立体几何中的向量方法练习题

1、第七节 立体几何中的向量方法(理)时间：45分钟分值：75分一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1.如果平面的一条斜线与它在这个平面上的射影的方向向量分别是日=(1,0,1),(0.1,1),那么这条斜线与平面所成的角是()B. 60D. 30A. 90C. 45解析 T a =边，b =翻,亦=又a, b) e(o , 90 ), = 1, Z几個=60 ,则 血 的长为解析 （2013 怀化模拟）如图，在直三棱柱中，ZACB=90 , AC = BC=.侧棱丛=品 M为川3的中点，则弭肘与平面AAC所成 ： BD=BA+BC+BB BD. 12= BA+BC+BB 2=9,故

2、 血=3.答案3角的正切值为解析 以G为原点，GA CB, GC所在直线分别为上y, z轴建立空间直角坐标系，则平面AAGC的法向量为n= (0,1,0), AM=o1 1 - 21-2,一迈，则直线力肘与平面AAC所成角的正弦值为sin = cos AM, n)nAJf n1tan 0 =-o答案9. 如图，直三棱柱 ABCAbG 中，AB=AC=1, M = 2, ZBAG= 90 , 为血的中点，则异面直线G 与力Q所成角的余弦值为解析以A为原点建立空间直角坐标系，如图，力】(0,0,2),0(0,1,0), (1,0,1), 61(0,1,2),则dl, -1, -1),川片(0,1,

3、 2), |C=羽，AC =厂乙 GD AC a/15cosCD、AC)15 GD AC故异面直线G与力所成角的余弦值为密.10答案噜共30分)10. (2013 江苏卷)如图，在直三棱柱AcABC中，ABLAC,AB=AC=2,乩4=4,点是的中点.(1) 求异面直线力/与G所成角的余弦值；(2) 求平面与平面ABA、所成二面角的正弦值.解(1)以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz,则水0,0,0), (2,0,0), 0(0,2,0), 0(1,1,0),川(0,0,4),G(0,2,4),所以AXB= (2,0, -4), dl, 一1, 一4)因为 cosAiB, Cf

4、)18所以异面直线川与G所成角的余弦值为警.(2)设平面ADG的法向量为灿=(x, y, z),因为肋=(1,1,0), AG=(0,2,4),所以刀】肋=0, n AG = 0,即 x+y= 0 且 y+2z=0, 取 z= 1,得 x 2, y 2,所以，z?i=(2, 2,1)是平面 ADG 的一 个法向量.取平面力丽1的一个法向量为忌=(0，0),设平面彳G与平面所成二面角的大小为0.771一厂厂孚得sin心爭I 曲X小33因此，平面血匕与平面力4所成二面角的正弦值为脊.11. (2013 福建卷)如图，在四棱柱ABCDA假C2中，侧棱M 丄底面 ABCD, AB/DC.曲严1,理=3

5、&, AD=4k, BC=5k,化6&(Q0).(1) 求证：力丄平面ADDA；(2) 若直线曲|与平面A&C所成角的正弦值为求斤的值.解（1）证明：取切的中点连接滋：AB/DEy AB=DE=3k,:.四边形力测为平行四边形，:.BE/AD 且 BE=AD=4k.在磁 中，:BE=4k, CE=3k, BC=5k, :BE+CE=BC.:./BEC=90 ,即 BEY CD.又施初，/. CDVAD.的丄平面ABCD, CZ 平面ABCD,AA CD.又加小血=儿I 6Z?丄平面ADDA(2)以为原点，DA, DC、DU的方向为x, y, z轴的正方向建立 如图所示的空间直角坐标系，则 J(

6、40,0), C(0,6&,0), B、(4k, 3&,1),川(4化0,1),所以应=(一4化6化0),個=(0,3化1),的=(0。1)设平面力3C的法向量n=(x, y, z),G=0,则由s.AR 力=0,4kx+6ky=0,.3妙+z=0取 y=2,得 n= (3,2, -6A).设M与平面個c所成角为，则sin 0 = | cos AAu n)MnIMI n&k 6p36+13 7解得&=1,故所求&的值为1.12. (2014 石家庄质检)如图，已知三棱柱ABCAQ,侧面 BCGB、丄底面ABC.(1) 若妝分别是力，川。的中点，求证：鹿V平面BCCA；(2) 若三棱柱ABCAG

7、的各棱长均为2,侧棱上矽与底面力恭所 成的角为60。，问在线段4G上是否存在一点只使得平面BCPV平 面ACGA,若存在，求CP与皿】的比值，若不存在，说明理由.解(1)证明：连接BG,则AN=NG9因为AM=丽,所以MN BC.又BC&平面BCCR, MW平面BCCA,所以协平面BCGB.(2)作B41BC于。点，连接初，因为平面BCG5丄底面ABC,所以50丄平面ABC.以。为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则力（0,寸0）, *（一1,0,0）, 6*（1,0,0）, 5（0, 0,羽）. 由力川=% =謂，可求出川（1, 為，、為），G（2,0,、為），假设在线段川G上存在一点只使得平面BCPA_平面ACC设ACi=人4（人H0且人H1），则可以求得Ay+1,老一芈，萌）,g（+，羽一芈，3）,個=（1,0, 3）.y+*/5z=0,设平面567的法向量为m=O, y, z）,Z2i CP=0, 由sA4 CB = 0,令