b)d(ax+ b) (a 弄0) 2J /(xxdx = i J(“ 工 0)3. J f(丘)土加=2 J /(吕 M 丘4. J/(|)Xv = -J/(iX(i) 5 J/0) “加=岛 J f(ax)dax6. J /(In x) =J /(In x)d In x7. J f(ex)-exdx=jf(ex)ilex8. J f (sin x) -cos xdx = |/ (siu x)d sin xJ /(cosx)-sin xdx/(cos x)dcosxu = ax+ b u-xf1u = x 心丄Xh ax u=nxu =exw =

8、sinx/ =cosx第一类换元积分法J /(taux)sx2% = J/(tanxX tauxJ f (CQtx)cse2 xdx = -J /(cotx)d cotx 9 J sin mx cos nxdxjsin mxsin nxdxJ cos mx cos MX心10sinxdxcoxdx (加为奇数)11. Jsinxdx;j CQSmXdX (加为偶数)12. J f (arctanx)- J/(arctanxy(arctanx)u =tanxm =cotx利用积化和菱 公式进行变换用公式c1sin:x = cdArA lcox2x - sinz a 进行变换化为倍角的三角函 数降

9、幕后再积分zz arctan x/ =arcsin.vJ 八I1-X2J 八四. 解不定积分的基本方法四.求不定积分的方法及技巧小汇总1. 利用基本公式。(这就不多说了)2. 第一类换元法。(凑微分)设f(口)具有原函数F( M )o则J fl(p(x(P(x)dx = j fp(x)yi(p(x) = F0(x)+C其中(p(x)可微。用凑微分法求解不定积分时，首先要认真观察被积函数，寻找导 数项内容，同时为下一步积分做准备。当实在看不清楚被积函数特点 时，不妨从被积函数中拿出部分算式求导、尝试，或许从中可以得到 某种启迪。如例1、例2：例1：严I-叫J x(x+l)【解】(ln(x + l

10、)-lnxy=x + 1 X1x(x+)竺Ja = -J (ln(x + l)- In x)(ln( x +1) - In x) = -(ln( x 4-1)-In x)2 +C(.x +1)2mi c f 1 + blX ,例 2： dxJ (xln xy【解】(xlnxy=l + lnxf 1 + In xx(x + l)2dx = jdxh x(xbi x)23 第二类换元法:设x =(p(t)是单调、可导的函数,并且0(f)HO又设/如)0(/)具有原函数，则有换元公式J/(x)x=J/做)0(/)/第二类换元法主要是针对多种形式的无理根式。常见的变换形式 需要熟记会用。主要有以下儿种

11、：(1) J/ _十：x = asint； x = acost(2) y/x2 +a2： x = tanr； x = acott； x = asht(3) Jx，x = asect； x = acsc/； x = acht(6)当被积函数含有V毗用+处+G有时倒代换Y = 1也奏效。 t4 分部积分法.分部积分法采用迂回的技巧，规避难点，挑容易积分的部分先做, 最终完成不定积分。具体选取“、时，通常基于以下两点考虑：(1) 降低多项式部分的系数(2) 简化被积函数的类型举两个例子吧!【解】观察被积函数，选取变换7=arccog则7i-x2-fsin-fsin/cost cos t + C =3

12、39933x2 arcs in a dxxarcsin.v +j 2 arc s nxd a/1-x2 =xarcsinA+ 2a/1-x2 arcsinx- fyjX-x1 . dx =JxarcsinA+ 2vl-x2 arcsinx-2x + C上面的例3,降低了多项式系数；例4,简化了被积函数的类型。 有时，分部积分会产生循环，最终也可求得不定积分。在J=中，“、V/的选取有下面简单的规律：(1) / = Pfl (x), v = easin gx,cosgx(2) / = In x.arctanx,arcsinx, v = Pm(x)(3) “ = eax, v = cos卩x、si

13、n fix(3) 会岀现循环，注裁厶i选取的函数不能改变将以上规律化成一个图就是：(Inx arcsinx)Pm(x(aAx sinx) V但是，半 = lnx, v = arcsinx时，是无法求解的。 对于(3)情况，有两个通用公式： = jeax sin bx-dx =eax(a sin bx 一 b cosbx) + C cr +br cice cosbxdx= (acosbx + bsinbx) + CJcr+lr5.儿种特殊类型函数的积分。(1)有理函数的积分有理函数竺先化为多项式和真分式空之和，再把口2分 2(x)Q(x)Q(x)解为若干个部分分式之和。(对各部分分式的处理可能会

14、比校复杂。出现时，记得用递推公式：(0 + X )2/(舁一1)(/+2)心例5：x6+x4-4x2-2x3(x2+l)2dx+一4/一2 = 宀川 _ 4宀2 = x _ 4宀2x3 (x2 +1)2x3 (x2 +1)2 xx2 +1)2 x2 +1 xx2 +1)2Y一dx = -n(x2+) + Cx2 + 24x + 2. r 4x +2 t (2x +1. j rW+l)- J F(才+1)2 J 2+1)2c =“+1 “x2(x2 + l)+C故不定积分求得。(2)三角函数有理式的积分sinx =2tani万能公式:cosx =1 + tan2 -21 - tan2 21 + tan2 2P(sm工夕认可用变换/ = 口丄化为有理函数的积分，但曲于(2(sin x,cosx)2计算较烦，应尽量避免。对于只含有tanx (或cotx)的分式，必化成曲丄或汐。 cosx sinx再用待定系数A(a c osx + Z? s in x) + 3(“ c os ,x + Z?siii, .v)acosx + bsinx来做。（3）简单无理函数的积分 一般用第二类换元法中