第07章正弦稳态分析18m版

1、基本电路理论基本电路理论上海交通大学本科学位课程上海交通大学本科学位课程第七章第七章 正弦稳态分析正弦稳态分析 电子信息与电气工程学院电子信息与电气工程学院2002004 4年年7 7月月 在正弦信号激励下电路的稳态响应是电路理论在正弦信号激励下电路的稳态响应是电路理论中的重要课题，这是因为正弦信号比较容易产中的重要课题，这是因为正弦信号比较容易产生和获得，在科学研究和工程技术中，许多电生和获得，在科学研究和工程技术中，许多电气设备和仪器都是以正弦波为基本信号的。气设备和仪器都是以正弦波为基本信号的。 根据富里叶级数和富里叶积分的数学理论，周根据富里叶级数和富里叶积分的数学理论，周期信号能够分

2、解为一系列正弦信号的迭加。利期信号能够分解为一系列正弦信号的迭加。利用线性电路的迭加性，可以把正弦稳态分析的用线性电路的迭加性，可以把正弦稳态分析的方法推广到非正弦周期信号激励的线性电路中方法推广到非正弦周期信号激励的线性电路中去。因此也可以说，知道了正弦稳态响应后，去。因此也可以说，知道了正弦稳态响应后，原则上就知道了任何周期信号激励下的响应。原则上就知道了任何周期信号激励下的响应。第七章第七章 正弦稳态分析正弦稳态分析基本要求：基本要求：正弦量的瞬时值、有效值、相位差正弦量的瞬时值、有效值、相位差 正弦量的振幅（最大值）、角频率、相位和初相位正弦量的振幅（最大值）、角频率、相位和初相位 7

3、.1 7.1 正弦量正弦量 随时间按正弦规律变化的电随时间按正弦规律变化的电压和电流，称正弦电压和正压和电流，称正弦电压和正弦电流。弦电流。y(t) = Amsin(t+)Am最大值最大值，角频率角频率，初相位初相位, (-180180) 若正弦量为电流若正弦量为电流i(t)，则则i(t)=Imsin(t+)其中其中Im是正弦电是正弦电流最大值，流最大值，I是正弦电流有效值。是正弦电流有效值。 最大值，角频率，初相位为正弦量的三要素。三要素确最大值，角频率，初相位为正弦量的三要素。三要素确定后，正弦量就被唯一确定。定后，正弦量就被唯一确定。 7.1 7.1 正弦量正弦量有效值也称均方根值，即有

4、效值也称均方根值，即 以上情况同样适合于正弦电压以上情况同样适合于正弦电压 实验室的交流电压表、电流表的表面标尺刻度都是实验室的交流电压表、电流表的表面标尺刻度都是有效值，包括交流电机和电器上的铭牌。有效值，包括交流电机和电器上的铭牌。有效值有效值 7.1 7.1 正弦量正弦量 正弦量的平均值则是指在一周期内其绝对值的平均值，正弦量的平均值则是指在一周期内其绝对值的平均值，或者说其正半波的平均值。或者说其正半波的平均值。其中其中Imsint= i(t)为正弦电流，对电压也同样适用。为正弦电流，对电压也同样适用。平均值平均值有效值大于其平均值有效值大于其平均值根据欧拉公式根据欧拉公式当当是是t的

5、函数时，正弦量的函数时，正弦量Amsin(t+)可用复值函数来表示可用复值函数来表示 7.1 7.1 正弦量正弦量 7.2 7.2 相量法相量法基本要求：基本要求：正弦量与相量的变换、相量图正弦量与相量的变换、相量图 同相、超前和落后的概念同相、超前和落后的概念 7.2 7.2 相量法相量法其中其中 是是t=0时的复值常数，称相量时的复值常数，称相量称旋转相量，称旋转相量，称旋转因子称旋转因子相量可表示为相量可表示为 作为复数，相量又常用作为复数，相量又常用s复平面上的有向线段表示。这复平面上的有向线段表示。这样的图称相量图。样的图称相量图。设设且且 Am1= Am2 = Am，1= 2同相同

6、相12超前超前角度角度落后落后角度角度 = 90 一个相量乘一个一个相量乘一个j，向逆时针方向旋转，向逆时针方向旋转90，乘一个乘一个 -j，向顺时针向顺时针方向旋转方向旋转90，所以称所以称90旋转因子旋转因子 7.2 7.2 相量法相量法旋转相量和正弦量之间的关系是一一对应关系旋转相量和正弦量之间的关系是一一对应关系 7.2 7.2 相量法相量法 根据数学知识，任意个相同频率的正弦量的代数和，根据数学知识，任意个相同频率的正弦量的代数和，这些正弦量的任意阶导数的代数和，仍然是同频率的这些正弦量的任意阶导数的代数和，仍然是同频率的正弦量。因此，相量正弦量。因此，相量 完全能用来表示已知频率的

7、正弦量。但相量并不等于完全能用来表示已知频率的正弦量。但相量并不等于正弦量，只有旋转相量才和正弦量有一一对应关系。正弦量，只有旋转相量才和正弦量有一一对应关系。 也称最大值相量。最大值与有效值之间的关系也称最大值相量。最大值与有效值之间的关系 其中其中称有效值相量，且称有效值相量，且 7.2 7.2 相量法相量法 正弦量与相量间属一种变换，称相量法变换正弦量与相量间属一种变换，称相量法变换phj。相量法。相量法变换变换phj为已知正弦量变换成相量。为已知正弦量变换成相量。相量法反变换相量法反变换phj-1为已知相量，变换成正弦量。为已知相量，变换成正弦量。 7.2 7.2 相量法相量法几个定理

8、几个定理定理定理1 若若为实数，为实数，Z(t)为任何实变数为任何实变数t的复值函数，的复值函数，则则 ImZ(t) = ImZ(t) 实数与复值函数相乘后取虚部等于复值函数取虚部实数与复值函数相乘后取虚部等于复值函数取虚部后与实数相乘。后与实数相乘。定理定理2 若若Z1(t) 和和Z2(t)为任何实变数为任何实变数t的复值函数，的复值函数，则则 ImZ1(t)+ Z2(t) = ImZ1(t)+ ImZ2(t)。复值函数相加后取虚部等于各复值函数取虚部后相加复值函数相加后取虚部等于各复值函数取虚部后相加 7.2 7.2 相量法相量法定理定理3 设设Z为复数，其极坐标形式是为复数，其极坐标形式

9、是取虚部和求导的运算可互换；复值函数取虚部和求导的运算可互换；复值函数对对 t 的导数等于该函数与的导数等于该函数与j的乘积。的乘积。 定理定理4 设设Z1、Z2为复数为复数, ,为角频率。若所有时刻为角频率。若所有时刻 则则Z1=Z2。反之，若。反之，若Z1=Z2，则在所有时刻，则在所有时刻 两角速度相同的旋转相量在所有时刻在虚轴上的投影都两角速度相同的旋转相量在所有时刻在虚轴上的投影都相等，则这两相量相等。相等，则这两相量相等。 7.2 7.2 相量法相量法 用相量法求微分方程特解用相量法求微分方程特解 其中其中a0，a1，an及及Am，均是实数。方程特解为与输入同均是实数。方程特解为与输

10、入同频率的正弦量。因为频率的正弦量。因为其中其中微分方程特解可表示为微分方程特解可表示为其中其中 按经典法，将特解代入原方程，进行一系列的正弦量的微分和繁按经典法，将特解代入原方程，进行一系列的正弦量的微分和繁琐的三角公式运算。琐的三角公式运算。现在用相量法求特解，即定常数现在用相量法求特解，即定常数Ym和和。 7.2 7.2 相量法相量法将将yp(t)代入原方程代入原方程根据定理根据定理1 1根据定理根据定理3 3根据定理根据定理2 2根据定理根据定理4 4 7.2 7.2 相量法相量法由此得到代数方程由此得到代数方程 所以特解所以特解 用相量法求正弦激励下的微分方程的特解，是原来的用相量法

11、求正弦激励下的微分方程的特解，是原来的微分方程转换成复数代数方程。微分方程转换成复数代数方程。 7.2 7.2 相量法相量法对一阶电路求特解对一阶电路求特解方法方法1所以所以 7.2 7.2 相量法相量法方法方法2 对一阶电路方程两边取相量法正变换对一阶电路方程两边取相量法正变换 取相量法反变换取相量法反变换 7.2 7.2 相量法相量法基本要求：基本要求：正弦稳态响应的概念正弦稳态响应的概念 7.3 7.3 线性定常电路的正弦稳态线性定常电路的正弦稳态正弦稳态分析的概念正弦稳态分析的概念 正弦稳态响应正弦稳态响应 一个具有正弦激励的线性定常电路，其全响应的形式一个具有正弦激励的线性定常电路，

12、其全响应的形式为为y(t)=yh(t)+yp(t)。 其中其中yh(t)是齐次解，是齐次解， yp(t)是方程的特解。是方程的特解。 若电路变量若电路变量y(t)的所有固有频率是不同的（也就是特征的所有固有频率是不同的（也就是特征多项式没有多重零点），则有多项式没有多重零点），则有 其中其中si为为y的固有频率，的固有频率，ki是由初始条件确定的积分常数。是由初始条件确定的积分常数。 yp(t)作为方程的特解，是一个与输入同频率的正弦量，作为方程的特解，是一个与输入同频率的正弦量，可以用相量法求得。可以用相量法求得。 7.3 7.3 线性定常电路的正弦稳态线性定常电路的正弦稳态 固有频率固有频

13、率si都位于都位于s平面的开左半平面上平面的开左半平面上( (不包括虚轴不包括虚轴) )，所有的所有的esit都是衰减因子，当都是衰减因子，当t，yh(t)0。所以所以 y(t) yp(t) = Ymsin(t+) 这表明不管电路的初始条件如何，随着这表明不管电路的初始条件如何，随着t ，电路响应，电路响应变成与激励同频率的正弦量。这样的电路称渐近稳定电变成与激励同频率的正弦量。这样的电路称渐近稳定电路，这个响应称正弦稳态响应。路，这个响应称正弦稳态响应。 固有频率固有频率si中有一个或几个位于中有一个或几个位于s平面的开右半平面上，平面的开右半平面上，响应中含有增长因子响应中含有增长因子es

14、it ，通常说，通常说，t，yh(t)，电，电路是不稳定的。路是不稳定的。 7.3 7.3 线性定常电路的正弦稳态线性定常电路的正弦稳态 固有频率固有频率si大部分位于大部分位于s平面的开左半平面上，有一些落在平面的开左半平面上，有一些落在虚轴上虚轴上( (即一些纯虚数的固有频率即一些纯虚数的固有频率ji) ) 位于虚轴上的是多重固有频率位于虚轴上的是多重固有频率s1 = s2 = j0，s3 = s4 = -j0( (总以共轭形式出现总以共轭形式出现),),则齐次解中必定含有则齐次解中必定含有 或用余弦表示成或用余弦表示成 k1sin(0t+1)+k2tsin(0t+2)显然，显然，t，yh

15、(t)，电路是不稳定的。电路是不稳定的。 位于虚轴上的固有频率是单一的位于虚轴上的固有频率是单一的 s1 = j0，s2 = -j0，但但输入信号的角频率输入信号的角频率 与与 0重合重合( (即即 = 0),),响应中将含有响应中将含有ktsin(t+)，电路也是不稳定的。电路也是不稳定的。 7.3 7.3 线性定常电路的正弦稳态线性定常电路的正弦稳态 位于虚轴上的固有频率是单一的位于虚轴上的固有频率是单一的s1= j0，s2= -j0，且且输入信号的角频率输入信号的角频率与与0不等不等( (即即 0),),齐次解中含有齐次解中含有ksin(0t+)，特解可用相量法求得特解可用相量法求得yp

16、(t)=Ymsin(t+)。 当当t时，电路存在稳态响应：时，电路存在稳态响应： y(t)=ksin(0t+) + Ymsin(t+) 此响应并不与输入同频率，故也不能称为正弦稳态响应此响应并不与输入同频率，故也不能称为正弦稳态响应 对于非线性电路或时变电路，即使有稳态解，通常也不对于非线性电路或时变电路，即使有稳态解，通常也不是与输入同频率的响应。是与输入同频率的响应。 7.3 7.3 线性定常电路的正弦稳态线性定常电路的正弦稳态 因此，对于由单一正弦输入的线性定常电路，因此，对于由单一正弦输入的线性定常电路，只有当电路的固有频率都落在只有当电路的固有频率都落在s复平面的开左半复平面的开左半

17、平面上，不论初始条件如何，响应将随着平面上，不论初始条件如何，响应将随着t而变成与输入同频率的正弦量。这响应才称正而变成与输入同频率的正弦量。这响应才称正弦稳态响应，这响应可用相量法来求得。弦稳态响应，这响应可用相量法来求得。值得指出，正弦稳态响应，它与初始条件无关值得指出，正弦稳态响应，它与初始条件无关 7.3 7.3 线性定常电路的正弦稳态线性定常电路的正弦稳态求解电路对正弦输入的正弦稳态响应称为正弦稳态分析求解电路对正弦输入的正弦稳态响应称为正弦稳态分析求正弦稳态响应的途径求正弦稳态响应的途径 7.3 7.3 线性定常电路的正弦稳态线性定常电路的正弦稳态正弦稳态分析正弦稳态分析KCL：其

18、中其中或或KVL：其中其中或或 7.4 7.4 基尔霍夫定律的相量形式基尔霍夫定律的相量形式基本要求：基本要求：R、L、C电路元件的电压电路元件的电压-电流之间的相量关系电流之间的相量关系 7.5 7.5 电路元件电压电流关系的相量形式电路元件电压电流关系的相量形式R、L、C电路元件的相量模型电路元件的相量模型 容抗、感抗的概念容抗、感抗的概念 电路的相量模型电路的相量模型 根据支路约束根据支路约束(欧姆定律欧姆定律)v(t) = Ri(t)所以所以电阻电阻R中的电压、电流的相量关系中的电压、电流的相量关系 7.5 7.5 电路元件电压电流关系的相量形式电路元件电压电流关系的相量形式 电压、电

19、流同相位，说明电压、电流电压、电流同相位，说明电压、电流同时出现最大值。同时出现最大值。相量图相量图电阻元件的相量模型电阻元件的相量模型 7.5 7.5 电路元件电压电流关系的相量形式电路元件电压电流关系的相量形式支路约束支路约束 所以所以 因此因此相量图相量图 电容元电容元件的相件的相量模型量模型 7.5 7.5 电路元件电压电流关系的相量形式电路元件电压电流关系的相量形式 电容电流最大值是电容电压最大值的电容电流最大值是电容电压最大值的C倍倍(随随的不同而不同的不同而不同)；电容电流电容电流相位超前电压相位相位超前电压相位9090 具有电阻的量纲具有电阻的量纲, ,称为容抗称为容抗XC,

20、,即即因为因为所以所以 电容电容XC与电容与电容C，频率，频率f成反比。所以电容元件对高频电成反比。所以电容元件对高频电流呈现的容抗很小，而对直流流呈现的容抗很小，而对直流(f=0)所呈现的容抗所呈现的容抗XC=, ,可视为开路。因此电容具有隔直作用。可视为开路。因此电容具有隔直作用。 7.5 7.5 电路元件电压电流关系的相量形式电路元件电压电流关系的相量形式支路约束支路约束所以所以因此因此相量图相量图 电感元电感元件的相件的相量模型量模型 7.5 7.5 电路元件电压电流关系的相量形式电路元件电压电流关系的相量形式 电感电压最大值是电感电流最大值电感电压最大值是电感电流最大值的的L倍倍( (随随的不同而不同的不同而不同) )；电感；电感电流相位滞后电压相位电流相位滞后电压相位90因为因为所以所以L具有电阻的量纲具有电阻的量纲, ,称感抗称感抗XL，即，即